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重庆西藏中学校2024-2025学年度下期半期考试
高一 数学（解析版卷）
（满分：150分，时间：120分钟）
1-5 DABBA 6-8 DCB
9-11 ACD ABD AC
12-14 3 /
1．已知复数，其中是虚数单位，则复数等于　　
A．3 B． C．10 D．
故选：．
2．已知向量，满足，且，则在上的投影向量为　　
A． B． C． D．
故选：．
3．已知若，则
A． B． C． D．
故选：B
4．中国人民解放军某舰队一艘巡逻舰在南海执行任务时以60海里/小时的速度向正北航行，在A处发现S处有一艘船只，仪表显示S处在A处的北偏东30°，半小时后航行到B处，在B处测得S处在巡逻舰的北偏东75°，则S与B之间的距离是
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
故选：B
5.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=(　　) 【答案】A
A． B． C． D．
6. 已知，则（ ）【答案】D
A. B. C. D.
7．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8．（2023春 水富市期末）如图，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，，，则的最小值为　　．
A． B． C．3 D．9
【解答】解：因为是线段的中点，所以，
又因为，所以，
又，，
所以，即，
因为，，三点共线，所以，化为，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．当时，复数是纯虚数
B．复数对应的点在第一象限
C．复数，则
D．复数与分别表示向量与,则表示向量的复数为
故选：ACD
10．已知函数，则下列四个结论中不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间内有4个零点
D．函数在区间上单调递增
【答案】ABD
11.在中，，，，D为线段上的点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若D为的中点，则
C．若为的平分线，则 D．若，则
【答案】AC
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．当复数为实数时，实数　3　．
【解答】解：复数为实数时，
可得，解得或（舍去）
故答案为：3．
13.已知中，角的对边分别为，，则角 ．
【答案】
14.已知的内角的对边分别为，，，且满足，，则 ；的中线的最大值为 .
【答案】 /
【详解】空1：因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
且，所以；
空2：因为，可得，
由，当且仅当时，等号成立，所以，
又因为为的中线，则，
可得
，
所以，即中线的最大值为.
故答案为：；.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本小题满分13分）
（1）平面内给定三个向量，，．若，求实数；
（2）已知，，，的夹角为，求的值．
【解答】解：（1），，
若，则，解得；
．
16．（本小题满分15分）
已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【解答】解：（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
17.（15分）
已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）求图象的对称中心的坐标；
（3）若，，求的值.
（1）.
（2），因为是奇函数.
所以.解得.
（3）因为，所以，
当，即时，取得最小值，且最小值为.
当，即时，取得最大值，且最大值为.
20.解：（1）当时.在上单调递增.
所以，解得.
当时，在上单调递减.
所以.解得.
综上，的值为或2.
（2）（方法一）函数在上单调递减.
当时，在上单调递增，且，
所以，即.
又，所以.即的取值范围是.
（方法二）依题意可得对恒成立.
令函数，.
因为，所以为增函数，所以.
所以，又，所以，即的取值范围是.
17．已知函数的部分图象如图.
(1)求函数的解析式，并写出它的对称中心；
(2)求函数的最小值，并求取最小值时x的集合；
(3)若函数的图象向右平移个单位长度得到一偶函数的图象，求m的最小值.
【详解】（1）由图象知.
所以，所以.
又由图象知，
所以，，
则，所以.
又，所以，
可得，所以.
所以，
令
所以它的对称中心为.
（2）由知，
此时，即.
所以取最小值时的集合为.
（3）向右平移个单位长度得到为偶函数，
即函数图象关于轴对称，即为，
所以，所以.
由于，所以当时，.
所以的最小值为.
19．（本小题满分17分）
重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知,弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M,，设．
（Ⅰ）将，用含有的关系式表示出来；
（Ⅱ）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉M与山庄O的距离的值最大？
（Ⅰ）在中，由正弦定理可知.则
. ………………………………………2分
由正弦定理可得，
则. 4分
（Ⅱ），，.
在中，由余弦定理可知
. ....................................................................8分
，，
.
当时，即时，
取最大值. ................................................10分
即当时，取最大值. ...............................17分重庆西藏中学校2024-2025学年度下期半期考试
高一 数学（试题卷）
（满分：150分，时间：120分钟）
单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知复数，其中是虚数单位，则复数等于　　
A．3 B． C．10 D．
2．已知向量，满足，且，则在上的投影向量为　　
A． B． C． D．
3．已知若，则
A． B． C． D．
4．中国人民解放军某舰队一艘巡逻舰在南海执行任务时以60海里/小时的速度向正北航行，在A处发现S处有一艘船只，仪表显示S处在A处的北偏东30°，半小时后航行到B处，在B处测得S处在巡逻舰的北偏东75°，则S与B之间的距离是
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
5.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=(　　)
A． B． C． D．
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，，，则的最小值为　　．
A． B． C．3 D．9
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．当时，复数是纯虚数
B．复数对应的点在第一象限
C．复数，则
D．复数与分别表示向量与,则表示向量的复数为
10．已知函数，则下列四个结论中不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间内有4个零点
D．函数在区间上单调递增
11.在中，，，，D为线段上的点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若D为的中点，则
C．若为的平分线，则 D．若，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．当复数为实数时，实数　　．
13.已知中，角的对边分别为，，则角 ．
14.已知的内角的对边分别为，，，且满足，，则 ；的中线的最大值为 .
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本小题满分13分）
（1）平面内给定三个向量，，．若，求实数；
（2）已知，，，的夹角为，求的值．
16．（本小题满分15分）
已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）求图象的对称中心的坐标；
（3）若，，求的值.
18．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图.
(1)求函数的解析式，并写出它的对称中心；
(2)求函数的最小值，并求取最小值时x的集合；
(3)若函数的图象向右平移个单位长度得到一偶函数的图象，求m的最小值.
19．（本小题满分17分）
重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知,弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M,，设．
（Ⅰ）将，用含有的关系式表示出来；
（Ⅱ）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉M与山庄O的距离的值最大？

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