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2024-2025年北师大版深圳市宝安区松岗中学8下期末模拟卷
一．选择题（共8小题）
（3分）1．如图，下列分子结构模型示意图中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
（3分）2．若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）
A．m﹣3＜n﹣3 B．3m＞3n C． D．n﹣m＞0
（3分）3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2） B．2（2x﹣3y）＝4x﹣6y
C．（x+3）2＝x2+6x+9 D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
（3分）4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°后，得到△ADE，下列说法正确的是（　　）
图4 图5
A．点B的对应点是点E B．AB＝DE
C．∠EAB＝120° D．∠B＝∠D
（3分）5．如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AB＝8、AC＝12．则BD的长是（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
（3分）6．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　）
A．等边三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
（3分）7．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1） B．3
C．3x﹣1 D．3
（3分）8．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＞BC，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB、AP于点M、N，设BM＝y，BP＝x，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中a的值为（　　）
A．4 B． C．5 D．4.5
二．填空题（共5小题）
（3分）9．分解因式：x2y2﹣2xy+1＝　 　 ．
（3分）10．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为　 　 ．
（3分）11．1970年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由32块手缝嵌面组成（12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中∠α度数为 　 　 °．
（3分）12．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝4，DC＝8，点E为BC的中点，将平行四边形ABCD沿折痕MN翻折，使点D落在点E处，则线段MN的长为 　 　 ．
（3分）13．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，G为AB的中点，直角∠MGN绕点G旋转，它的两条边分别交CA，BC的延长线于点E，F，连接EF，当AE＝3，BF＝5时，EF的长为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
（8分）14．（1）解不等式：﹣x+1＞7x﹣3；
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
（7分）15．先化简，再求值：，其中x＝5．
（8分）16．如图，在平面直角坐标系中，一个三角板ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）操作与实践：
步骤一：将三角板ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
步骤二：平移三角板ABC，点A的对应点A2的坐标为（1，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）应用与求解：
将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标 　 　 ．
（8分）17．第二十届文博会在深圳举行．南头古城某商铺购进A、B两种文创饰品，采购A种饰品花了1400元，采购B种饰品花了630元，其中A种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元．
（1）A、B两种饰品每件的进价分别为多少元？
（2）该商铺计划购进A、B两种饰品共600件，购进B种的件数不低于390件，且不超过A种件数的4倍．现采购A种饰品有优惠政策，若一次性采购A种超过150件，A种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润．
（8分）18．如图，△ABC中，点D在边AB上，E是AC的中点、连接DE并延长到F，使得CF∥AB．连接AF、CF、CD．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若△ADC为等边三角形，AD＝6，求DF的长．
（11分）19．【综合与实践】折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
（1）操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为12．BC＝6，则此完美长方形EFGH的边长FG＝　 　 ，面积为 　 　 ．
（2）类比探究：如图2，将 ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若 ABCD的面积为20，BC＝5，求完美长方形AEFG的周长．
（3）拓展延伸：如图3，将 ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：EH＝5：12，AD＝26，则长方形EFGH的周长为 　 　 ， ABCD的面积为 　 　 ．
（11分）20．综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点P．
数学思考：（1）试判断PC与PE的数量关系，并说明理由．
深入探究：（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题．
①“乐学小组”提出问题：如图2，当∠CAE＝45°时，则线段BP的长为 　 　 ．
②“善思小组”提出问题：如图3，当∠CAE＝∠B时，求线段BP的长．
2024-2025年北师大版深圳市宝安区松岗中学8下期末模拟卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D B C A D
一．选择题（共8小题）
1．如图，下列分子结构模型示意图中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）
A．m﹣3＜n﹣3 B．3m＞3n C． D．n﹣m＞0
【解答】解：A．由m＞n，得m﹣3＞n﹣3，故不符合题意．
B．由m＞n，得3m＞3n，故符合题意．
C．由m＞n，得，故不符合题意．
D．由m＞n，得n﹣m＜0，故不符合题意．
故选：B．
3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2） B．2（2x﹣3y）＝4x﹣6y
C．（x+3）2＝x2+6x+9 D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
【解答】解：A．x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B．2（2x﹣3y）＝4x﹣6y，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．（x+3）2＝x2+6x+9，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°后，得到△ADE，下列说法正确的是（　　）
A．点B的对应点是点E B．AB＝DE
C．∠EAB＝120° D．∠B＝∠D
【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转60°后，得到△ADE，
∴点B的对应点是点D，∠DAE＝60°，AB＝AD，∠B＝∠D．
根据旋转的性质和图形可以推知．∠EAB＝∠EAD+60°＝∠CAB+60°，∠CAB＜60°，∠EAB的度数小于120度，故D选项正确；A、B、C错误；
故选：D．
5．如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AB＝8、AC＝12．则BD的长是（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【解答】解：在 ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，AC＝12，
∴，，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝90°，
在Rt△ABO中，，
∴BD＝2BO＝20．
故选：B．
6．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　）
A．等边三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
7．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1） B．3
C．3x﹣1 D．3
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）．
故选：A．
8．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＞BC，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB、AP于点M、N，设BM＝y，BP＝x，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中a的值为（　　）
A．4 B． C．5 D．4.5
【解答】解：如图所示，连接PM，线段AP的垂直平分线分别交AB、AP于点M、N，
∴AM＝MP，
∵∠B＝90°，
∴，
由图②可知，当x＝6，y＝2.5，
∴，
∴AB＝AM+BM＝9，
∴当x＝BP＝0，即点M为AB的中点时，
，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
9．分解因式：x2y2﹣2xy+1＝　（xy﹣1）2　 ．
【解答】解：x2y2﹣2xy+1＝（xy﹣1）2．
故答案为：（xy﹣1）2．
10．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为　x＜﹣1　 ．
【解答】能使函数y＝k1x+b的图象在函数y＝k2x的上边时的自变量的取值范围是x＜﹣1．
故关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为：x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
11．1970年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由32块手缝嵌面组成（12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中∠α度数为 　132　 °．
【解答】解：如图所示：
∵正五边形的每个内角为：180°﹣360°÷5＝180°﹣72°＝108°，
正六边形的每个内角为：180°﹣360°÷6＝180°﹣60°＝120°，
∴∠1＝120°，∠2＝108°，
∵∠1+∠2+∠α＝360°，
∴∠α＝360°﹣120°﹣108°＝132°，
故答案为：132．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝4，DC＝8，点E为BC的中点，将平行四边形ABCD沿折痕MN翻折，使点D落在点E处，则线段MN的长为 　　 ．
【解答】解：过点E作EG⊥DC交DC延长线于点G，延长ME交AB的延长线于点H，过点A作AP⊥CD 于点P，过点N作NQ⊥CD于点Q，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，AB//CD，AD//BC，AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，∠D＝∠ABC＝60°．
∴∠GCE＝∠D＝∠ABC，
∴∠CEG＝30°，
∵点E为BC的中点，
∴，
∴CGEC＝1，
∴，
设DM＝ME＝x，则GM＝8+1﹣x＝9﹣x，
∵MG2+EG2＝ME2，
∴，
解得：，即，
∴，
∵CD∥AB，
∴∠DCB＝∠CBH，∠CME＝∠H，∠DMN＝∠HNM，
∵CE＝BE，
∴△MCE≌△HBE（AAS），
∴，，
由折叠可得∠HMN＝∠DMN，
∴∠HMN＝∠HNM，，
∴NB＝NH﹣BH6，
∴AN＝AB﹣BN＝8﹣6＝2，
∵AP⊥CD，NQ⊥CD，
∴∠DPA＝∠DQN＝90°，
∴AP＝NQ，PQ＝AN＝2，
∵∠D＝60°，
∴∠DAP＝30°，
∴DPAD＝2，
∴，
∴，
∴MN．
故答案为：．
13．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，G为AB的中点，直角∠MGN绕点G旋转，它的两条边分别交CA，BC的延长线于点E，F，连接EF，当AE＝3，BF＝5时，EF的长为 　　 ．
【解答】解：如图，连接CG，过点G作GH⊥BC于H，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，G为AB的中点，
∴AG＝BG＝CG，∠CGA＝90°，
∴∠GAC＝∠GCA＝45°，
∴∠GAE＝∠GCF＝135°，
∵∠EGF＝∠AGC＝90°，
∴∠EGA＝∠FGC，
∴△AGE≌△CGF（ASA），
∴AE＝CF＝3，
∵BF＝5，
∴BC＝2，
∵BG＝GC，∠BGC＝90°，GH⊥BC，
∴BH＝HC＝GH＝1，
∴HF＝4，
∴GF，
∴EFGF，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
14．（1）解不等式：﹣x+1＞7x﹣3；
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1）﹣x+1＞7x﹣3；
﹣x﹣7x＞﹣3﹣1，
﹣8x＞﹣4，
x．
（2）解①得：x＜2，
解②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：
15．先化简，再求值：，其中x＝5．
【解答】解：


，
当x＝5时，原式．
16．如图，在平面直角坐标系中，一个三角板ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）操作与实践：
步骤一：将三角板ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
步骤二：平移三角板ABC，点A的对应点A2的坐标为（1，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）应用与求解：
将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标 　（2，﹣1）　 ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C和△A2B2C2为所作；
（2）如图，△A1B1C绕点P（2，﹣1）旋转180°得到△A2B2C2．
故答案为（2，﹣1）．
17．第二十届文博会在深圳举行．南头古城某商铺购进A、B两种文创饰品，采购A种饰品花了1400元，采购B种饰品花了630元，其中A种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元．
（1）A、B两种饰品每件的进价分别为多少元？
（2）该商铺计划购进A、B两种饰品共600件，购进B种的件数不低于390件，且不超过A种件数的4倍．现采购A种饰品有优惠政策，若一次性采购A种超过150件，A种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设每件B种饰品的进价是x元，则每件A种饰品的进价是（x+1）元，
根据题意得：2，
解得：x＝9，
经检验，x＝9是所列方程的解，且符合题意，
∴x+1＝9+1＝10．
答：每件A种饰品的进价是10元，每件B种饰品的进价是9元；
（2）∵该商铺计划购进A、B两种饰品共600件，且购进A种饰品m件，
∴购进B种饰品（600﹣m）件．
根据题意得：，
解得：120≤m≤210．
设购进的两种饰品全部售出后获得的总利润为w元，
若120≤m≤150，则w＝15×600﹣10m﹣9（600﹣m），
即w＝﹣m+3600，
∵﹣1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝120时，w取得最大值，最大值为﹣1×120+3600＝3480；
若150＜m≤210，则w＝15×600﹣10×150﹣10×0.6（m﹣150）﹣9（600﹣m），
即w＝3m+3000，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝210时，w取得最大值，最大值为3×210+3000＝3630．
∵3480＜3630，
∴当m为210时，能使本次销售的利润最大，最大利润是3630元．
18．如图，△ABC中，点D在边AB上，E是AC的中点、连接DE并延长到F，使得CF∥AB．连接AF、CF、CD．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若△ADC为等边三角形，AD＝6，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴CE＝AE，
∵CF∥AB，
∴∠CFE＝∠ADE，
在△CFE和△ADE中，
，
∴△CFE≌△ADE（AAS），
∴DE＝FE，
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）解：∵△ADC为等边三角形，AD＝6，CE＝AE，
∴AC＝AD＝6，DE⊥AC，
∴CE＝AEAC＝3，∠AED＝90°，
∴DE＝FE3，
∴DF＝2DE＝6，
∴DF的长是6．
19．【综合与实践】折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
（1）操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为12．BC＝6，则此完美长方形EFGH的边长FG＝　3　 ，面积为 　6　 ．
（2）类比探究：如图2，将 ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若 ABCD的面积为20，BC＝5，求完美长方形AEFG的周长．
（3）拓展延伸：如图3，将 ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：EH＝5：12，AD＝26，则长方形EFGH的周长为 　68　 ， ABCD的面积为 　480　 ．
【解答】解：（1）由折叠可知，BF＝DF，CG＝DG，AH＝DH＝CH，
∴DF+DG＝BF+CG，点H是AC中点，
∵2DF+2DG＝BC＝6，
∴DF+DG＝3，
即FG＝3，
过点A作AM⊥BC于M，如图1，
∵四边形EHGF是矩形，
∴HG⊥BC，
∴HG∥AM，
∴G是CM中点，
∴，
∵，
∴AM＝4，
∴，
∴完美长方形的面积为3×2＝6，
故答案为：3，6；
（2）由折叠可知BE＝HE，CF＝HF，
∴，
同理可知S△ABE＝S△AHE，S四边形AHFG＝S四边形DCFG，
∴长方形AEFG的面积为20÷2＝10，
∴，
∴长方形AEFG的周长为；
（3）由折叠可证点E，G分别是AB，CD的中点，
∴，
由题意知AB＝CD，AB∥CD，
∴AE＝DG，AE∥DG，
∴AEGD为平行四边形，
∴AD＝EG＝HF，
在Rt△HEF中，设EF＝5x，则EH＝12x，
由勾股定理得：HF13x，
又∵13x＝26，
∴x＝2，
∴EF＝10，EH＝24，
∴周长为：2（10+24）＝68，
由折叠的性质得面积为：10×24×2＝480，
故答案为：68；480．
20．综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点P．
数学思考：（1）试判断PC与PE的数量关系，并说明理由．
深入探究：（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题．
①“乐学小组”提出问题：如图2，当∠CAE＝45°时，则线段BP的长为 　　 ．
②“善思小组”提出问题：如图3，当∠CAE＝∠B时，求线段BP的长．
【解答】（1）解：PC＝PE，
理由：如图1，连接AP，
由旋转的性质知，AC＝AE，∠AED＝∠C＝∠AEP＝90°，
∵AP＝AP，
∴Rt△APE≌Rt△APC（HL），
∴PC＝PE；
（2）解：①如图2，延长AE，交BC于点F，
∵∠CAE＝45°，∠C＝∠AEP＝90°，
∴∠EPF＝∠EFP＝∠CAE＝45°，
∴PE＝EF，AC＝CF＝6，
由（1）知，PC＝PE，
设PC＝PE＝x，
则 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图3，
∵∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，
∴，
由旋转的性质知，AD＝AB＝10，DE＝BC＝8，∠B＝∠D，∠C＝∠AED＝90°，
当∠CAE＝∠B时，
∵∠B+∠EAD＝90°，
∴∠CAE+∠D＝∠CAD＝90°，
∴∠CAD+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠1＝∠D，∠2＝∠B，
∴AO＝DO，BO＝PO，
∵AO+BO＝AB＝10，
∴PO+DO＝PD＝10，
∴PE＝PD﹣DE＝10﹣8＝2，
∴PC＝PE＝2，
∴BP＝BC﹣PC＝6．

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