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永新县2024~2025学年度第二学期期末教学质量检测
八年级数学试卷
（温馨提示：本试卷共23题，总分120分，检测时间120分钟）
一、选择题（本大题6小题，每题3分，共18分）
1.下列四张新能源图标是中心对称图形的是（ ）
A.水能 B.风能 C.太阳能 D.氢能
2.对于分式，当都扩大到原来的3倍时，分式的值（ ）
A.不变 B.扩大到原来的3倍
C.扩大到原来的9倍 D.不能确定
3.已知，则的值为（ ）
A.12 B.7 C.4 D.3
4.根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，一次函数与为常数，的图象相交于点，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点与之间的距离为10cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A.62 B.54 C.64 D.74
二、填空题（本大题6小题，每题3分，共18分）
7.若分式有意义，则的取值范围是__________．
8.因式分解：__________．
9.如图，天平左盘放3个乒乓球，右盘放砝码，天平倾斜．设每个乒乓球的质量为，请根据天平列不等式：__________．
10.为美化环境，吉安县一公园在一块长方形的空地上修两条宽1米的小路，其余部分种上不同的花卉，测得数据如图所示，求种花的面积和为__________．
11.阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某县教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，根据题意可列方程为__________．
12.是平面直角坐标系第一象限内一点，为轴正半轴上一点，若为等腰三角形，则点坐标为__________．
三、解答题（本大题5小题，每题6分，共30分）
13.（1）解分式方程：；
（2）若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数．
14.解不等式组，并将解集表示在数轴上．
15.如图，在方格纸中，的三个顶点和点、点都在格点上，平移，使它的顶点都落在格点上并满足下列条件．
（1）使点一点落在平移后的三角形内部，另一点落在平移后的三角形的边上，在图1中画出示意图；
（2）使点两点都落在平移后的三角形的边上，在图2中画出示意图．
16.化简，并选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值．
17.如图，在平行四边形中，点分别在的延长线上，且．连结，交于点，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，试说明为等腰三角形．
四、（本大题共3小题，每题8分，共24分）
18.有3个整式：．
（1）若，请化简分式；
（2）若“”可以因式分解为，求内实数的值．
19.第152页课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
（1）定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，点分别是的中点，求的长．
20.为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”—多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件．
（1）请分别求出水杯与笔记本的单价；
（2）学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个？
五、（本大题共2小题，每题9分，共18分）
21.已知，如图，，点分别为垂足，，．
（1）证明：；
（2）试说明平分
（3）延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段．
22.定义：若一个整数能表示成（是正整数）的形式，则称这个数为“对称数”例如：因为，所以13是“对称数”；
再如：因为，所以也是“对称数”．
（1）填空：①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是__________；
②判断45是否为“对称数”__________（请填写“是”或“否”）；
（2）已知（是整数，是常数，且），要使为“对称数”，求出值；
（3）如果数都是“对称数”，试说明也是“对称数”．
六、（本大题共1小题，12分）
23.综合与探究
问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，中，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，．
初步分析：
（1）如图1，直接写出线段__________，线段__________；
操作探究：
（2）如图2，将从图1位置开始，绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，求出平移的距离．
永新县2024~2025学年度第二学期期末教学质量检测
八年级数学试卷参考答案
一、选择题（本大题6小题，每题3分，共18分）
1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 6.A
二、填空题（本大题6小题，每题3分，共18分）
7. 8. 10.8
11. 12.或或
三、解答题：（本大题5小题，每题6分，共30分）
13.（1）解：去分母得到，解得：，
检验：当时，是原方程的根．
（2）解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，由题意，得，解得．
14.解：
解不等式①得
解不等式②得：，
在数轴上表示为：
则这个不等式组的解集是．
15.解：（1）解：图形如下图所示（答案不唯一）；
（2）解：图形如下图所示（答案不唯一）．
16.解：
由分式有意义可得当时，原式
17.解：（1）证明：，
点分别在的延长线上，且，
，
四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，，
为等腰三角形
四、（本大题共3小题，每题8分，共24分）
18.解：（1），且，
（2）设，，
解得，即内实数的值为-2.
19.（1）证明：在和中，
，
四边形为平行四边形，，
；
（2）解：点分别是的中点，是的中位线，
，
，同理可得：，
，
．
20.解：（1）设笔记本的单价为元，则水杯的单价为元，由题意得：，
解得：，经检验：是原方程的解，，
答：水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元．
（2）设学校应设置优秀奖为个，则参与奖为个，由题意得：，解得：要尽可能多地设置优秀奖，；
答：学校应设置优秀奖和参与奖各为10个．
五、（本大题共2小题，每题9分，共18分）
21.解：（1）证明：，
，又，
；
（2）平分
（3）证明：（），，，即，又，
垂直平分线．
22.解：（1）①；故这个“对称数”可以是2或5或8；
②是“对称数”；故答案为：是；
（2）为“对称数”，
为一个完全平方数，或．
（3）设，则：
也是“对称数”．
六、（本大题共1小题，12分）
23.解：（1）在中，，
点与点重合，，
，
，
；
（2）是等边三角形，理由如下，
如图所示，设交于点，
将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转
得到，
，
，当线段经过点A时，，
，
，且，
是等边三角形；
（3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，
，
，
即在平移过程中，点在上运动，
即即为平移距离，
当时，是直角三角形
（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），
即，
是等腰直角三角形，，由（1）可得，，
，
平移距离为；
如图所示，当时，是直角三角形
（点与平移前的点对应，点与平移前的点
对应），即，过点作于点，
，
，
，
，设，则，
，
是等腰直角三角形，，即，
解得，，
在中，，
平移距离为；
综上所述，平移距离为或．

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