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南海区2027届高一第二学期素养提升学业水平监测
数学
2025年5月
本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，其中a，b实数，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. （ ）
A B. C. D.
3. 若，是第三象限的角，则（ ）
A. B. C. D.
4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
5. ，两个平面，m，n是两条直线，则（ ）
A. 如果，，那么
B. 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交
C 如果，，那么
D. 如果，n与相交，那么m，n是异面直线
6. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
8. 已知函数，且对任意，都有恒成立，若函数在单调递减，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为，，半径分别为2和4，高为，四边形为圆台的轴截面，则（ ）
A. 圆台的母线长为6 B. 圆台的体积为
C. 圆台的侧面积为24π D. 圆台外接球的半径为4
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 最小正周期是π B. 的图象关于点对称
C. D. 在区间上的值域为
11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱，，的中点，点满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 若Q，M，N，P四点共面，则
C. 过点Q有且仅有一条直线与，都相交
D. 若，点F在侧面上（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数的实部是_______.
13. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______.
14. 定义平面非零向量之间的一种运算“*”，记（其中是非零向量，的夹角），若，均为单位向量，且，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，，且，.
（1）求向量，的坐标；
（2）若，.
（i）求与的夹角；
（ii）求向量在向量上的投影向量的坐标.
16. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且.
（1）证明：平面；
（2）若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的周长.
18. 如图1，内壁光滑且透明的正方体容器内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4，容器厚度不计.当其水平放置时，水面恰好过，，，的中点E，F，G，H.现在固定容器一边于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同.容器绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱，，，分别交于点，，，.假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.
（1）证明：是定值；
（2）已知水面是矩形面，求水面面积的取值范围.
19. 如图，宽为的走廊与另一宽为的走廊垂直相连，两走廊交汇处形成直角拐点M.细杆需保持水平状态通过拐点M，且在移动过程中两端始终与两侧墙壁保持接触.设细杆与外侧走廊的夹角，.
（1）设细杆的长度为，求的表达式；
（2）若，，试问：长度为5的细杆能否水平地通过拐角 请说明理由；
（3）若，试问：长度为的细杆能否水平地通过拐角 请说明理由.
南海区2027届高一第二学期素养提升学业水平监测
数学
2025年5月
本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1），
（2）（i）；（ii）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）3
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1），
（2）不能，理由见解析
（3）可以，理由见解析

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