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高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1.1.2　空间向量的数量积运算
A级——基础过关练
1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，〈，〉＝(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．斜三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)
A．6 B．
C．3 D．
4．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．已知非零向量b在非零向量a方向上的投影为零，则向量a，b的关系是(　　)
A．a∥b B．a⊥b
C．a与b相交 D．a与b重合
6．(多选)(2023年邢台月考)下列关于数量积的运算正确的有(　　)
A．|a·b|＝|a|·|b| B．|a－b|＝
C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
7．如图，在 ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为________．
8．如图，在四面体ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，则·＝________．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出命题：
①|＋＋|2＝3||2；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④此正方体体积为|··|．
其中错误命题的序号是__________．
10．如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)(＋)·(＋)；
(2)|＋＋|．
B级——综合运用练
11．(多选)如图，在四面体ABCD中，各棱长均为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的有(　　)
A．2· B．2·
C．2· D．2·
12．已知两个单位向量a，b的夹角为60°．
(1)若c＝λa＋b(λ∈R)，且b·c＝0，则λ的值为________；
(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为________．
13．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝．设＝a，＝b，＝c．
(1)试用a，b，c表示向量，；
(2)若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求直线AC与BD1所成的角．
C级——创新拓展练
14．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P为底面ABCD上一点，则·的最小值为________．
参考答案
A级——基础过关练
1.【答案】D
【解析】连接BD，A′D(图略)，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈，〉＝120°，即〈，〉＝120°．故选D．
2.【答案】A
【解析】∵＋＝，－＝，∴·＝0．∴BC⊥AC．∴△ABC一定是直角三角形．故选A．
3.【答案】B
【解析】如图，由题意可知＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝，即AC1的长为．故选B．
4.【答案】C
【解析】＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1．∵||＝2，||＝1，∴cos 〈，〉＝＝＝．∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°．故选C．
5.【答案】B
【解析】非零向量b在非零向量a方向上的投影为|b|·cos 〈a，b〉＝0，又因为b≠0，故|b|≠0．所以有cos 〈a，b〉＝0，得〈a，b〉＝，故a⊥b．故选B．
6.【答案】BD
【解析】对于A选项，|a·b|＝|a||b||cos 〈a，b〉|，故A错误；对于B选项，|a－b|＝＝，故B正确；对于C选项，(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故C错误；对于D选项，由数量积的运算律知(a＋b)·c＝a·c＋b·c，故D正确．故选BD．
7.【答案】7
【解析】因为PA⊥平面ABCD，AD，DC 平面ABCD，故PA⊥AD，PA⊥DC．又因为＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49，所以||＝7，即PC的长为7．
8.【答案】－
【解析】·＝·＝||||·cos 〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－．
9.【答案】③④
【解析】①因为|＋＋|＝||＝||，故①正确；②因为·(－)＝(＋＋)·(－)＝2＋·－·－2＝0，故②正确；③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°，但与的夹角为120°；④因为·＝0，故④错误，正确的应是||·||·||．
10.解：(1)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1．
(2)|＋＋|＝＝
＝＝．
B级——综合运用练
11.【答案】BD
【解析】依题意，四面体ABCD是正四面体，对于A，〈，〉＝120°，2·＝2a2cos 120°＝－a2，A不是；对于B，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos 60°＝a2，B是；对于C，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以2＝，而〈，〉＝120°，2·＝·＝a2cos 120°＝－a2，C不是；对于D，因为F，G分别是AD，DC的中点，所以2＝，2·＝2＝a2，D是．故选BD．
12.【答案】(1)－2或3　(2)
【解析】(1)b·c＝λa·b＋b2＝λcos 60°＋3－＝＝0，所以λ＝－2或λ＝3．
(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为＝＝．
13.解：(1)由向量的加减运算法则知
＝＋＝a＋b，＝－＝b＋c－a．
(2)由题意知|a|＝|b|＝1，|c|＝，
〈a，b〉＝90°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝120°，
·＝(a＋b)·(b＋c－a)＝a·c－a2＋b2＋b·c＝1××cos 120°－1＋1＋1×cos 120°＝－－＝－．
因为||＝，
||＝
＝
＝＝＝2，
所以cos 〈，〉＝＝＝－．
所以〈，〉＝120°，
即AC与BD1所成的角为60°．
C级——创新拓展练
14.【答案】－
【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P为底面ABCD上一点，则·＝·(＋)＝·＝||||·cos 〈，〉，当，反向时，cos 〈，〉的最小值为－1，此时||·||≤＝＝，当且仅当||＝||＝时取等号，所以·的最小值为－．

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