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2024~2025学年度下学期期末
新洲区部分学校高中一年级质量检测
数学试卷
考试用时：120分钟 满分：150分 考试时间：2025.06
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 设，若，则实数（ ）
A. B. 0 C. 2 D.
3. 一组数据78，70，72，79，80，84，86，88，81，94的第70百分位数是（ ）
A. 81 B. 84 C. 85 D. 86
4. 某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ）
A. B. 3 C. 4 D.
5. 已知，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下面四个命题错误的有（ ）
A. 若，，则；
B. 若，，，，则；
C. 若，，则；
D ，，则.
6. 已知中，，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知正四棱柱中，，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知中，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若复数，为虚数单位，则（ ）
A
B. 若，则或
C. 是方程在复数范围内的一个解
D. 若复数满足，则
10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A. 图（1）的平均数=中位数=众数 B. 图（2）的众数<中位数<平均数
C. 图（2）的众数<平均数<中位数 D. 图（3）的平均数<中位数<众数
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A. 存在点，使得平面平面
B. 过三点的平面截正方体所得的截面的面积为
C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为
D. 的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 立德中学某次课外定点投篮比赛中，登记的9个数据的平均数为8，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据15，则修正后的10个数据的平均数为______．
13. 如图，菱形中，，，，点线段上，且，则______．
14. 如图，三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在棱长为3的正方体中，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
16. 已知向量，，函数，且的最小正周期为．
（1）求函数在上单调递减区间；
（2）将的图象上的点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再把整个图象向左平移个单位得到的图象，已知，，则在上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
17. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数）不低于0.90，则“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中t的值和第70百分位数（结果保留两位小数）；
（2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过按比例分配分层随机抽样抽取45人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
（3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
18. 如图1，矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的余弦值．
19. 如图，若内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
（1）若，求；
（2）已知角所对的边分别为，且，求证：；
（3）在（2）的条件下，若的周长为6，试把表示为的函数，并求的值域．
2024~2025学年度下学期期末
新洲区部分学校高中一年级质量检测
数学试卷
考试用时：120分钟 满分：150分 考试时间：2025.06
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】BC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】9
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）存在，
【17题答案】
【答案】（1），88.33
（2）20 （3）需要进一步整改，理由见解析
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3），

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