资源简介

南师附中、海安中学、海门中学、天一中学高二年级 6月份测试
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合M={x|0< x< a} ,N= x|x2-6x+5<0 ，若N∪M=M，则实数 a的取值范围是 ( )
A. [3 ,+∞) B. (3 ,+∞) C. [5 ,+∞) D. (5 ,+∞)
2.已知直线 a 平面 α，则＂直线 b⊥平面 α＂是＂ a⊥ b＂的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
f 2 - f 2+Δx3. 己知函数 f x 在 R上可导，且满足 limΔx→0 = 1 ，则函数 f x 在点 2, f2Δx 2 处切线的
斜率为 ( )
A. - 2 B. 2 C. - 1 D. 1
4.若 5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报 1项，则不同的报名方式有 ( )
A. 53 种 B. 35 种 C. A3 种 D. C35 5 种
5.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BC1 与 B1C 相交于点 O , ∠BAC= 90° , ∠A1AB=∠ A1AC= 60° ,A1A= 2
,AB=AC= 1 ，则线段 AO的长度为 ( )
A. 2 B. 10 C. 102 D. 2 2
6. 3 1已知奇函数 f x 在 x> 0上满足 f x = 4 f ' 1 lnx+
2
2 x - 2x ，其中 f x 的导函数为 f ' x ，则 f x
的极大值点为 ( )
A. 3 B. - 3 C. 1 D. - 1
a-2 x-a+1, x<1 f x7. = , -∞,+∞ , ≠ 1 - f x2 已知 f x 在 上对任意 x1 x2 x1 x2 满足 < 0 ，则-ax2+lnx, x≥1 x1-x2
实数 a的取值范围为 ( )
A.
1
2 ,2 B.
1
2 ,2 C. 1,2 D. 1,2
数学试题 第 1 页 共 9 页
8.甲袋中有 3个白球和 2个红球，乙袋中有 2个白球和 3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机
取 2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为 ( )
A. 310 B.
1
2 C.
3
5 D.
5
8
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.下列命题正确的是 ( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于 1
B. 对具有线性相关关系的变量 x , y ，有一组观测数据 xi,yi i=1,2, ,10 ，其经验回归方程是 y=

bx+ 3 ，且 x1+ x2+ x3+ +x10= 3 y1+y2+y3+ +y10 = 9 ，则实数 b的值是 -3
C. 已知随机变量 X 的方差为 4 ，则 3X+ 2的标准差是 6
D. 已知随机变量 X N 1,σ2 ，若 P(X<-1) = 0.3 ，则 P(X< 2) = 0.7
10.已知 2-x 1+x 2 025= a0+ a1x+ a2x2+ +a2026x2026 ，则
A. a1= 4049( ) B. a0+ a2+ a4+ +a2026= 22025
C. 22026a 20250+ 2 a + 220241 a2+ +a 20262026= 3 D. a1+ 2a + 3a + +2026a = 2024× 220242 3 2026

11.设事件 A ,B满足 0

A. A与 B可能独立 B. A与 B可能互斥 C. P A >P(A|B) D. P B 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.已知 f x = sin3x+ ax- 6 ，且 f -1 = 8 ，则 f 1 = .
4
13. x+ 1x +2 的展开式中的常数项为 .
14. = | ≤ ≤ , ∈ , = , , x1+2x2+3x己知 M x 1 x 16 x N A x x x M ，且 31 2 3 3 ∈ Z .则满足条件的集合 A共有
个.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，四棱椎体P-ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD ,PD=DC=PD=DC= 2AD=
2 2 ,M为BC的中点.
(1)求证：AM⊥平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM夹角的余弦值.
数学试题 第 2 页 共 9 页
16.为调查学生喜欢在食堂就餐是否和性别有关，学校随机调研了男女生各 100
人，经统计得到如下 2× 2列联表：
男 女
喜欢 80 40
不喜欢 20 60
1 依据 α= 0.001的独立性检验，判断学生喜欢在食堂就餐是否与性别有关？
(2)为听取学生对食堂的建议，从学生中抽取 9 人召开座谈会，并给其中 3 名同学赠送礼品，每人 1 份
(其余人员仅赠送餐券)。已知参加座谈会的学生中有且只有 4名学生来自高一，求高一这 4名学生中得
到礼品的人数 X 的分布列和数学期望.
n ad-bc 2
附：χ2= ，其中 n=a+b+c+d
a+

b c+d a+c b+d
α 0.010 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
17.函数 f x 的定义域为 D ，如果 x∈D ，都有 f a+x + f a-x = 2b 恒成立，那么 f x 的图象关于
a,b 对称.已知 f x = x3- 2ax2+ a2x- 2 327 a .
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 a= 3时，
①证明：函数 f x 图象关于 2,0 对称；
f 1②求 10 + f
2 39
10 + +f 10 的值.
数学试题 第 3 页 共 9 页
18.某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数 (单位：千人)如下：
日期 5月 1日 5月 2日 5月 3日 5月 4日 5月 5日
第 x 天 1 2 3 4 5
参观人数 y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9
1 根据上表数据，判断成对样本数据 xy 的线性相关程度，请用样本相关系数 r 加以说明；(若 r >
0.75 ，则认为 y与 x的线性相关性很强)，如果 y与 x的线性相关性很强，那么求出 y关于 x的经验回归
方程；
(2)五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为
111 2 1
263 ，且出景区与入景区选择相同门的概率为 3 ，选择与入景区不同两门的概率各为 6 .假设游客从
南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁 4名游客于 5月 1日游玩景点，设 X 为 4人中从
东门出景区的人数，求 X 的分布列、期望及方差.
5 5 5
附：参考数据： xiyi= 72 , x2i = 55 , y = 4 , y2i = 95.86 , 158.6 ≈ 12.59.
i=1 i=1 i=1
n
xiyi-nx
y
y = bx + a b = i=1 , a = y

参考公式：经验回归方程 ，其中 n - bx
. 样本相关系数 r =
x2 2i-nx
i=1
n
xiyi-nx y
i=1
n n .
x2-nx 2 y2 2i i-ny
i=1 i=1
19.设 n∈N * ，对任意 x∈R , xfn' x = 1-nx fn x 成立，则该函数 fn x 称为＂ n级函数＂，其中 fn' x
为函数 fn x 的导数.
(1)判断函数 y= xekx x和 y= kx ，是否为＂ k级函数＂，并说明理由；e
(2)记 (1)中的＂ k级函数＂为 gk x .
(i)若 α , β∈R , α≠ β ，使得 g1 α = g1 β ，证明：α+ β> 2 ；
(i) x∈ - 1 ,1- 1
ln x+a
若 2 2 ln2 , g2 x > ，求实数 a的取值范围.2 x+a
数学试题 第 4 页 共 9 页
参考答案
1. C
【解析】N= (1 , 5) ,N∪M=M，所以N M，所以 a≥ 5，故选 C.
2. A
【解析】略.
3. A
f 2+Δx - f 2
【解析】 f ' 2 = =-2 ，故选 A .Δx
4. B
【解析】由乘法原理，每个学生均有 3 种选择方法，所以不同的报名方法数为 35 ，故选B.
5. C
1 1
【解析】AO = AB +AC = AA +AB+AC , AO 2
2
2 1 2 1 = AO =
1 2 2 2
4 AA1+AB +AC +AA1 AB+2AA1 AC+2AB AC =
1
4 4+1+1+2+2 =
10
4 ，所以 AO =
10
2 ，故选 C.
6. B
3f ' 1 3
【解析】 f ' x = 4x + x- 2 ，则 f ' 1 = 4 f ' 1 - 1 ，所以 f ' 1 =-4 ，所以 f ' x = x-
3
x - 2 =
x2-2x-3 x+1 x-3= x x ，所以 3 是极小值点，又 f x 是奇函数，所以 f x 的极大值点为 -3 ，故
选 B.
7. D
1
【解析】由题意，f x 单调递减，所以 a< 2 ,-1≥-a ，且对任意 x≥ 1，-2ax+ x ≤ 0，所以 1≤ a
< 2 ，故选 D.
8. C
P AB
【解析】A ：第一次取出的球为红球，B ：第二次取出的球是白球，则 P B|A = =
P A
1 2 3 3 2
2 5 × 4 + 5 × 4 3
1 2 3 = 5 ，故选 C.
2 5 + 5
9. BC

【解析】A.两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近于 1 ，所以 A 错误；y=
0.3 , x= 0.9 ，所以 0.3= 0.9b+ 3 ，所以 b=-3 ,B 正确；C 正确；
D.P(X< 3) = 0.7 ，所以 D 错误，故选 BC.
10. AC
【解析】a1= 2× 2025- 1= 4049 ，A 正确；
令 x= 1 ，则 22025= a0+ a1+ +a2026 ，令 x =-1 ，则 0= a0- a1+ a2- a3+ +a2026 ，所以 a0+ a2+ a4
+ +a 20242026= 2 ，
B x= 1 3
2026 2026
错误； 2 ，则 2 = a0+ a
1 + +a 11 2 2026 2 ，所以 22026a0+ 22025a + 220241 a2+ +a2026=
32026 ,C 正确；
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两边对 x 求导得：- 1+x 2 025+ 2025 2-x 1+x 2 024= a + 2a x+ + 2026a x20251 2 2026 ，令 x= 1 ，则 a1
+ 2a2+ 3a3+ +2026a 20242026= 2023× 2 ，所以 D 错误，故选 AC.
11. BCD

【解析】若 AB 独立则 P A =P A|B ，所以 A 错误；当 AB 对立时，足 0

立，所以 B 正确；因为 P A < P(A |B) ，所以 P AB > P A P B ，所以 P A - P AB >
P A 1-P B ，所以 P AB < P A P B ，所以 C 正确；所以 P B - P AB > P B -

P A P B ，所以 P AB >P A P B ，所以 P B 12. -20
【解析】 f 1 =-6× 2- 8=-20 .
13. 70
4 8
【解析】 x+ 1x +2 = x+
1 ，其常数项为 C4x 8= 70 .
14. 410
x1+2x2+3x【解析】因为 33 ∈ Z ，所以 x1+ 2x2 能被 3 整除，所以 x1 , x2 除以 3 的余数相同，当 x1 , x2
都被 3 整除时，则 A 的个数为 C35 +C 2 3 25 × 11= 120 ，当 x1 , x2 被 3 除余 1时，则 A 的个数为 C6 +C6
× 10= 170 ，当 x1 , x2 被 3 除余 2 时，则 A 的个数为 C3 25 +C5 × 11 = 120 ，所以满足条件的集合 A 共
有 410 个.
15. (1)因为 DC= 2AD= 2 2 ,M 为 BC 的中点，
AD = AB所以 = 2 ，
AB BM
因为四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形，
所以 ∠DAB=∠MBA= π2 ，所以 ∠DBA=∠AMB ，
而∠MBD+∠DBA= π2 ，即∠MBD+∠AMB=
π
2 ，所以AM⊥DB，
因为PD⊥底面ABCD ,AM 底面ABCD，
所以PD⊥AM，而DB∩PD=D ,DB ,PD 平面PBD，
所以AM⊥平面PBD；
(2)因为PD⊥平面ABCD ,AD ,DC 平面ABCD，
所以PD⊥AD ,PD⊥DC，
因为四棱椎P-ABCD的底面是矩形，
所以 PD⊥ ，建立如下图所示的空间直角坐标系，D 0,0,0 ,P 0,0,2 ,A 2 2 ,0,0 ,M 2 ,2,0 ，
因为 PD⊥ 平面 ABCD ，

所以平面 ABCD 的法向量为 DP= 0,0,2 ，

设平面 APM 的法向量为 n= x,y,z ，PA= 2 2 ,0,-2 ,MA= 2 ,-2,0

n P A =0, 2 2x-2z=0,于是有 即 - 令 x= 2 ，则 y= 1 , z= 2 ，n MA=0, 2x 2y=0,
此时 n= 2 ,1,2 ，
设平面 ABCD 与平面 APM 的夹角为 θ ，

= D P ncosθ = 2×2 2则 = 7 .
DP n 2× 2 2 +12+22 7
数学试题 第 6 页 共 9 页
16. (1) H .χ2= 200×80×60-20×40
2 100
提出假设 0 ：喜欢食堂就餐与性别无关 100×100×120×80 = 3 ≈ 33.3> 10.828
所以有 99.9% 的把握认为喜欢食堂就餐与性别有关.
3
(2) C 5高一 4 名学生中得到礼品的人数 X 的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3 ，P X=0 = 53 = 42 ,P X=1 =C9
C1C2 10 C2C1 34 5
3 = 21 ,
C
P X=2 = 4 5 5 4 1
C C3
=
9 9 14
,P X=3 = 3 = 21 ,所以 X 的分布列为：C9
X 0 1 2 3
P 5 10 5 145 21 14 21
所以 E X = 0× 5 10 5 1 4 45 + 1× 21 + 2× 14 + 3× 21 = 3 .
17. (1)f x 的定义域为 R , f ' x = 3x2- 4ax+ a2= x-a 3x-a .
①当 a= 0 时，f ' x ≥ 0 , f x 在 R 上单调递增；
a a a
②当 a> 0 时，a> 3 ，当 x∈ -∞, 3 时，f ' x > 0 , f x 单调递增，当 x∈ 3 ,a 时，f ' x < 0 ,
f x 单调递减，当 x∈ a,+∞ 时，f ' x > 0 , f x 单调递增；
(3)当 a< 0 时，a< a3 ，当 x∈ -∞,a 时，f x < 0 , f
a
x 单调递减，当 x∈ a, 3 时，f ' x > 0 ,
f x
a
单调递增，当 x∈ 3 ,+∞ 时，f ' x < 0 , f x 单调递减.
综上所述，当 a= 0 时，f x 在 R 上单调递增；当 a> 0 时，f x 在 -∞, a3 和 a,+∞ 上单调递
a增，在 3 ,a 上单调递减；当 a< 0 时，f x 在 -∞,a
a a
和 3 ,+∞ 上单调递减，在 a, 3 上单
调递增.
(2)①证明：依题意，f x = x3- 6x2+ 9x- 2，f 2+x = 2+x 3 - 6 2+x 2 + 9 2+x - 2
所以 f 2+x = x3+ 6x , f 2-x = 2-x 3 - 6 2-x 2 + 9 2-x - 2 ，
所以 f 2-x =-x3- 6x , f 2+x + f 2-x = 0 ，
所以函数 f x 图象关于 2,0 对称；
②设 S= f 110 + f
2
10 + +f
39 39
10 ，则 S= f 10 + f
38
10 + +f
1
10 ，2S= f
1 + f 3910 10
+ f 2 + f 3810 10 + +f
39 1
10 + f 10 = 0
所以 S= 0 , f 110 + f
2
10 + +f
39
10 的值为 0 .
5 5
18. (1) 依题意，x= 1+2+3+4+55 = 3，而 x
2
iyi= 72 , xi = 55 , y= 4，
i=1 i=1
5
xiy i-5xy
r= i=1 = 72-5×3×4 = 12 ≈ 12 ≈ 0.95.因为 r≈
5 5 55-5×32 95.86-5×42 158.6 12.59 x2 2 2i-5x yi-5y2
i=1 i=1
0.95> 0.75时线性相关程度高，所以 y与 x线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合.
5
xiyi-5xy
b= i=1 = 72-5×3×4 = 1.2 , a

5 2 = y- bx
= 4- 1.2× 3= 0.4
x2i-
55-5×3
5x 2
i=1
数学试题 第 7 页 共 9 页
因此，回归方程为 y = 1.2x+ 0.4.
(2)＂甲从东门出学校＂为事件 A ，＂甲从南门进学校＂为事件 B ，＂甲从东门进学校＂为事件 C ，＂
甲从北门进学校＂为事件 D ，
1 1 1 1 2
由题意可得 P B = 2 ,P C = 6 ,P D = 3 ,P A|B =P A|D = 6 ,P A|C = 3 ，
P A =P BA+CA+DA = P BA +P CA +P DA
由全概率公式得： = P B P A|B +P C P A|C +P D P A|D
= 1 1
，
2 × 6 +
1 × 2 1 1 16 3 + 3 × 6 = 4
1 1
同理乙、丙、丁从东门出景区的概率也为 4 ，X 为 4 人中从东门出景区的人数，则 X B 4, 4 ，
4
P X=0 = 34 =
81
256 ,
1 3
P X=1 =C14 1 3 = 108 = 274 4 256 64 ,
2 2
P X=2 =C2 1 34 4 4 =
54 27
256 = 128 ,
1 3 3 1P X=3 =C3 = 12 34 4 4 256 = 64 ,
4
P X=4 = 1 = 14 256 ,
E X = 4× 14 = 1 ,D X = 4×
1
4 ×
3 3
4 = 4 .
19. (1)记 f kxk x = xe , fk x = 1+kx ekx ，
则 xfk' x = x 1+kx ekx , 1-kx fk' x = 1-kx xekx ，
当 x= 1 时，又 k∈N * ，有 xf 'k x ≠ 1-kx f 'k x ，
故 y= xekx 不是＂ k 级函数＂；
记 g xk x = , g ' x =
1-kx
，
ekx k ex
有 1-kx gk x = xgk' x ，
x
故 y= kx 是＂ k 级函数＂.e
(2) (i)h x = g x1 x = x ，e
证明： α , β∈R ，使得 h α = h β ，
x 1
由题意即证 x = c 0法一：x= cex , lnx= lnc+ x ，lnα= lnc+ α , lnβ= lnc+ β,
α-β α+β
有 lnα- lnβ= α- β , = 1< ，
lnα-lnβ 2
所以 α+ β> 2 .
x 1 1 x ln x+a 2x ln x+a( ii)g x = , x∈ - ,1- ln2 , > > 2x
ln x+a
2 e2x 2 2 2x
，即
e 2 x+a e2x x+a
，即 2x >e eln x+a
x+ a> 0 a≥ 1， 恒成立，所以 2 ，又 x= 0 时不等式恒成立，
有 lna< 0 ，解得 0< a< 1 ，
故 1> a≥ 1 12 ，此时 0< x+ a< 2- 2 ln2< 2 , ln x+a < ln2< 1 .
x
由 (1)可知 h x = e 在 -∞,1 上是增函数，在 1,+∞ 是减函数，
(I)当 2x≤ 1 时，得 ln x+a < 2x ，即 a< e2x- x ，
数学试题 第 8 页 共 9 页
令 m x = e 2x - x , m' x = 2e 2x - 1 = 0 , x =- 12 ln2m x 在 -∞,-
1
2 ln2 上单调递减，在
- 12 ln2,
1
2 上单调递增.
m 1 1 1所以 min x =m - 2 ln2 = 2 + 2 ln2
1 1 1
所以 2 ≤ a< 2 + 2 ln2 .
(II)当 2x> 1 1 1时，即 2 < x< 1- 2 ln2 , 1< 2x< 2- ln2 时 m 2x >m 2-ln2 ，又 ln x+a <
ln2< 1 ，有 m ln x+a 且由 (1)可知存在 x0> 1 ，使得 m ln2 =m x0 , x0+ ln2> 2 ，
即 m ln2 =m x0 此时恒有 m 2x >m ln x+a .
a 1 ≤ a< 1 1综上， 的取值范围为 2 2 + 2 ln2 .
数学试题 第 9 页 共 9 页

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