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1.1 定义与命题
第1章　推理与证明
学 习 目 标
1
2
理解数学定义的必要性与规范性，能识别命题、定义与陈述句.
掌握命题的结构（条件与结论），并能判断命题的真假.
学习目标
新课导入
假如你现在带着现代的手机穿越到了古代，你该如何向两千年前的古人解
释‘手机’是什么？”
解决这个问题，我们就明确事物的本质
特征，手机的本质是一个通话工具，因此
我们可以解释为“能无线通信的电子设备”.
那么古人是如何解释数学的呢？这样的解
释方式是什么？接下来我们一起学习.
新知探究
战国时期有一位极具影响力的科学家——墨子，他与弟子及后学整理了一
部名为《墨经》的书，在此书中记载了对圆的理解：
“圆，一中同长也”
而我们在教材中对圆是这样定义的：
平面上到定点距离等于定长的点的集合.
这是我国古代对数学概念描述的一个例证，你还能想到哪些数学描述数学
概念的例子？
例1：同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线.
例2：三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形.
例3：求几个相同因数的积的运算叫作乘方.
含有n个a
以上描述概念的语句有什么特点？
思考
探究一
定义——数学大厦的基石
新知探究
像以上例子那样，能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义.
定义的意义
定义可以帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征.
如：平行线的定义既揭示了平行线“没有公共点”的本质属性，更是指出
了平行线与相交线的区别.
定义既可以作为性质使用，又可以提供判定的依据.
注意
新知探究
例1：下列哪个选项是“数 a (a≥0) 的平方根”的定义 ( )
A.谁的平方等于 a？
B.平方等于 a 的数
C.如果一个非负实数 x 的平方等于 a (a≥0)，那么 x 叫作 a 的平方根
D.大概就是 a 开平方得到的那个非负数吧
C
要点总结
定义必须是一个陈诉“是什么”的句子，而非疑问句、反问句或者感叹.
例题讲解
定义必须是陈诉句
表诉不全且有歧义，缺少关键“非负实数”，且没有明确a的范围
不精确且过于口语化，违反了定义的精确
与确定性要求
1.下列哪个选项是 “长方体” 的定义 ( )
A.长方体有6个面，每个面都是长方形.
B.长方体是长长方方的，放在桌子上很稳当.
C.长方体是一个六面体吗？
D.长方体是由6个面围成的立体图形，且每个面都是长方形（特殊时可有正方形），
相对的面完全相同.
即时训练
D
反问句
描述性非定义，且未指出数学本质
性质不完整
发现“命题”的秘密
(1) 如果两个角的和是180°，那么这两个角互补；
(2) 同一平面内，如果两条直线相交所成的角是直角，那么这两条直线垂直；
(3) 如果一个整数的个位上的数是0或5，那么这个数能被5整除.
以上表达数学结论的语句有何种特点？
新知探究
探究二
以上语句都对某个数学结论做出了判断，像这样，对某件事作出
判断的语句叫作命题.
要点总结
思考1：
命题的结构是什么？一般的叙述形式又是怎样的呢？
新知探究
以上命题中，都是“如果…，那么…”的形式，“如果”后面的
部分是条件，“那么”后面的部分是结论，由此可得命题一般
是由条件和结论构成的.
思考2：
以命题(1)为例
新知探究
你能准确识别以上三个命题的条件和结论是哪部分吗？以上结论是否正确？
条件
结论
两个角的和是180°
这两个角互补
由于这三个命题都是经过严谨证明的结论，因此三个命题都是成立的.
条件成立
结论一定成立
真命题
条件成立
结论不一定成立
假命题
思考3：
归纳小结
例2：写出下列命题的结论和条件，并判断真假.如果是假命题，请举出反例.
(1)如果ab=0，那么a=0或b=0；
(2)两条直线被第三条所截，如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
解：(1)条件：ab=0；结论：a=0或b=0.
(2)条件：两条直线被第三条所截，两个角是同位角；结论：这两个角相等.
反例：如图，直线a，b被直线c所截，其中同位角∠1与∠2不相等.
例题讲解
真命题
假命题
(3)对顶角相等；
(4)如果a是有理数，那么
解： (3)先将材料改为“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么这
两个角是对顶角.
条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等.
(4)条件：a是有理数；结论：
反例：当a=1时，a是有理数，但不满足
例题讲解
例2：写出下列命题的结论和条件，并判断真假.如果是假命题，请举出反例.
真命题
假命题
提示：满足条件，但结论与命题结论不相同的例子叫作命题的反例；若能举出一个反例，则该命题一定是假命题.
2.下列语句中，哪些是命题
(1)过点A做一条射线.
(2)线段AB的长是5cm吗？
(3)如果ab>0，那么a+b>0.
解： (1)这是祈使句，是一句操作指令，并非陈诉句，也不能判断真假.
(2)这是疑问句，不是陈述句，无法判断真假.
(3)这是陈诉句，且能够通过反例“如a=-1,b=-2,ab=2>0但a+b+-3<0”判断为假，
因此这是命题.
命题需要满足两个核心的条件：
陈诉句
能判断真假
即时训练
3.指出下列命题的条件和结论，并判断真假.如果是假命题，请举出反例.
(1)如果|a|=|b|，那么a=b；
(2)如果a是负整数，那么a就小于或等于它的倒数.
解：(1)条件：|a|=|b|；结论：a=b.
反例：当a=2，b=-2时，|2|=|-2|，但2
(2)条件：a是负整数；结论： a就小于或等于它的倒数.
即时训练
命题的结构为：“如果条件，那么结论”.
其中条件是已知事项，结论是由条件推出的事项.
假命题
真命题
4.将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论.
(1)平行于同一条直线的两条直线平行；
(2)两个有理数相乘，同号得正.
解：(1)改写：如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线平行.
条件：两条直线平行于同一条直线；结论：这两条直线平行.
(2)改写：如果两个有理数相乘且它们同号，那么积为正.
条件：两个有理数相乘且它们同号；结论：积为正.
即时训练
1.下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，请指出命题的条件和结论.
(1)过直线l外一点P作l的平行线；
(2)△ABC是锐角三角形吗？
(3)直角三角形的两个锐角互余.
解：(1)这是祈使句，并非陈诉句，因此不是命题.
(2)这是疑问句，不是命题.
(3)这是陈诉句，并且可以判断真假，是命题.
条件：一个三角形是直角三角形；结论：这个三角形的两个锐角互余.
课堂检测
2.判断下列命题的真假.如果是假命题，请举出反例.
(1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
(2)四边形的两条对角线相等；
(3)若a＞b，则a ＞b ；
(4)若两个有理数的和小于0，则这两个有理数的积也小于0.
解：(1)同一平面内，垂直于同一直线的两条直线方向一致，均垂直于该直线.
(2)反例：普通平行四边形的两条对角线不相等.
(3)反例：当a=1，b=-2时，满足a＞b，但a =1< b =4.
(4)反例：-1，-2两数，它们的和小于0，但积大于0.
课堂检测
真命题
假命题
假命题
假命题
3.写出下列命题的条件和结论，并判断真假.如果是假命题，请举出反例.
(1)直角三角形的斜边大于它的任何一条直角边；
(2)一个角的补角大于这个角；
(3)在一个圆中，直径大于不经过圆心的弦.
解：(1)条件：一个三角形是直角三角形；
结论：这个三角形的斜边大于它的任何一条直角边.
(2)条件：一个角存在补角（0°＜α＜180°）；
结论：这个角的补角（180°-α）大于α；
反例：α=100°时，补角为80°，80°＜100°；或α=90°时，补角=90°.
(3)条件：在一个圆中，有一条不经过圆心的弦；
结论：这个圆的直径大于这条弦.
课堂检测
真命题
真命题
假命题
定义
作用：明确概念含义
要求：清晰且无歧义
命题
课堂小结
定义与命题
结构：条件+结论
命题的真假
本质：可判断真假的陈诉句
本课结束

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