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洋泾中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设集合，，则_____．
2．若复数（为虚数单位），则_____．
3．已知双曲线：，则的离心率为_____．
4．数据1，1，2，2，3，3，5的第70百分位数为_____．
5．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师总人数为_____．
6．已知向量，，，若与平行，则实数_____．
7．联结正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比
为_____．
8．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____．
9．设函数，则使得成立的实数的取值范围为_____．
10．直线（，）是曲线的切线，则的最小值为_____．
11．已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像．令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_____．
12．斐波那契数列，又称黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）．已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为_____．（用最简分数表示）
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．已知，则下列各不等式中一定成立的是（ ）.
A． B． C． D．
14．已知，则“直线与直线垂直”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
15．已知抛物线：的焦点为，是上一点，且的面积为1，则（ ）.
A．1 B． C．2 D．
16．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”的方程为，其中为参数．当时，该表达式即为双曲余弦函数，记为．类似地，我们可以定义双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质．则下列结论正确的个数为（ ）.
①，
②，
③
④当时，不等式在上有解
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，长方体的底面为正方形，，，点在棱上，平面．
（1）求证：为的中点；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数，．
（1）求函数的最小正周期与单调增区间；
（2）设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
2024年末公司的一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标公司的．某调研公司随机抽取公司和公司各25名客户，对其使用时产生的技术成本进行调研，并绘制成如图所示的茎叶图．（茎为十位数，叶为个位数）
（1）请根据茎叶图判断，与哪家公司的技术成本较低？并说明理由；
（2）若将技术成本小于80称为低成本运营，反之称为高成本运营．结合图表数据，补全下方列联表；
低成本运营 高成本运营
公司
公司
（3）根据（2）中的列联表，能否有95%的把握认为运营成本与公司有关？
附：，
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
已知函数，（）．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若数列满足，，记数列的前项和为，求证：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.;
8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像．令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】函数，将的图象向左平移个单位得到函数的图象，
令
如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，
∴，则的最小值为，故答案为：
12．斐波那契数列，又称黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）．已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为_____．（用最简分数表示）
【答案】
【解析】
由数列，...可得每隔三项为奇数、偶数、奇数，不断重复出现
则中奇数项有1350个，偶数项有675个，
由且，可得集合的非空子集个数为
而中所有元素之和为奇数的集合个数为
则中所有元素之和为奇数的概率为．故答案为：．
二、选择题
13. D 14.B 15.C 16.C
15．已知抛物线：的焦点为，是上一点，且的面积为1，则（ ）.
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点为，设点.根据三角形面积公式，解得.代入两点间距离公式得，故选C.
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）D公司技术成本较低；A公司平均技术成本为83.4，D公司平均技术成本为75.96 （2）8，17；17，8；
（3），有95%把握认为运营成本与公司有关
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由．
【答案】（1）
（2） （3）是，定值．
【解析】（1）∵点关于直线的对称点为，且在椭圆上，∴．
又，故，则．∴椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立消去整理得
由，可得，且
∴∴，
综上．
（3）由题意得，：
联立方程组，消去得，
又解得，故点的纵坐标为定值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
已知函数，（）．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若数列满足，，记数列的前项和为，求证：．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】（1）由，得
∴．令，解得或（舍去），
∴函数的单调递减区间为
（2）由，得．
当时，∵显然不成立，因此．
令，则，令，得．
当时，，∴，即有．
因此时，在上恒成立．
当时，在上为减函数，在上为增函数，
∴，不满足题意．
综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是；
（3）证明：由，知数列是的等差数列，
∴．∴，
由（2）得，在上恒成立．
∴．
将以上各式左右两边分别相加，得：

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