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高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1.2　空间向量基本定理　
A级——基础过关练
1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　)
A． B．
C． D．或
2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则下列向量中能与a＋b，a－b构成基底的是(　　)
A．a B．b
C．c D．a＋2b
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为(　　)
A．a＋b－c B．a＋b＋c
C．a－b＋c D．a＋b＋c
5．(多选)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有(　　)
A．a，2b，3c B．a＋b，b＋c，c＋a
C．a＋2b，2b＋3c，3a－9c D．a＋b＋c，b，c
6．(多选)已知在四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则(　　)
A．＝a＋b－c B．＝－a＋b＋c
C．＝a－c D．＝a＋b－c
7．对于不共面的三个向量a，b，c，若a＝xa＋yb＋(z－3)c，则x＝________，y＝________，z＝________．
8．已知在四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________．
9．若{a，b，c}是空间向量的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
10．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．
(1)用基底{，，}表示向量；
(2)若＝x＋y＋z，求实数x，y，z的值．
B级——综合运用练
11．(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论正确的有(　　)
A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1
12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若向量在以{，，}为单位正交基底下的坐标为(1，x，y)，则x＝________，y＝________．
13．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
C级——创新拓展练
14．如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，且C1C＝CD＝1．
(1)试用基底{，，}表示，并求||．
(2)求证：CC1⊥BD．
(3)试判断直线A1C与平面C1BD是否垂直．若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．
参考答案
A级——基础过关练
1.【答案】C
【解析】因为＝a－b且a，b不共线，所以a，b，共面，所以与a，b不能构成一组空间基底．故选C．
2.【答案】C
【解析】根据向量加法和减法的几何意义可知，a，b，a＋b，a－b共面，由于{a，b，c}是空间向量的一个基底，所以能与a＋b，a－b构成基底的是c．故选C．
3.【答案】C
【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＋，故x＝1，y＝，z＝，则x＋y＋z＝2．故选C．
4.【答案】D
【解析】＝－＝＋－，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，＝，所以＝＋－＝＋－(－)＝＋(－)－(－)＝＋＋＝a＋b＋c．
5.【答案】ABD
【解析】因为－3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0，所以3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)，即三向量3a－9c，a＋2b，2b＋3c共面．故选ABD．
6.【答案】BC
【解析】＝(＋)＝c＋b－a；＝－＝(＋)－＝b＋c－a；＝＋＝－c＋a；＝＋＝a－b．故选BC．
7.【答案】1　0　3
【解析】因为a＝xa＋yb＋(z－3)c，由对应系数相等可得解得
8.【答案】3a＋3b－5c
【解析】取BC的中点G，连接EG，FG(图略)，则＝－＝－＝＋＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c．
9.【答案】x＝y＝z＝0
【解析】若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理，y＝z＝0．
10.解：(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×(＋)＝＋＋．
(2)因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×(＋)＝＋＋，
又因为＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝．
B级——综合运用练
11.【答案】ACD
【解析】因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以∥，从而A1M∥D1P，可得A，C，D正确；又因为B1Q与D1P不平行，故B不正确．故选ACD．
12.【答案】　
【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＋，故x＝，y＝．
13.解：(1)＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋
＝＋
＝－(＋)＋(＋)
＝(a－c)．
(2)＝(＋)
＝＋
＝＋(－)
＝－＋－
＝－c＋a－b，
所以x＝，y＝－，z＝－1．
C级——创新拓展练
14. (1)解：∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋12＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×＝6，
∴||＝．
(2)证明：∵·＝·(－)＝·－·＝1×1×－1×1×＝0，
∴⊥，∴CC1⊥BD．
(3)A1C⊥平面C1BD．证明如下：
∵·＝(＋＋)·(－)＝2－·＋·－2＋·－·＝0，
∴⊥，∴CA1⊥BD．
同理可证CA1⊥BC1．
∵BC1 平面C1BD，BD 平面C1BD，BC1∩BD＝B，
∴A1C⊥平面C1BD．

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