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南宁二中2024—2025学年度高二下学期期末考试
数学
（时间120分钟，共150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
3. 随机变量，若，则实数的值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
4. 中，分别是三个内角的对边，，则最小角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A B.
C. 或 D.
6. 若数列满足，，则（ ）
A. 155 B. 156 C. 203 D. 204
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是等差数列，是其前项和，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若递增数列，则为递增数列
10. 已知，则（ ）
A. 曲线关于点对称 B. 1是函数的极大值点
C. 当时， D. 不等式的解集为
11. 已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 离心率 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，，且与平行，则_____．
13. 甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有________种不同的分配方案.
14. 中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年．现将一个高为4，表面积为42π的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个球，现要将此球放入一个高为8的圆锥形容器中，则该圆锥形容器的底面半径的最小值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的值域.
16. 已知椭圆的焦距为，且的离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值.
17. 如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成的角为，求二面角的正弦值．
18. 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）若函数有两个不同的零点，，且，
①求实数取值范围；
②试比较与的大小关系，并说明理由.
19. 阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙.
（1）测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程.
（2）工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.
（ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值;
（ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”事M，证明：
南宁二中2024—2025学年度高二下学期期末考试
数学
（时间120分钟，共150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】150
【14题答案】
【答案】6
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）；（2）；（3）.
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）①；②，理由见解析
【19题答案】
【答案】（1）在第二局与甲比赛 p最大，判断过程见解析
（2）（i）分布列见解析，；（ii）证明见解析

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