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高一数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B A C D A
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.答案：ACD
10.答案：AC
11.答案：BD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.答案：0。
13.答案：(-1,-1)。
14.答案：1个或无数个
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解　
(1)f(x)=sin 2xcos +1,所以T==π,即f(x)的最小正周期为π。 (7分)
(2)因为x∈,所以2x-,所以-≤1,
所以-+1,所以f(x)的值域为。 (8分)
16.（本小题满分15分）
解　(1)证明:设=a,=b。由题意知
()=(a+b),=nb-ma,a+b,
由P,G,Q三点共线,得存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,从而消去λ,得=3。 (8分)
(2)由(1),知=3,于是m+n=(m+n)=(2+2)=。
当且仅当m=n=时,m+n取得最小值,最小值为。 (7分)
17.（本小题满分15分）
解　(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C=。
又因为C∈(0,π),故C=。 (7分)
(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。
因为·()=18,所以·=18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,
得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。(8分)
18.（本小题满分16分）
解　(1)由(0.02+0.04+0.06+0.07+0.09+0.10+x)×2=1,解得x=0.12。 (5分)
(2)200件样本中尺寸在[98,100)内的样本数为200×0.09×2=36。 (5分)
(3)由题意可得,这批产品中A等品有3 000×(0.18+0.20)=1 140(件),这批产品中不合格品有3 000×0.04=120(件),这批产品中合格品
有3 000-1 140-120=1 740(件),1 140×5+1 740×3-120×2=10 680(元)。
所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为10 680元,因为10 680<11 000,所以需要对该工厂设备实施升级改造。 (6分)
19.（本小题满分16分）
证明　(1)因为EC∥PD,PD 平面PAD,EC 平面PAD,所以EC∥平面PAD,又底面ABCD为正方形,故BC∥AD,而AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD。又EC∩BC=C,EC,BC 平面EBC,所以平面EBC∥平面PAD,又因为BE 平面EBC,所以BE∥平面PAD。 (8分)
(2)因为PD⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以PD⊥AB。因为AB⊥AD,AD∩PD=D,AD,PD 平面PAD,所以AB⊥平面PAD。 (8分)湖北省2024—2025学年下学期八校期末联考
高一数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果点P(2sin θ,sin θ·cos θ)位于第四象限,那么角θ所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知θ为第一象限角,sin θ-cos θ=,则tan 2θ=( )
A. B.
C.- D.-
3.已知a,b是两个不共线的平面向量,向量=λa+b,=a-μb(λ,μ∈R),若,则有( )
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
4.△ABC是等腰直角三角形,AB=BC=4,(),,其中2x+y=1,则的最小值是( )
A.- B.-
C.-3 D.-4
5.若复数z=3-4i,则=( )
A.i B.i
C.-i D.-i
6.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x'轴、y'轴平行),则原图形△AOB的面积是( )
A.8 B.16
C.32 D.64
7.如图所示是某个正方体的表面展开图,l1,l2是两条面对角线,则在正方体中,有下面关于l1与l2的四个选项,其中正确的是( )
A.互相平行 B.异面垂直
C.异面且夹角为 D.相交且夹角为
8.某中学高一、高二、高三这三个年级学生的平均身高分别为,,,若按年级采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个样本量为600的样本,其中抽到的高一、高二、高三这三个年级的学生人数分别为100,200,300,则估计该中学高一、高二、高三这三个年极学生的平均身高为( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设复数z=i,其中i是虚数单位,是z的共轭复数,下列判断中正确的是( )
A.z=1
B.z2=
C.z是方程x2-x+1=0的一个根
D.满足zn∈R的最小正整数n为3
10.若sin,α∈(0,π),则( )
A.cos α=
B.sin α=
C.sin
D.sin
11.如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( )
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.某年高考某题的第(1)问的得分情况如下:
得分/分 0 1 2 3 4
百分率/% 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2
其中得分的众数是 。
13.已知向量a=(-2,λ),b=(1,1),且a⊥b,则λ= 2 ,向量a-b在向量b上的投影向量的坐标为 。
14.圆心和圆上任意两点可确定的平面有 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知函数f(x)=sin+2sin2x。
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈时,求f(x)的值域。
16.（本小题满分15分）
经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设,(m>0,n>0)。
(1)证明:为定值;
(2)求m+n的最小值。
17.（本小题满分15分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·()=18,求c。
18.（本小题满分16分）
为了了解某工厂生产的产品情况,从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本,测量它们的尺寸(单位:mm),并将数据分为
[92,94),[94,96),[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]七组,其频率分布直方图如图所示。
(1)求图中的x值;
(2)根据频率分布直方图,求200件样本中尺寸在[98,100)内的样本数;
(3)记产品尺寸在[98,102)内为A等品,每件可获利5元;产品尺寸在[92,94)内为不合格品,每件亏损2元;其余为合格品,每件可获利3元。若该工厂一个月共生产3 000件产品。以样本的频率代替总体在各组的频率,若单月利润未能达到11 000元,则需要对该工厂设备实施升级改造。试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造。
19.（本小题满分16分）
如图为一个组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=4。求证:
(1)BE∥平面PAD;
(2)AB⊥平面PAD。湖北省2024—2025学年下学期八校期末联考
高一数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果点P(2sin θ,sin θ·cos θ)位于第四象限,那么角θ所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析　因为点P(2sin θ,sin θ·cos θ)位于第四象限,所以所以角θ所在的象限是第二象限。故选B。
答案：B
2.已知θ为第一象限角,sin θ-cos θ=,则tan 2θ=( )
A. B.
C.- D.-
解析　由sin θ-cos θ=,得1-2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=,=1+2sin θcos θ=。因为θ是第一象限角,所以sin θ+cos θ=,所以sin θ=,cos θ=,所以tan θ=,所以tan 2θ=2×。故选D。
答案：D
3.已知a,b是两个不共线的平面向量,向量=λa+b,=a-μb(λ,μ∈R),若,则有( )
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
解析　因为,所以存在实数k使=λa+b,=a-μb(λ,μ∈R),所以λa+b=k(a-μb),可得所以λμ=-1。故选C。
答案：C
4.△ABC是等腰直角三角形,AB=BC=4,(),,其中2x+y=1,则的最小值是( )
A.- B.-
C.-3 D.-4
解析　由()知点D为AB的中点。所以·=()·()=||2-4,设F为AD的中点。由,得,因为2x+y=1,所以点E在直线CF上,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,4),B(0,0),C(4,0),D(0,2),F(0,3),则DE⊥CF时,||2的值最小,直线CF的方程为=1,即3x+4y-12=0,此时,由点到直线的距离公式可得|,所以·。故选B。
答案：B
5.若复数z=3-4i,则=( )
A.i B.i
C.-i D.-i
解析　因为z=3-4i,所以=3+4i,|z|=5,所以i。故选A。
答案：A
6.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x'轴、y'轴平行),则原图形△AOB的面积是( )
A.8 B.16
C.32 D.64
解析　根据题意,如图,原图形△AOB的底边OB的长为4,高为16,所以其面积S=×4×16=32。故选C。
答案：C
7.如图所示是某个正方体的表面展开图,l1,l2是两条面对角线,则在正方体中,有下面关于l1与l2的四个选项,其中正确的是( )
A.互相平行 B.异面垂直
C.异面且夹角为 D.相交且夹角为
解析　将展开图还原成正方体,如图所示,则B,C两点重合,故l1与l2相交,连接AD,则△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为。故选D。
答案：D
8.某中学高一、高二、高三这三个年级学生的平均身高分别为,,,若按年级采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个样本量为600的样本,其中抽到的高一、高二、高三这三个年级的学生人数分别为100,200,300,则估计该中学高一、高二、高三这三个年极学生的平均身高为( )
A. B.
C. D.
解析　设该中学高一、高二、高三这三个年级学生的总人数为m,则高一年级的学生人数为,同理可得,高二年级的学生人数为,高三年级的学生人数为,因为该中学高一、高二、高三这三个年级学生的平均身高分别为,,,所以可估计该中学高一、高二、高三这三个年级学生的平均身高为。故选A。
答案：A
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设复数z=i,其中i是虚数单位,是z的共轭复数,下列判断中正确的是( )
A.z=1
B.z2=
C.z是方程x2-x+1=0的一个根
D.满足zn∈R的最小正整数n为3
解析　对于A,z·=1,故A正确;对于B,z2=i,i,z2=-,故B错误;对于C,i+1=0,则z是方程x2-x+1=0的一个根,故C正确;对于D,z=i,z2=-i,z3=z2·z=-=-1,故D正确。故选ACD。
答案：ACD
10.若sin,α∈(0,π),则( )
A.cos α=
B.sin α=
C.sin
D.sin
解析　因为sin,α∈(0,π),所以,cos。所以cos α=1-2sin2,故A正确;sin α=2sin,故B错误;sin·cos,故C正确;sin,故D错误。故选AC。
答案：AC
11.如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( )
解析　对于A,显然AB与CE不垂直,则直线AB与平面CDE不垂直;对于B,因为AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,所以AB⊥平面CDE;对于C,显然AB与CE不垂直,所以直线AB与平面CDE不垂直;对于D,因为ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,同理CE⊥AB,因为ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE。故选BD。
答案：BD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.某年高考某题的第(1)问的得分情况如下:
得分/分 0 1 2 3 4
百分率/% 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2
其中得分的众数是 。
解析　众数是指一组数据中出现次数最多的数据,根据所给表格知,百分率最高的是0。
答案：0。
13.已知向量a=(-2,λ),b=(1,1),且a⊥b,则λ= 2 ,向量a-b在向量b上的投影向量的坐标为 。
解析　由题意可得a·b=-2+λ=0,所以λ=2。记c=a-b=(-3,1),则向量c在向量b上的投影向量答案：(-1,-1)。
14.圆心和圆上任意两点可确定的平面有 。
解析　若圆心和圆上的两点共线,则可确定无数个平面;若圆心和圆上的两点不共线,则可确定1个平面。
答案：1个或无数个
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知函数f(x)=sin+2sin2x。
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈时,求f(x)的值域。
解　
(1)f(x)=sin 2xcos +1,所以T==π,即f(x)的最小正周期为π。 (7分)
(2)因为x∈,所以2x-,所以-≤1,
所以-+1,所以f(x)的值域为。 (8分)
16.（本小题满分15分）
经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设,(m>0,n>0)。
(1)证明:为定值;
(2)求m+n的最小值。
解　(1)证明:设=a,=b。由题意知
()=(a+b),=nb-ma,a+b,
由P,G,Q三点共线,得存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,从而消去λ,得=3。 (8分)
(2)由(1),知=3,于是m+n=(m+n)=(2+2)=。
当且仅当m=n=时,m+n取得最小值,最小值为。 (7分)
17.（本小题满分15分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·()=18,求c。
解　(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C=。
又因为C∈(0,π),故C=。 (7分)
(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。
因为·()=18,所以·=18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,
得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。(8分)
18.（本小题满分16分）
为了了解某工厂生产的产品情况,从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本,测量它们的尺寸(单位:mm),并将数据分为
[92,94),[94,96),[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]七组,其频率分布直方图如图所示。
(1)求图中的x值;
(2)根据频率分布直方图,求200件样本中尺寸在[98,100)内的样本数;
(3)记产品尺寸在[98,102)内为A等品,每件可获利5元;产品尺寸在[92,94)内为不合格品,每件亏损2元;其余为合格品,每件可获利3元。若该工厂一个月共生产3 000件产品。以样本的频率代替总体在各组的频率,若单月利润未能达到11 000元,则需要对该工厂设备实施升级改造。试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造。
解　(1)由(0.02+0.04+0.06+0.07+0.09+0.10+x)×2=1,解得x=0.12。 (5分)
(2)200件样本中尺寸在[98,100)内的样本数为200×0.09×2=36。 (5分)
(3)由题意可得,这批产品中A等品有3 000×(0.18+0.20)=1 140(件),这批产品中不合格品有3 000×0.04=120(件),这批产品中合格品
有3 000-1 140-120=1 740(件),1 140×5+1 740×3-120×2=10 680(元)。
所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为10 680元,因为10 680<11 000,所以需要对该工厂设备实施升级改造。 (6分)
19.（本小题满分16分）
如图为一个组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=4。求证:
(1)BE∥平面PAD;
(2)AB⊥平面PAD。
证明　(1)因为EC∥PD,PD 平面PAD,EC 平面PAD,所以EC∥平面PAD,又底面ABCD为正方形,故BC∥AD,而AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD。又EC∩BC=C,EC,BC 平面EBC,所以平面EBC∥平面PAD,又因为BE 平面EBC,所以BE∥平面PAD。 (8分)
(2)因为PD⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以PD⊥AB。因为AB⊥AD,AD∩PD=D,AD,PD 平面PAD,所以AB⊥平面PAD。 (8分)

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