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湖南省衡阳市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学能力检测练习卷
一、单选题（每小题3分，合计30分）
1．下列分式中，是最简分式的是 （　　）
A． B． C． D．
2．某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．如果测得，，，则河的宽度是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则的值为　　
A．25 B． C．10 D．
4．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，直线与在第二象限交于点，直线分别交轴、轴于，两点．，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形中，E是的中点，F点是的中点，连接，如果，那么菱形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．24 D．32
8．如图，在矩形中，O为的中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，若，，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．为了了解某校学生视力情况，从所有学生中随机抽取50名学生进行调查，统计如下表：则有关这组数据说法正确的是（　　）
视力值
人数（人） 2 6 5 7 7 9 10 3 1
A．中位数是7人 B．众数是7人 C．中位数是 D．众数是
10．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则，
⑤，其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每小题3分，合计24分）
11．PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为　 　 .
12．当　 　时，分式的值为0．
13． 若一组数据 的平均数和众数都是 3 ， 则这组数据的中位数为　 　.
14．如图，在中，，将沿方向平移得，连接，若恰好经过的中点，则　 　．
15．如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有　 　．
16．如图，四边形是菱形，，，和相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点，则四边形的周长为　 　．
17． 菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是　 　．
三、解答题（66分）
19．计算：
（1）；
（2）
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，四边形为平行四边形，，点E在的延长线上，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求四边形的面积．
22．某校为了解学生每周参加科学教育的情况，随机抽取了部分学生进行调查．根据调查结果制作了两幅不完整的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的人数为______人；
（2）统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；
（3）在扇形统计图中，“”部分所对应的扇形的圆心角度数是______度；
（4）若该校有学生，请估计该校每周参加科学教育的时间达及以上的学生人数．
23．如图1，在中，点在对角线上，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）如图2，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
24．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积
25．为了迎接中秋节的到来，河西某商场计划购进一批甲、乙两种月饼，已知一盒甲种月饼的进价与一盒乙种月饼的进价的和为180元，用4000元购进甲种月饼的盒数与用5000元购进乙种月饼的盒数相同.
（1）求每盒甲种、乙种月饼的进价分别是多少元；
（2）商场用不超过4600元的资金购进甲、乙两种月饼共50盒，其中甲种月饼的盒数不超过乙种月饼的盒数，甲种月饼售价190元，乙种月饼售价200元，为了回馈顾客，每卖一盒甲种月饼就返利顾客m元(1026． 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．B
5．C
6．A
7．D
8．D
9．C
10．B
11．2.5×10﹣6
12．
13．3
14．3
15．①③
16．
17．或或
18．
19．（1）
（2）
20．解：原式
.
当时，原式
21．（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴四边形的面积
22．（1）50；
（2），；
（3）；
（4）解：（人），
∴时间达及以上的学生有920人．
23．（1）证明：在中，，
．
又，
，
．
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
．
四边形是矩形．
（2）解：四边形是正方形．
理由：由（1）知，
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
在矩形中，，
，
，
矩形是正方形．
24．（1）解：如图，过点作轴，垂足为，则，∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得：，，
∴ 一次函数 的表达式为，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴点C的纵坐标为，
∴，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接、，过作轴，垂足为点，
，解得：，，
∴点D的纵坐标为，
∴，，
∵，
∴
．
25．（1）解：设甲种月饼进价为元/盒，则乙种月饼进价为元/盒，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解并满足题意，所以，，
答：甲种月饼进价80元/盒，乙种月饼进价为100元/盒.
（2）解：设购进甲种月饼含，则购进乙种月饼（）盒，
根据题意得，
解得，
设总利润为元，根据题意可得，
，
随的增大而減小，则当时，达到最大，
即购进甲种月饼20盒，购进乙种月饼30盒利润最大.
26．（1）解：∵点C在x轴正半轴上，OC＝4，
∴C（4，0），
由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5，
将C（4，0）代入得：0＝4m+5，
解得m＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5
（2）解：过P作PH⊥AC于H，如图：
设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5，
将B（0，5）代入y＝x+b得：
b＝5，
∴y＝x+5，
在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AC＝6，
∴S△ABC＝AC OB＝×6×5＝15，S△APC＝AC PH＝×6×（﹣n+5）＝﹣n+15，
∵△ABP的面积等于△AOB的面积，
∴15﹣（﹣n+15）＝×2×5，
解得n＝，
∴P；
（3）解：存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设直线AP解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），P代入得：
，
解得，
∴直线AP解析式为y＝x+2，
设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），
①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，如图：
∴，
解得，
∴D（1，0）；
②若EB，DC为对角线，同理可得：
，
解得，
∴D（﹣11，0）；
③若EC，DB为对角线，
∴，
解得，
∴D（7，0），
综上所述，D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）．

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