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数学试卷参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合满足，若，则必有
A． B． C． D．
【答案】C
2．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点分别为，则（ ）
【答案】C
3．已知为两条不同直线，为平面，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
4．已知随机变量，为使在内的概率不小于，则正数的最小值为
（参考：）
A. B. C. D.
【答案】C
5．已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，
则
A. B. C. D.
【答案】B
6．在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆
切于点，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
7．已知函数满足：，且．
设，则的前项的和为
A. B. C. D.
【答案】C 拟合函数
8．已知正三棱锥的侧棱长为， 为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．小明同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到如图的表格，其中一些数据因故丢
失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，且成等差数列．则下
列说法正确的是（ ）
A．当时，的预测值为 B．
C．表格中5对数据的样本相关系数 D．当时，残差值为
【答案】AB
10．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的面积之比为
【答案】BCD
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 当时，
C. 的最小值依次成等比数列 D. 值域是值域的子集
【答案】BC
详解】选项：无最小正周期，当时，的最小正周期为，错误；
选项：当时，
，B正确；
选项C：，
当或，此时，取得最大值，
当，即，.
当，，函数单调递减；
当，，函数单调递增，
∴是极小值点，，
即最小值为，这是一个首项为，公比为等比数列，C正确.
选项D：，，值域为；
由C选项知，时，，D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知递增等比数列的前项和为，若，则____．
【答案】
13．已知函数,若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
14．已知向量，为常数，若且的最小值为，
则实数_____．
【答案】
解：由得，即，
∴，∴，
∴，得，
∵的最小值为，∴，∴，经检验成立．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）
如图，三棱台中，，在底面内的射影为中点．
（1）求三棱台的体积；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）取中点，连接，
由题意，为三棱台的高，
∵，∴，
又，∴， ……2分
∵，，
∴的面积为，的面积为， ……4分
∴三棱台的体积为． ……6分
（2）以分别为轴，过点作轴平面，
则，，
∴，
设平面的一个法向量为，
则，即，取， ……9分
易知平面的一个法向量为， ……10分
设平面与平面夹角为，
则， ……12分
∴平面与平面夹角的余弦值为． ……13分
16．（本题15分）
在中，角的对边分别为，．
（1）若，求的周长；
（2）若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围．
解：（1）∵，由余弦定理得，
∴，解得或（舍去）， ……4分
∴，∴的周长为． ……6分
（2）由正弦定理得，∴，
又，∴，
∴， ……10分
由得， ……12分
令，记，
∵，∴在上单调递增，
∴，即的取值范围是． ……15分
注：不交代单调性扣1分．
17．（本题15分）
甲公司设计的健身可以帮助用户制订健身计划，用户按使用频率可分为“活跃用户”和“普通用户”．根据统计数据，活跃用户有能完成健身计划，普通用户仅能完成健身计划．记活跃用户与普通用户的人数比值为．
（1）若，从未完成健身计划的用户中随机抽取人，求该用户是普通用户的概率；
（2）甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得60元收益, 从每个未完成健身计划的用户处可获得 20元收益，对每个活跃用户要承担元维护成本，对每个普通用户要承担元维护成本．设一个用户给甲公司带来的净利润为元(净利润收益维护成本)，当的数学期望与值无关时，求的值．
解：（1）随机抽取1名用户，设事件“该用户未完成健身计划”为，
事件“该用户是普通用户”为， ……1分
则， ……3分
， ……5分
∴所求概率为. ……6分
（2）根据题意，若从所有用户中随机抽取人，则该用户是活跃用户的概率为，
该用户是普通用户的概率为， ……7分
设甲公司从一个用户处获得的收益为元,则的所有可能取值为，
由题可知， ……9分
， ……11分
∴ ， ……12分
设甲公司对一个用户承担的维护成本为元，
∴， ……13分
∴. ……14分
∵的值与无关，∴，即，
∴当的数学期望与无关时，． ……15分
18．（本题17分）
已知双曲线的右焦点为，若上任一点到两条直线和的距离的平方差为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设点为上任意一点，为过的直线．
（Ⅰ）记过且与轴垂直的直线为．若与交于点，与直线交于点，证明：当时，为定值，并求出这个定值；
（Ⅱ）设点关于直线的对称点为，试求点的轨迹．
解：（1）设为上任意一点，则到直线的距离为，
到直线的距离为，
由题可知，化简得，
∴双曲线的方程为． ……4分
（2）（Ⅰ）由（1）知，， ……5分
易知，由，解得， ……6分
由，解得， ……7分
又，
∴
，
∴为定值． ……9分
（Ⅱ）法一：设点关于直线的对称点，
①当时，，易得点； ……10分
②当时，设，
∴则，解得， ……12分
∵点在双曲线上，
∴，即，
化简得： ……14分
∴，即，点轨迹与重合，不合题意；
或：，即，
∴点轨迹为以为圆心，半径为的圆，
此时点也在圆上． ……17分
法二：点关于直线的对称点，
①当时，，易得点； ……10分
②当时，设与轴交于点，左焦点，
则，
∴，∴， ……12分
而，，∴，
∴，即平分， ……14分
∴点关于直线的对称点必在上，且， ……15分
∴点轨迹为以为圆心，半径为的圆，
此时点也在圆上． ……17分
注：若（Ⅱ）直接利用双曲线的光学性质解题且结论正确，只给2分．
19．（本题17分）
已知函数，．
（1）若，，求的值；
（2）若，集合，集合为的子集，它们各有个元素，且．设，，，且，．
证明：．
解：（1）∵，
∴当时，，当时，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为， ……2分
∴，
设，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，∴，
又，∴，当且仅当时取等号，
又，则，， ……5分
故． ……6分
（2）∵，∴有一个零点， ……7分
记，而，∴，则．
又，且，
∴在上还有一个零点，记为，
由的单调性知，恰有两个零点，，且，……9分
而为的子集，它们各有个元素，且，则至少有个元素．
而的元素只可能在，，，，…，，之中，这表明它们两两不等，
且，∴包含个正数，个负数．
而为的子集，它们各有个元素，且，则，．
设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数， ……11分
，，，.
∴，，
从而． ……13分
∵，∴．
设，则，
设，则，
∴单调递增，∴，
又，，∴．
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增．
∴，即， ……15分
∴
，
∴.
……17分
注：第（1）问，直接利用或，没有证明过程的，每个各只给1分步骤分．江苏省前黄中学2025届高三下学期攀登行动（一）
数学试卷徐州
本卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．
2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁、不折叠、不破损．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合满足，若，则必有（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点分别为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为两条不同直线，为平面，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．已知随机变量，为使在内的概率不小于，则正数的最小值为（ ）（参考：）
A. B. C. D.
5．已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，
则（ ）
A. B. C. D.
6．在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与
圆切于点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7．函数满足：，且．
设，则的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．小明同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到如图的表格，其中一些数据因故丢
失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，且成等差数列．则下
列说法正确的是（ ）
A．当时，的预测值为 B．
C．表格中5对数据的样本相关系数 D．当时，残差值为
10．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的面积之比为
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时，
C. 的最小值依次成等比数列
D. 值域是值域的子集
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知递增等比数列的前项和为，若，则____．（请用数字作答）
13．已知函数,若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是________．
14．已知向量，若且的最小值为，则实数_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）
如图，三棱台中，，在底面内的射影为中点．
（1）求三棱台的体积；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
16．（本题15分）
在中，角的对边分别为，．
（1）若，求的周长；
（2）若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围．
17．（本题15分）
甲公司设计的健身可以帮助用户制订健身计划，用户按使用频率可分为“活跃用户”和“普通用户”．根据统计数据，活跃用户有能完成健身计划，普通用户仅能完成健身计划．记活跃用户与普通用户的人数比值为．
（1）若，从未完成健身计划的用户中随机抽取人，求该用户是普通用户的概率；
（2）甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得60元收益, 从每个未完成健身计划的用户处可获得 20元收益，对每个活跃用户要承担元维护成本，对每个普通用户要承担元维护成本．设一个用户给甲公司带来的净利润 (净利润收益维护成本)为元，当满足什么关系时，的数学期望与值无关？
18．（本题17分）
已知双曲线的右焦点为，若上任一点到两条直线和的距离的平方差为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设点为上任意一点，为过的直线．
（Ⅰ）记过且与轴垂直的直线为．若与交于点，与直线交于点，
证明：当时，为定值，并求出这个定值；
（Ⅱ）设点关于直线的对称点为，试求点的轨迹．
19．（本题17分）
已知函数，．
（1）若，，求的值；
（2）若，集合，集合为的子集，它们各有个元素，且．设，，，且，．
证明：．

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