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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.3正方形的性质与判定 (2)
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）下列正确命题的个数是（ ）
①有一组邻边相等的四边形是菱形；②四条边相等的四边形是正方形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④对角线相等的平行四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（本题6分）如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题6分）如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于G．有以下四个结论：①；②；③当时，四边形是正方形；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（本题6分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　）
A．2 B． C． D．
5．（本题6分）如图，在中，，，点D为上一点，，点P为平分线上一点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ．
7．（本题6分）如图，A，B分别是y轴和x轴上的一点，以为斜边构造等腰直角，点D的坐标是，连结，线段的最小值是 ．
8．（本题6分）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为 ．
9．（本题6分）如图，ABCD的顶点在矩形的边上，点与点不重合，若的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 .
10．（本题6分）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点．
(1)求证：；
(2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由．
12．（本题8分）如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
13．（本题8分）如图，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于．
(1)填空：的度数______；
(2)求证：；
(3)若，求的长；
(4)如图，在中，，高，，求的长度．
14．（本题8分）如图①，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，（点A的对应点为点C，点E的对应点为点）．延长交于点F，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长；
(3)如图②，若，请猜想线段段与的数量关系并加以证明．
15．（本题8分）如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，．
(1)求证：；
(2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.3正方形的性质与判定 (2)
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）下列正确命题的个数是（ ）
①有一组邻边相等的四边形是菱形；②四条边相等的四边形是正方形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④对角线相等的平行四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故命题①错误；
②四条边相等的四边形是菱形，故命题②错误；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形；故命题③正确；
④对角线相等的平行四边形是矩形，故命题④正确；
⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故命题⑤正确；
综上所述：命题正确的有3个，
故选：C．
2．（本题6分）如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
解：添加的条件可以是，理由如下∶
∵点E是的中点，
∴，
∵是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点G、F、H分别是、、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，点E是的中点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是正方形．
故选：B．
3．（本题6分）如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于G．有以下四个结论：①；②；③当时，四边形是正方形；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①根据已知条件不能推出，
∴①错误；
②∵是的角平分线，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴②正确；
③∵，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴③正确；
④由③得，
∴由勾股定理得：，
由②得，
∴，
∴④正确；
∴②③④正确，一共3个正确，
故选：C．
4．（本题6分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　）
A．2 B． C． D．
解：分别取的中点为，连接，
分别是的中点，
，
又，
，
四边形是正方形，
，
故选：D．
5．（本题6分）如图，在中，，，点D为上一点，，点P为平分线上一点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解；如图所示，过点P作于点E，于点F，
平分，，，
∴，
又∵
∴四边形CEPF是矩形，
矩形CEPF是正方形，
设，，则，
，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
，
∴，
∴，
解得
，
故选：C．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ．
解：如图，过D作,交于M，，交延长线于N，
，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
7．（本题6分）如图，A，B分别是y轴和x轴上的一点，以为斜边构造等腰直角，点D的坐标是，连结，线段的最小值是 ．
解：过点作轴于点，过点作轴于点，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵以为斜边构造等腰直角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴点在直线上，
当时，取得最小值，
∵点D的坐标是，
∴，
∴，
故答案为：
8．（本题6分）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为 ．
解：如图所示，连接、交于点O．
∵点E，F，G，H分别是菱形的边、、、的中点，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形的面积．
故答案为：．
9．（本题6分）如图，ABCD的顶点在矩形的边上，点与点不重合，若的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 .
解∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，DC=AB，
∵在△ADC和△CBA中
，
∴△ADC≌△CBA，
∵△ACD的面积为4，
∴△ABC的面积是4，
即AC×AE=4，
AC×AE=8，
∴阴影部分的面积是8﹣4=4，
故答案为4．
10．（本题6分）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，
解∶∵，，
∴，
∵，
∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，，
当F在M的右侧时，，
又，
∴，
∴；
当F在M的左侧时，，
又，
∴，
∴；
综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或，
故答案为：或．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点．
(1)求证：；
(2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由．
（1）证明：连接，
是等腰直角三角形，是的中点，
，，，
又，
，
，
，
（2）当点运动到的中点时，四边形是正方形，
，
，，
为等腰直角三角形，
当为的中点时，，即，
又，，
四边形为矩形，
又，
四边形为正方形。
12．（本题8分）如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点E，O，F分别为，，的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点E，O，F分别为，，的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
13．（本题8分）如图，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于．
(1)填空：的度数______；
(2)求证：；
(3)若，求的长；
(4)如图，在中，，高，，求的长度．
（1）解：∵的延长线于，的延长线于，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
如图，作于G，
∴，
∵平分，平分
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：如图，作于G，
由（1）可知，，，
∴，，
∴．
（3）解：由（1）（2）知，四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
设，
又∵，
∴
∴，
由（1）可知，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得，．
（4）解：∵是的高，
∴，
即，
如图，把沿翻折，得到，
∴，，，，
∴，
把沿翻折，得到，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴，
延长，交于点，则四边形是正方形，
设，则，
∵，，
∴，，
∴，，，
在中，，
∴，
解得，．
14．（本题8分）如图①，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，（点A的对应点为点C，点E的对应点为点）．延长交于点F，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长；
(3)如图②，若，请猜想线段段与的数量关系并加以证明．
（1）解：四边形是正方形．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∴，
在中，，
根据勾股定理得：，
，
或（舍去）．
（3）解：CF=EF，证明如下：
如图所示，过点作于点，则，
∴
四边形是正方形，
，，
∴∠DAH+∠EAB=90 ，
∴∠ADH=∠EAB，
在和中，
，
，
∴，
，
，
∴，
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴
，
∴CF=EF．
15．（本题8分）如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，．
(1)求证：；
(2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形．
理由如下：
为中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形；
，为中点，
，
四边形是菱形；
（3）解：当满足（答案不唯一）时，四边形是正方形，
理由：由（2）知，四边形是菱形，
，，
，
四边形是正方形．
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