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台州市2024学年第二学期高二年级期末质量评估试题
数学 2025.06
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则复数（为虚数单位）的模为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线与曲线相切，则实数的值为（ ）
A B. C. 1 D. 2
5. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（ ）
A. B. C. D.
6. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 第项的二项式系数最大
B. 当时，被除的余数为
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中存在连续三项的系数成等差数列
7. 若函数（为自然对数底数，）的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，则三个内角中最小的角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件两两互斥 B. 事件两两独立
C. D.
10. 设平面向量满足，，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在，使得向量与向量垂直 B. 最小值为3
C. 若，则向量在向量上的投影向量为 D. 的最小值为4
11. 已知正四面体的棱长为4，四面体内部一点（包含边界）到三个侧面，，的距离之比为，则下列说法正确的是（ ）
A. 正四面体内切球的半径为 B. 点可以为的重心
C. D. 面积的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的第30百分位数为______．
13. 已知函数，满足，实数可以为______．（写出满足条件的一个即可）
14. 已知函数，若存在实数，使得在区间上有三个零点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）在中，内角所对的边分别为，且，求外接圆的面积．
16. 在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，四面体的体积为．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图．
（1）估算本次预赛成绩平均分以及入围复赛的分数线；
（2）从参加预赛名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求；
（3）为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率．
18. 已知函数，，．
（1）若函数存在2个零点，求的取值范围；
（2）记，
①当时，求的最小值；
②若的最小值为2，求的取值范围．
19. 把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，这就是“算两次”原理．比如“”；一方面问题视为从包含的个不同的元素中取出个元素，共有种方法；另一方面，还可以视为取出的个元素中，一类是不含有，共有种方法，一类是含有，共有种方法，由分类加法计数原理有．“算两次”原理在数学中有广泛的应用．
（1）若函数对任意都有恒成立，求的值（e为自然对数的底数，）；
（2）在中，角的对边分别为，角的内角平分线交于，证明：；
（3）当时，求的值．（结果用含的式子表示）
台州市2024学年第二学期高二年级期末质量评估试题
数学 2025.06
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】123
【13题答案】
【答案】2（答案不唯一：均可）
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1），
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）平均分为，入围分数线估计为分
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）①最小值2；②
【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）

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