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湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年八年级下学期期末数学能力提升练习卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，于，则的长是（　　）
A．10 B． C． D．
5．为了迎接中考体育科目考试，我校初三学生积极参加体育锻炼．表格是初三某班一周参加体育锻炼的时间统计，则该班学生一周锻炼时间的众数、中位数（单位：h）分别是（　　）
时间/h 6 7 8 9
人数 2 14 18 6
A．18，8 B．8，7 C．8，8 D．8，7.5
6．已知直线上有两点，点和点，且，则下列说法正确的是（　　）
A．n的值可能为 B．y随x的增大而增大
C．图象过第一、二、四象限 D．点可能在函数图象上
7．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（　　）
A．当平行四边形是矩形时，
B．当平行四边形是正方形时，
C．当平行四边形是菱形时，
D．当平行四边形是矩形时，
8．如图，在中，D，E分别为，的中点，连接，点F在上且．若，，则线段的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形ABCD，边长AB＝2，对角线AC、BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．将直线向下平移3个单位长度，平移后直线的解析式为　 　．
13．已知一组数据3，4，5，6，的众数为5，则这组数据的平均数为　 　．
14．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为　 　，最大值为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=　 　.
16．如图，购买一种苹果所付款金额（元）与购买量（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，若一次购买5千克这种苹果所付金额为（元），购买五次1千克所付金额为（元），则　 　．
三、本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．（解答时应写出必要的文字说明、证明）
17．计算：．
18．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
19．已知与成正比例，当时，．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当时，求的取值范围．
20．如图，是的中位线，延长至点F，使，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，求的长．
21．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
22．第届冬奥会于年月日在北京胜利闭幕某校七、八年级各有名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理得分用表示：：，：，：，：，：，：，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩组的全部数据如下：，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）　　　　，　　　　；
（2）八年级测试成绩的中位数是　　　　；
（3）若测试成绩不低于分，则认定该学生对冬奥会关注程度高请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？
23．如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在点处，与交于点．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长，
24．2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为，游轮行驶的时间记为，两艘轮船距离杭州的路程关于的函数图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长；
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．请解答下列问题：
①填空：图2中的函数表达式为______， 的函数表达式为______；
②货轮出发后几小时追上游轮？
③从货轮出发到货轮到达终点，直接写出x为何值时，游轮与货轮相距？
25．如图，已知直线y=kx+b与直线y= x-9平行，且y=kx+b过点(2，3)，与y轴交于点A．
（1）求点A坐标．
（2）若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，在四边形PMON 上分别截取：PC= MP ，MB= OM ，OE= ON，ND= NP，证明： 四边形BCDE是平行四边形．
（3）在(2)的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
2．A
3．D
4．D
5．C
6．C
7．A
8．A
9．C
10．C
11．
12．
13．
14．；
15．
16．6
17．解：原式
18．（1）16
（2）
19．（1）解：设该正比例函数的解析式为，
把，代入，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为.
（2）解：当时，，当时，，
，
∴y 随x的增大而减小，
∴当时，．
20．（1）证明：∵DE是的中位线，
∴，.
∵，
∴.
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴.
∵，点E是的中点，
∴．
21．解∶ 设秋千绳索长为尺，
则尺，
在中，，即，
解得：，
∴秋千绳索长为尺．
22．（1）20，4
（2）
（3）估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人
23．（1）证明：由折叠得：，，
在矩形中，，，
，，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
，
设，则，
在中：，
即，
解得：，
即．
24．（1）解：由题意可知C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了，，即游轮在“七里扬帆”停靠的时长为；
（2）①，；
解：
②令，解得，，
即货轮出发后追上游轮；
③第一种情况：当游轮离开杭州时，游轮与货轮相距，
此时，；
第二种情况：当相遇前距离货轮，即，
解得；
第三种情况：当相遇后距离货轮，即，
解得；
综上，x为或或时，游轮与货轮相距．
25．（1）解：∵直线y=k×+b与y=x-9平行，且过点(2，3)，
则解得．一次函数表达式为y=x+4，
当×=0时，y=4，∴点A坐标是(0，4)．
（2）解：∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴∠PMO=∠PNO=∠NOM= 90° ，∴四边形PMON是矩形，
∴ PM= ON，OM=PN，∠PMO=∠NOM= ∠ PNO= C NPM= 90°．
∵PC=MP ，MB=OM，OE=N，ND=NP，
∴PC=OE， CM=NE ，ND= BM， PD=OB．
在△OBE和△PDC中，0B=PD，∠EOB=∠CPD ，OE=PC，
∴△OBE≌△PDC，∴DC= BE，
同理可证△MBC≌△NDE，
∴DE= BC，∴四边形BCDE是平行四边形．
（3）解：存在这样的点P，且点P坐标为()或(-8，8)．

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