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高二数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C A D B A
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.答案:BCD 10.答案:AB 11.答案:AC
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.答案: 13.答案:(-3,0)∪(0,+∞) 14.答案:60
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解　(1)证明:因为四边形A1B1C1D1是菱形,所以A1C1⊥B1D1。又BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1。因为B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1 平面BDD1B1,所以A1C1⊥平面BDD1B1。因为A1C1 平面A1C1B,所以平面A1C1B⊥平面BDD1B1。
(2)连接AC,设菱形对角线交点分别为O,O1,连接OO1,依题意可知,OO1⊥平面ABCD,以O为原点,OC,OD,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系。因为AA1=2,AB=AC=2,所以BO==DO,所以B(0,-,0),A1(-1,0,2),C1(1,0,2),D(0,,0),所以=(1,,2),=(-1,,2),=(-1,,-2),设平面A1C1B的法向量为n=(x,y,z),则取n=(0,2,-1),设直线DC1与平面A1C1B的夹角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=,所以直线DC1与平面A1C1B所成角的正弦值为。
16.（本小题满分15分）
解　(1)证明:因为bn是数列{Sn}的前n项积,所以当n≥2时,Sn=,代入=2,可得=2,整理可得2bn-1+1=2bn,即bn-bn-1=(n≥2)。又=2,所以b1=,故{bn}是以为首项,为公差的等差数列。
(2)由(1)可知,bn=(n-1)=,则=2,所以Sn=,当n=1时,a1=S1=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=。又a1=不满足上式,故an=
17.（本小题满分15分）
解　(1)当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,x>0,得f'(x)=2x+1-,令f'(x)>0,解得x>,令f'(x)<0,解得0(2)存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,g(x)有最小值3。
因为f(x)=x2+ax-ln x,a∈R,所以g(x)=f(x)-x2=ax-ln x,x∈(0,e],所以g'(x)=a-(0①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,解得a=,不合题意,舍去。
②当0<0,g(x)在上单调递增,所以g(x)min=g=1+ln a=3,解得a=e2满足条件。
③当≥e时,x∈(0,e)时,g'(x)<0,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,解得a=,不合题意,舍去。综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,g(x)有最小值3。
18.（本小题满分16分）
解　(1)由题知,员工甲本年度考核合格必须通过B项测试,且A,C两项测试中至少有一项通过,故其考核合格的概率为。
(2)员工甲欲从A,B,C,D四项测试中选择三项参加的方案共分为如下4类:A,C,D方案;A,B,D方案;B,C,D方案;A,B,C方案。①若选择A,C,D三项测试,则必须通过D项测试,且A,C两项测试中至少有一项通过,故员工甲考核合格的概率为,所以此方案不符合要求。②若选择A,B,D三项测试,则需任意两项测试通过或三项测试均通过,故员工甲考核合格的概率为,所以此方案符合要求。③若选择B,C,D三项测试,则需任意两项测试通过或三项测试均通过,故员工甲考核合格的概率为,所以此方案符合要求。④若选择A,B,C三项测试,结合(1)可知,所以此方案不符合要求。综上可得,满足条件的方案为A,B,D方案和B,C,D方案。
19.（本小题满分16分）
解　(1)更适宜的回归方程类型为②y=dcx+25。
(2)由y=dcx+25,可得y-25=dcx,对等式两边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c,令w=ln(y-25),则w=ln d+xln c,计算,得xi=3,=28,结合题表中数据,可得ln c==-0.08,结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92,由ln d=·ln c,得ln d=4.09,结合参考数据可得d=e4.09≈60,所以该茶水温度y关于时间x的经验回归方程为=60×0.92x+25。
(3)因为在25 ℃室温下,茶水温度降至60 ℃口感最佳,所以由60=60×0.92x+25,得0.92x=,对等式两边取自然对数,得x·ln 0.92=ln=ln 7-2ln 2-ln 3≈-0.6,则x≈=7.5,所以在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感。湖北省2024—2025学年下学期八校期末联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,且,,则=( )
A.a+b+c B.a+b-c
C.-a+b+c D.a-b+c
2.圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-] B.[,+∞) C.[-,] D.(-∞,-]∪[,+∞)
3.已知抛物线M的顶点在原点,焦点在y轴负半轴上。经过抛物线M的焦点作直线与抛物线M相交于A,B两点。若|AB|=12,线段AB的中点的纵坐标为-5,则抛物线M的标准方程为( )
A.x2=-14y B.x2=-4y
C.y2=-4x D.y2=-14x
4.已知数列{an}的前n项和是Sn,且满足a1=3,a2k=8a2k-1,a2k+1=a2k,k∈N*,则S2 025=( )
A.42 025-1 B.3×22 025-3
C.3×41 013-9 D.5×41 012-2
5.已知函数f(x)=x+ln(x-1),g(x)=xln x,若f(x1)=1+2ln t,g(x2)=t2,则(x1x2-x2)ln t2的最小值为( )
A.- B.- C. D.
6.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
7.某工厂产品合格的概率均为p,各产品合格与否相互独立。设X为该工厂生产的5件产品中合格的数量,其中D(X)=1.2,P(X=2)A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
8.在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图,下列结论中正确的是( )
A.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于20%
B.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于20%
C.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于20%
D.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数小于20%
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知直线l:y=x+m与椭圆C:=1,则下列结论正确的是( )
A.若C与l至少有一个公共点,则m≤2
B.若C与l有且仅有两个公共点,则|m|<2
C.若m=3,则C上到l的距离为5的点只有1个
D.若m=-,则C上到l的距离为1的点只有3个
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a5=-4,S5=-40,则( )
A.a10=6
B.S10=-30
C.当且仅当n=6时,Sn取最小值
D.a5+a6+a7+a8+a9+a10=0
11.已知红箱内有6个红球、3个白球,白箱内有3个红球、6个白球,所有小球的大小、形状完全相同。第一次从红箱内取出一球后再放回去,第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去,依此类推,第k+1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去。记第n次取出的球是红球的概率为Pn,则下列说法正确的是( )
A.P2=
B.3Pn+1+Pn=1
C.第5次取出的球是红球的概率为
D.前3次取球恰有2次取到红球的概率是
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为 。
13.若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围为 。
14.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后的项数为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面为菱形,AB=AC=2,AA1=2。
(1)证明:平面A1C1B⊥平面BDD1B1;(7分)
(2)求直线DC1与平面A1C1B所成角的正弦值。(8分)
16.（本小题满分15分）
设Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知=2。
(1)证明:数列{bn}是等差数列; (7分)
(2)求{an}的通项公式。 (8分)
17.（本小题满分15分）
设函数f(x)=x2+ax-ln x,a∈R。
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (7分)
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e]时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由。 (8分)
18.（本小题满分16分）
某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试,测试通过可获得相应学分。员工年度获得的总学分不低于10分,则员工该年度考核为合格。该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A,B,C,D四项,已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如表所示,且员工甲是否通过各项专业技能测试相互独立。
测试项目 A B C D
学分 5分 6分 4分 8分
通过概率
(1)若员工甲参加A,B,C三项测试,求他本年度考核合格的概率; (8分)
(2)员工甲欲从A,B,C,D四项测试中选择三项参加,若要使他本年度考核合格的概率不低
于,应如何选择 请求出所有满足条件的方案。 (8分)
19.（本小题满分16分）
中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位:℃)关于时间x(单位:min)的回归方程模型,通过实验收集在25 ℃室温,用同一温度的水冲泡的条件下,茶水温度随时间变化的数据,并对数据做初步处理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据。
(xi-)(yi-) (xi-)(wi-)
73.5 3.85 -95 -2.24
表中:wi=ln(yi-25),wi。
(1)根据散点图判断:①y=a+bx与②y=dcx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型 (给出判断即可,不必说明理由) (5分)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程; (5分)
(3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳,根据(2)中的经验回归方程,求在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感。(6分)
附:①对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为,;
②参考数据:e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7。湖北省2024—2025学年下学期八校期末联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,且,,则=( )
A.a+b+c B.a+b-c
C.-a+b+c D.a-b+c
解析　连接ON(图略),因为,所以(),因为,所以,所以()-a+b+c。故选C。
答案:C
2.圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-]
B.[,+∞)
C.[-,]
D.(-∞,-]∪[,+∞)
解析　圆x2+(y-2)2=4的圆心为C1(0,2),半径r1=2。圆x2+2mx+y2+m2-1=0化成标准方程为(x+m)2+y2=1,圆心为C2(-m,0),半径r2=1。因为圆C1与圆C2至少有三条公切线,所以圆C1与圆C2相离或外切,所以|C1C2|≥r1+r2,即≥3,解得m≤-或m≥。故选D。
答案:D
3.已知抛物线M的顶点在原点,焦点在y轴负半轴上。经过抛物线M的焦点作直线与抛物线M相交于A,B两点。若|AB|=12,线段AB的中点的纵坐标为-5,则抛物线M的标准方程为( )
A.x2=-14y B.x2=-4y
C.y2=-4x D.y2=-14x
解析　如图,设抛物线的焦点为F,准线为l,分别过点A,B向直线l作垂线,垂足分别为点A',B',依题意,设抛物线M的标准方程为x2=-2py(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=-y1+=-(y1+y2)+p=12,因为线段AB的中点的纵坐标为-5,即=-5,所以y1+y2=-10,所以p=2,抛物线M的标准方程为x2=-4y。故选B。
答案:B
4.已知数列{an}的前n项和是Sn,且满足a1=3,a2k=8a2k-1,a2k+1=a2k,k∈N*,则S2 025=( )
A.42 025-1 B.3×22 025-3
C.3×41 013-9 D.5×41 012-2
解析　因为a2k=8a2k-1,a2k+1=a2k,所以a2k+1=4a2k-1。又a1=3,所以数列{a2k-1}是首项为3,公比为4的等比数列。因为a2=8a1=24,·=4,所以数列{a2k}是首项为24,公比为4的等比数列。所以S2 025=(a1+a3+…+a2 025)+(a2+a4+…+a2 024)==3×41 013-9。故选C。
答案:C
5.已知函数f(x)=x+ln(x-1),g(x)=xln x,若f(x1)=1+2ln t,g(x2)=t2,则(x1x2-x2)ln t2的最小值为( )
A.- B.-
C. D.
解析　因为f(x1)=x1+ln(x1-1)=1+2ln t,所以x1-1+ln(x1-1)=ln t2,则ln[(x1-1)]=ln t2。于是(x1-1)=t2。又因为g(x2)=x2ln x2=t2,所以(x1-1)。构造函数y=xex,易知当x>0时,y=xex单调递增。所以x1-1=ln x2,于是(x1x2-x2)ln t2=x2(x1-1)·ln t2=x2ln x2ln t2=t2ln t2,令u=t2>0,h(u)=uln u,则h'(u)=ln u+1,由h'=0,易知h(u)在上单调递减,在上单调递增。所以h(u)min=h,即[(x1x2-x2)ln t2]min=-。故选A。
答案:A
6.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )
A.3 B.4
C.6 D.8
解析　以1为首项的等比数列为1,2,4和1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9;把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,所以所求的等比数列的个数是2×(2+1+1)=8。故选D。
答案:D
7.某工厂产品合格的概率均为p,各产品合格与否相互独立。设X为该工厂生产的5件产品中合格的数量,其中D(X)=1.2,P(X=2)A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
解析　由题意知X~B(5,p),所以D(X)=5p(1-p),P(X=2)=p2(1-p)3,P(X=3)=p3(1-p)2。又D(X)=1.2,P(X=2)答案:B
8.在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图,下列结论中正确的是( )
A.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于20%
B.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于20%
C.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于20%
D.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数小于20%
解析　观察图形,可知人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于20%。故选A。
答案:A
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知直线l:y=x+m与椭圆C:=1,则下列结论正确的是( )
A.若C与l至少有一个公共点,则m≤2
B.若C与l有且仅有两个公共点,则|m|<2
C.若m=3,则C上到l的距离为5的点只有1个
D.若m=-,则C上到l的距离为1的点只有3个
解析　由消去y得4x2+6mx+3m2-6=0,则根的判别式Δ=12(8-m2),令Δ=12(8-m2)≥0,则有|m|≤2,故A错误;令Δ=12(8-m2)>0,则有|m|<2,故B正确;令直线l与椭圆C相切,则Δ=12(8-m2)=0,即m=±2,直线y=x+3与y=x-2的距离d==5,故C正确;直线y=x-与y=x-2和y=x的距离均为1,因此,C上到l的距离为1的点只有3个,故D正确。故选BCD。
答案:BCD
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a5=-4,S5=-40,则( )
A.a10=6
B.S10=-30
C.当且仅当n=6时,Sn取最小值
D.a5+a6+a7+a8+a9+a10=0
解析　设等差数列{an}的公差为d,由所以an=2n-14,Sn==n2-13n,则a10=6,S10=-30,故A,B正确;令an=2n-14≤0,得n≤7,且a7=0,则n=6或n=7时,Sn取最小值,故C不正确;因为a5+a6+a7+a8+a9=5a7=0,所以a5+a6+a7+a8+a9+a10=6≠0,故D不正确。故选AB。
答案:AB
11.已知红箱内有6个红球、3个白球,白箱内有3个红球、6个白球,所有小球的大小、形状完全相同。第一次从红箱内取出一球后再放回去,第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去,依此类推,第k+1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去。记第n次取出的球是红球的概率为Pn,则下列说法正确的是( )
A.P2=
B.3Pn+1+Pn=1
C.第5次取出的球是红球的概率为
D.前3次取球恰有2次取到红球的概率是
解析　依题意,得P1=,设第n次取出的球是红球的概率为Pn,则取出的球是白球的概率为(1-Pn),对于第n+1次,取出红球有两种情况:①从红箱内取出的概率为Pn·,②从白箱内取出的概率为(1-Pn)·,所以Pn+1=(1-Pn)=,即3Pn+1=Pn+1,故B错误;所以Pn+1-,令an=Pn-,则数列{an}为等比数列,公比为,因为P1=,所以a1=,故Pn=,所以P2=,P5=,故A,C正确;前3次取球恰有2次取到红球包括3种情况:红红白,红白红,白红红,其概率依次为,,,故所求概率为,故D错误。故选AC。
答案:AC
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为 。
解析　由消去y并化简得x2+2x-6=0。设直线与椭圆的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6,所以|MN|=。
答案:
13.若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围为 。
解析　依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故解得a>-3且a≠0。
答案:(-3,0)∪(0,+∞)
14.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后的项数为 。
解析　从第一个括号中选一个字母有3种方法,从第二个括号中选一个字母有4种方法,从第三个括号中选一个字母有5种方法,故根据分步乘法计数原理可知所求项数是3×4×5=60。
答案:60
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面为菱形,AB=AC=2,AA1=2。
(1)证明:平面A1C1B⊥平面BDD1B1;(7分)
(2)求直线DC1与平面A1C1B所成角的正弦值。(8分)
解　(1)证明:因为四边形A1B1C1D1是菱形,所以A1C1⊥B1D1。又BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1。因为B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1 平面BDD1B1,所以A1C1⊥平面BDD1B1。因为A1C1 平面A1C1B,所以平面A1C1B⊥平面BDD1B1。
(2)连接AC,设菱形对角线交点分别为O,O1,连接OO1,依题意可知,OO1⊥平面ABCD,以O为原点,OC,OD,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系。因为AA1=2,AB=AC=2,所以BO==DO,所以B(0,-,0),A1(-1,0,2),C1(1,0,2),D(0,,0),所以=(1,,2),=(-1,,2),=(-1,,-2),设平面A1C1B的法向量为n=(x,y,z),则取n=(0,2,-1),设直线DC1与平面A1C1B的夹角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=,所以直线DC1与平面A1C1B所成角的正弦值为。
16.（本小题满分15分）
设Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知=2。
(1)证明:数列{bn}是等差数列; (7分)
(2)求{an}的通项公式。 (8分)
解　(1)证明:因为bn是数列{Sn}的前n项积,所以当n≥2时,Sn=,代入=2,可得=2,整理可得2bn-1+1=2bn,即bn-bn-1=(n≥2)。又=2,所以b1=,故{bn}是以为首项,为公差的等差数列。
(2)由(1)可知,bn=(n-1)=,则=2,所以Sn=,当n=1时,a1=S1=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=。又a1=不满足上式,故an=
17.（本小题满分15分）
设函数f(x)=x2+ax-ln x,a∈R。
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (7分)
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e]时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由。 (8分)
解　(1)当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,x>0,得f'(x)=2x+1-,令f'(x)>0,解得x>,令f'(x)<0,解得0(2)存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,g(x)有最小值3。
因为f(x)=x2+ax-ln x,a∈R,所以g(x)=f(x)-x2=ax-ln x,x∈(0,e],所以g'(x)=a-(0①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,解得a=,不合题意,舍去。
②当0<0,g(x)在上单调递增,所以g(x)min=g=1+ln a=3,解得a=e2满足条件。
③当≥e时,x∈(0,e)时,g'(x)<0,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,解得a=,不合题意,舍去。综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,g(x)有最小值3。
18.（本小题满分16分）
某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试,测试通过可获得相应学分。员工年度获得的总学分不低于10分,则员工该年度考核为合格。该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A,B,C,D四项,已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如表所示,且员工甲是否通过各项专业技能测试相互独立。
测试项目 A B C D
学分 5分 6分 4分 8分
通过概率
(1)若员工甲参加A,B,C三项测试,求他本年度考核合格的概率; (8分)
(2)员工甲欲从A,B,C,D四项测试中选择三项参加,若要使他本年度考核合格的概率不低于,应如何选择 请求出所有满足条件的方案。 (8分)
解　(1)由题知,员工甲本年度考核合格必须通过B项测试,且A,C两项测试中至少有一项通过,故其考核合格的概率为。
(2)员工甲欲从A,B,C,D四项测试中选择三项参加的方案共分为如下4类:A,C,D方案;A,B,D方案;B,C,D方案;A,B,C方案。①若选择A,C,D三项测试,则必须通过D项测试,且A,C两项测试中至少有一项通过,故员工甲考核合格的概率为,所以此方案不符合要求。②若选择A,B,D三项测试,则需任意两项测试通过或三项测试均通过,故员工甲考核合格的概率为,所以此方案符合要求。③若选择B,C,D三项测试,则需任意两项测试通过或三项测试均通过,故员工甲考核合格的概率为,所以此方案符合要求。④若选择A,B,C三项测试,结合(1)可知,所以此方案不符合要求。综上可得,满足条件的方案为A,B,D方案和B,C,D方案。
19.（本小题满分16分）
中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位:℃)关于时间x(单位:min)的回归方程模型,通过实验收集在25 ℃室温,用同一温度的水冲泡的条件下,茶水温度随时间变化的数据,并对数据做初步处理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据。
(xi-)(yi-) (xi-)(wi-)
73.5 3.85 -95 -2.24
表中:wi=ln(yi-25),wi。
(1)根据散点图判断:①y=a+bx与②y=dcx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型 (给出判断即可,不必说明理由) (5分)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程; (5分)
(3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳,根据(2)中的经验回归方程,求在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感。(6分)
附:①对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为,;
②参考数据:e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7。
解　(1)更适宜的回归方程类型为②y=dcx+25。
(2)由y=dcx+25,可得y-25=dcx,对等式两边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c,令w=ln(y-25),则w=ln d+xln c,计算,得xi=3,=28,结合题表中数据,可得ln c==-0.08,结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92,由ln d=·ln c,得ln d=4.09,结合参考数据可得d=e4.09≈60,所以该茶水温度y关于时间x的经验回归方程为=60×0.92x+25。
(3)因为在25 ℃室温下,茶水温度降至60 ℃口感最佳,所以由60=60×0.92x+25,得0.92x=,对等式两边取自然对数,得x·ln 0.92=ln=ln 7-2ln 2-ln 3≈-0.6,则x≈=7.5,所以在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感。

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