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2024-2025学年度第二学期期末考试试卷
高二数学
2025.06
一 单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意.）
1. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. 8 B. C. D. 2
2. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A B.
C. D.
3. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ）
A 1 B. C. D.
4. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱与梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱至少各1人，且甲、乙两人安排在同一个舱内的分配方案有（ ）
A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种
5. 当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B. C. D. 1
6. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则的值为（ ）
A. 255 B. 256 C. 511 D. 512
8. 已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲 乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二 多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合题意，全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.）
9. 已知事件满足，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若与相互对立，则
C. 若与相互独立，则
D. 若与互斥，则
10. 已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在区间上单调递减
C. 过点能作两条不同的直线与相切
D. 函数有5个零点
11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则面
B. 若，则
C. 若，则到平面的距离为
D. 若时，直线与平面所成角为，则
三 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 某小吃店日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据：由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为__________百元.
0 1 2
百元 5 4 2 2 1
13. 已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________.
14. 甲 乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到平后，先多得2分者为胜方.在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为__________.
四 解答题：（本题共5小题，共77分.）
15. 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
（1）证明展开式中不存在常数项；
（2）求展开式中所有的有理项．
16. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男 女同学各100名进行调查，得到如下列联表：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
（1）根据小概率值的独立性检验，判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和均值．
附：，．
17. 已知函数（为自然对数的底数），
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
18. 已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面夹角的余弦值为，求的值．
19. 高尔顿板又称豆机 梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.
（1）某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数）
（2）将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？
2024-2025学年度第二学期期末考试试卷
高二数学
2025.06
一 单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意.）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二 多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合题意，全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.）
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】ACD
三 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
【12题答案】
【答案】6
【13题答案】
【答案】.
【14题答案】
【答案】
四 解答题：（本题共5小题，共77分.）
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2），，，.
【16题答案】
【答案】（1）有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关
（2）分布列见解析，均值为
【17题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）25元.
（2）3号球槽中落入19或20个小球的概率最大

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