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三明北附2024——2025 (下)期中考高一数学A卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1-i)z=1+i, 则z =( )
A、-i B. i C.1-i D.1+i
2.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
3.已知向量=(2,4), =(1,λ),且 则λ=( )
A.2 B.-2 C.
4.正方体 中，直线AB 与平面ABC D 所成角的正弦值为( )
A.
5.在△ ABC中, 内角A, B, C所对的边为a, b, c, 若 则角B的大小为( )
A. B. 或 C. D.
6.已知向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底 表示, 则( )
7.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是 那么这个三棱柱的体积是( )
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8.如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB、AC两边交于M、N两点(M、N与B、C不重合)，设 则 的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理不正确的是( ).
A.α∩β=a, b α a//b
B.α∩β=a, a//b b//α, 且b//β
C. a//β, b//β, a α, b α α//β
D.α//β, α∩γ=a, β∩γ=b a//b
10.下列命题正确的是( )
B.已知向量 与 的夹角是钝角，则k的取值范围是k<0；
C.若向量 能作为平面内所有向量的一组基底
D.若 则在上的投影向量为
11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 则( )
C.△ABC的面积为 D.△ABC的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 与夹角为135°，则在方向上的投影向量为 .(用表示)
13.在四边形ABCD中, 已知 则四边形ABCD的面积是
14.在复数范围内，-4的所有平方根为 ，并由此写出-4的一个四次方根 。
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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13 分)已知向量
(1)若//, 求||的值;
(2)若 求k的值.
16.(本小题15 分)在①复数z满足z+i和 均为实数；②为复数z的共轭复数，且 z+1;③复数z=a+ bi(a∈R,b<0)是关于x方程 的一个根，这三个条件中任选一个(如
果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)，并解答问题：
(1)求复数z;
(2)在复平面内，若 对应的点在第四象限，求实数x的取值范围.
17.(本小题15分)如图，在三棱柱 中，E, F, G分别为棱 AB的中点.
(1)求证: 平面A C G//平面BEF;
(2)若平面 求证：H为BC的中点.
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18.(本小题17 分)△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, sinAsinC.
(1)求B的大小;
(2)若a=3, 且 BD是AC边的中线，求BD长度.
19.(本小题17 分)如图，在四棱锥 中, 平面PAD⊥平面ABCD, BC//平面PAD,BC = E是PD的中点.
(1)求证:
(2)求证: 平面PAB⊥平面PAD;
(3)若M是线段CE上任意一点，试判断线段AD上是否存在点N，使得 请说明理由.
第4页，共4页三明北附2024——2025 (下)期中考高一数学A卷
参考答案
一、单选题
1-8 BCAAB CDD
二、多选题
9、ABC 10、AD 11、ABD
三、填空题
12、 13、30 14、±2i，1+i
四、解答题
15、(1) 由 得 解得
故
(2)由已知
又
解得
16、(1) 设z=a+ bi(a, b为实数) ,
若选①复数z满足z+i和 均为实数，
，
为实数，所以 解得a=2, b =-1,
所以z=2-i;
若选②Z为复数z的共轭复数，
且
则(a+ bi)(1+i)=a-bi+1,
即a﹣b+(a﹢b)i=a+1﹣ bi,
所以 解得b=-1,a=2,
所以z=2-i;
若选③复数z=a+ bi(a∈R,b<0)是
关于x方程 的一个根，
则 即
所以
2ab﹣4b=0, b<0,
所以a=2, b=-1, z=2-i;
(2)若
对应的点 在第四象限°,
则 解得0﹤x﹤ 1或
故x的取值范围为
17、证明:(1)∵E,F分别为. 的中点，
∵A C 平面A C G,EF 平面A C G,
∴EF∥平面A C G.又F，G分别为 AB的中点，
又 ∴四边形 为平行四边形，
∵A G 平面A C G,BF 平面A C G,
∴BF∥平面A C G.又
∴平面A C G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面, 平面 平面 平面 与平面ABC有公共点 G，且平面
。
∵G为AB的中点,∴H为BC的中点.
18、(1) 因为
可得
所以由正弦定理可得
即
所以 因为 所以
(2)因为
则
可得 则
又 可得
由余弦定理可得
，整理可得 解得
19、(1) 证明:
∵BC∥平面PAD, BC 平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD
所以BC∥AD.
(2)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD = AD, BA⊥AD,
所以BA⊥平面PAD,
又因为BA 平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PAD.
(3)当N为AD中点时,XN∥平面PAB.
证明: 取AD的中点N, 连接CN, EN, E, N分别为PD, AD的中点,
所以EN∥PA,EN 平面PAB, PA 平面PAB,所以EN∥平面PAB,
又因为 所以四边形°ABCN为平行四边形，
所以CN∥AB,CN 平面PAB, AB 平面PAB,
所以CN∥平面PAB,CN∩NE, 所以平面CNE∥平面PAB,
又因为XN 平面CNE, 所以XN∥平面PAB.
线段AD上存在点N，使得XN∥平面PAB.

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