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专题11 圆心角与圆周角
知识点1：圆心角与弧的定义
1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.
2. 1°的弧的定义
1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
要点：
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
【即时训练】
1．（21-22九年级上·浙江衢州·阶段练习）下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断.
【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；
D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．
2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角．
故选：B．
3．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：．
知识点2：圆心角定理及推论
1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.
要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等
【即时训练】
4．（2024·浙江杭州·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
由为的直径，得到，再根据，即可得到结论．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，
∴，
∴．
∴所对的圆心角度数为．
故选：C．
5．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．
∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°，
∴∠COD=∠BOT，
∴，
∴CD=BT=4，
∵AT是直径，AT=6，
∴∠ABT=90°，
∴AB==，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．（2024·浙江丽州·二模）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
【答案】4
【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．
【详解】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：50°×2=100°，
∵360÷100=3.6，
∴至少需要4台．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．
知识点3：圆周角
圆周角定义：
　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
　　　　　
【即时训练】
7．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可．
【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；
C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
故选：B．
8．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．
【详解】解：所对的圆周角是与，
故选：D．
9．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．

【答案】
【分析】根据圆周角的定义即可解答．
【详解】解：如图，
所对的圆周角是，
所对的圆周角是．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
知识点4：圆周角定理：
内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
【即时训练】
10．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，根据直径所对的圆周角为直角，得，由圆周角定理，得，求得，再由等腰三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
11．（2025·浙江金华·三模）如图，，，是上的三点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中同弧所对的圆心角是圆周角的倍，可知，根据即可求出的度数．
【详解】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
．
故选：C．
12．（2025·浙江舟山·三模）如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为 °．
【答案】40
【分析】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，等腰三角形的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键．
由，可得到，再结合，可得到劣弧所对的圆心角与的度数相等，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴劣弧所对的圆心角与的度数相等，
则．
故答案为：40．
【题型1 圆心角概念辨析及简单运算】
1．下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断.
【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；
D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．
2．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．
3．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
即弦所对的圆心角的度数是，
故答案为：．
4．如图，是的直径，，，则的度数为 ．

【答案】144°/144度
【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可．
【详解】∵，，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】（1）根据条件和，即可求解；
（2）根据第（1）问的结论和即可求解．
【详解】（1）解：；
∵，，，
∴
（2）解：∵，，，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键．
【题型2 求圆弧的度数】
6．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
由为的直径，得到，再根据，即可得到结论．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，
∴，
∴．
∴所对的圆心角度数为．
故选：C．
7．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，进而可得．
【详解】
由题意知
∴
∵量角器为半圆
∴
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为的度数．
8．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的度数为：
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
9．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是
【答案】/150度
【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解；
【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E，
设圆的半径为，
由题意可得：，
∴
∴
∴
∴
∴弧的度数是
故答案为：
10．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
【答案】（1）35°；（2）见解析
【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE．
【详解】（1）解：连接AC．
∵弧AD为120°，弧BC为50°，
∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，
∵∠ACD＝∠BAC+∠E
∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）证明：连接AD．
∵AB＝CD，
∴弧AB＝弧CD，
∴弧AC＝弧BD，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴AE＝DE．
【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
11．如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可．
【详解】解：如图，连接，
点是劣弧的中点，
，
，
，
，
∵，
∴．
故选：C．
12．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是直径，
∴．
故选：C
13．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，
连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
在中，，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
14．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弦与圆心角的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；取的中点，连接，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，进而根据弦与圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点，连接，
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
即弧的度数为；
故答案为：．
15．如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即
【详解】解： 为的直径，
点 C、D 是的三等分点
的度数是
故答案为
【题型4 圆周角的概念辨析及简单运算】
16．如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角的性质等知识点，连接，可推出，，根据，得，进而得，即可求解；
【详解】解：连接，如图所示：

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B
17．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可.
【详解】解：弧所对的圆周角是：或，
故选：B．
18．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
故选：B．
19．如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数.
【答案】
【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
【详解】连接OD，
∵CD=OA=OD, ，
∴∠ODE=2，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=，
∴∠EOB=∠C+∠E=.
【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.
20．如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中点，，在上，点，在半圆上．若，则正方形的面积与正方形的面积之和是（ ）
A．25 B．50 C． D．
【答案】A
【分析】连接ON，OF，根据题意可得：ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，然后①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，从而得到y-DO=x，再代入②，即可求解．
【详解】解：如图，连接ON，OF，
∵直径，
∴ON=OF=5，
设CN=x，EF=y，
由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，
y2+(y-DO)2=25②，
①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，
因为x+y＞0，
所以x+DO-y=0，即y-DO=x，
代入②，得x2+y2=25，
即正方形的面积与正方形的面积之和是25．
故选：A
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理等知识是解题的关键．
【题型5 圆周角定理】
21．如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，根据直径所对的圆周角为直角，得，由圆周角定理，得，求得，再由等腰三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
22．如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】连接，利用圆周角定理，三线合一，勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵弦，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三线合一，勾股定理，圆的性质，熟练掌握定理是解题的关键．
23．如图，是的外接圆，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查等边对等角，圆周角定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
24．如图，内接于，为的直径，为的弦，且，连接．若，则的度数为 ．
【答案】/50度
【分析】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
如图，连接，根据为的直径，得出，从而求出，根据得出，即可得，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
25．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键：
（1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴平分，
∴，
∴；
（2）∵的半径为2，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【题型6 同弧或等弧所对的圆周角相等】
26．如图，为的弦，于点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先由直角三角形的性质求出，再由圆周角定理得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
27．如图，正方形内接于⊙，点是弧的中点，连接，，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等弧所对的圆周角相等，由正方形的性质可得，再由题意可得，则，再由三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解；如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
28．如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ．
【答案】50
【分析】根据是圆的直径，可得到直角三角形（直径所对的圆周角是直角），由点是弧的中点，可利用等弧所对的圆周角相等这一性质，结合的的度数求出的度数．本题考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、等弧所对圆周角相等）以及三角形内角和定理．解题的关键在于利用圆的性质，通过连接辅助线，结合已知角度，逐步求出的度数
【详解】解：连接
∵是的直径，
∴．
在中，∵，，
∴．
∵点为的中点，
∴，
∴．
．
故答案为：50．
29．如图，点，，，均在上，且经过圆心，与交于点，若，，则的度数为 ．
【答案】/72度
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理，由圆周角定理得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
30．如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，则的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理得出，证明，由圆周角定理得，即可得出结论；
（2）由垂径定理得，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，是直径，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【题型7 直径所对的圆周角是直角】
31．如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴
故选：B．
32．如图，为的直径，四边形的对角线交于点E，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，熟知直径所对的圆周角是90度是解题的关键；
根据为的直径可得，结合即可求解．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
33．如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ．
【答案】/75度
【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由是的直径，得，由圆周角定理得，再由外角的定义得，即可得解．
【详解】解：因为是的直径，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
则，
故答案为：．
34．如图，是的外接圆直径，点O为圆心．若，则 ．
【答案】/65度
【分析】本题考查了圆周角定理，由是的外接圆直径得，求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：连接，
∵是的外接圆直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
35．如图，中，为的直径，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角，三角形内角和定理等知识，属于基础题．
（1）连接，则，由等腰三角形的性质即可证得结论成立；
（2）由等腰三角形的性质及，可求得等腰三角形的两个底角的度数，再直径对的圆周角是直角，得，由即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴；
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
【题型8 90度的圆周角所对的弦是直径】
36．如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴是的直径，
∴的半径为，
故选：A．
37．如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是是解题的关键．由经过圆心O，即是的直径，可得，再根据圆周角定理可得，即可求出的度数．
【详解】解：经过圆心O，即是的直径，
，
又，
．
故选：B．
38．如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理及应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，可得四点共圆，从而得到，进而得到答案．
【详解】解：∵，
∴四点共圆，
∴，
∴，
故答案为：
39．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为 ．

【答案】13
【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，

∵，且是圆周角，
∴是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的直径为，
故答案为：13．
40．如图所示，四边形内接于，．

求证：
(1)；
(2)是的直径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再由可计算出，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到；
（2）根据三角形内角和定理可计算出，则根据圆周角的推理即可得到为的直径．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
而，
，
，
，
；

（2），，
，
为的直径．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
【拓展训练一 圆心角、圆周角的综合】
41．如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，根据，得到在以为圆心，半径为5的圆上，延长交圆于点，连接，则为直径，得到，，根据平行线的性质，结合等边对等角得到，等角对等弦得到，勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，点在以为圆心，半径为5的圆上，如图，延长交圆于点，连接，
则：为直径，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
42．如图，是的直径，垂直于弦于点的延长线交于点E，，，则的长是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理，以及勾股定理是解题的关键．
设，则，从而可得，先根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，最后在中，利用勾股定理进行计算可求出的长即可．
【详解】解：设，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的中位线，
，
在中，，
，
解得：，
，
故选：B．
43．如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 .
【答案】
【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度．
【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，
是边长为的等边三角形，
，，
，
在中，
，
，，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系．
44．如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，且，当为等腰三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】由已知可得，即得点在以为直径的圆上，再分，和三种情况解答即可求解，
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∵为等腰三角形，
当时，点为正方形对角线的中点，如图，
∵ ，
∴；
当时，如图，过点作于，则，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，仅当点和点重合时，
∵点为正方形内部一点，
∴此种情况不符合；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，点和圆的关系，圆周角，等腰三角形的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理等，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
45．如图，已知矩形，在边上分别取点E，F，连接和满足，的外接圆交于点G，连接．
(1)当时，求的度数；
(2)猜测和的数量关系，并说明理由；
(3)当，，时，求的长度．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）利用矩形的性质可得，再根据圆周角定理结合，即可解答；
（2）同理（1）得，设，由圆周角定理得到，再根据矩形的性质求出，，即可得出结论；
（3）延长交于点P，根据，，推出，利用三角形外角的性质推出，进而得到，由（2）知，推出是中点，是中点，设，，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：矩形，
，
，
又，，
；
（2）解：猜测：，理由如下：
同理（1）得，
设，则，
为矩形，
，
∴，
，
；
（3）解：延长交于点P，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，
是中点，
，
是中点，
设，，
在中，，
，
解得：，（舍去），
故的长度为．
【拓展训练二 圆心角、圆周角中的最值】
46．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题是圆与三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，难度较大，解决问题的关键是动点的轨迹．以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，由，得到点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，利用和是定值，即可求得的最小值．
【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，，
∵的直径为，C为半圆弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，
∵，C为半圆弧的中点，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：D．
47．如图，中，，，，点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题取的中点为圆心，以长为半径画圆，根据两点之间，线段最短，当、、三点共线时，的长度最小，利用线段中点的性质得到、，利用勾股定理算出，得到为的中点，根据直角三角形性质得到，利用勾股定理逆定理得到，结合勾股定理算出，最后根据面积公式求解即可．
【详解】解：取的中点为圆心，以长为半径画圆，当、、三点共线时，的长度最小，如图所示：
点P为内一点，且满足．
，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
的面积是，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、直角三角形性质、两点之间，线段最短、圆周角定理，解题的关键在于利用圆周角定理结合勾股定理逆定理得到点的运动轨迹，并根据两点之间，线段最短确定的长度最小时，点所在位置，再根据相关性质定理求解，即可解题．
48．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
取中点，再取中点，连接，，点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，当点、、共线时，值最小，再进一步可得答案．
【详解】解：矩形，
，，
如图，取中点，再取中点，连接，，
，，
，，
点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧，
点为的中点，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，
当点、、共线时，值最小，
连接，
最小为，
故选：A．
49．如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接，证明，可得，则点在以为直径的圆上，因为面积中底边是定值，其高最小时，面积最小，如图，当运动到处时达到最小，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
如图，取中点为圆心，以为直径作圆，过点作交圆于点，交于点，
∴弧为点的运动轨迹，当运动到处时达到最小为：，
此时，
∴面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形的面积，三角形全等的性质和判定，的圆周角所对的弦是直径等知识，确定的面积最小值时点的位置是解题的关键．
50．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题．
【详解】如图，取的中点K，以为直径作，
∵
∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．
∵的半径为，
∴
∴
∴，
∵
∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值，
此时，
故答案为：．
【拓展训练三 圆心角、圆周角的辅助线添加问题】
51．如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键．
本题先连接，，，得到、均是等边三角形，求得，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，然后根据等边对等角即可求解；
【详解】解：连接，，，如图：
，
∵是是半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
由题可得：，
∴、均是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
52．如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．6
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质．
连接，，，，由，得到，从而是等边三角形，进而即可解答．
【详解】解：连接，，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴直径．
故选：B
53．如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度
【答案】100
【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，连接、、．根据圆心角、弧、弦的关系证明、均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出，再由圆周角定理求出，根据“”求出即可．熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键．
【详解】解：连接、、．
是半圆的直径，
，
，
，
，
、均是等边三角形，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
54．如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题．
【详解】解：∵，
，
∵为的中点，
，
在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图，
，
，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵为的中点，
∴，
由勾股定理得，，
∴的周长，
故答案为：．
55．如图，正方形内接于，为弧中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求点到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答．
（2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答．
【详解】（1）解： 四边形是正方形，
，
为弧的中点，
，
∴，
，
是等腰三角形．
（2）解：如图，连接，连接并延长交于点，
，，
是线段的垂直平分线，
四边形是正方形，
，
∵，
，
∴，
则，
∴，
，
，
即点到的距离为．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，利用平角的定义求出，再利用即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
由已知条件，可设，则，，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
可设，则，，
，
，
，
，
故选：．
3．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
故选：B．
4．（2025·浙江·二模）如图，内接于，为的直径，作的平分线交于点，连结．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形内角和定理，先根据直径对应的圆周角等于90度得，再根据角平分线的定义得，再由圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理可求的度数．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，为的直径，是弦，将弧绕着点A按逆时针方向旋转得到弧，点D恰好落在上，弧与相交于点E，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】连接交于点F，连接，则，由旋转的性质得所在的圆与是等圆，，则，依据“”判定和全等得，则，根据垂径定理得，进而得，则，进而得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得，则，在中由勾股定理可求出，然后在中，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接交于点F，连接，如图所示：
，
，
为的直径，是弦，
，
由旋转的性质可知：所在的圆与是等圆，，
，
是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
根据垂径定理得：，
所在的圆与是等圆，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，理解图形的旋转变换及其性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
6．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，四边形内接于，其中，已知对角线过点O，对角线与相交于点E且，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】首先由直径得到，然后利用三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而求出，令的半径为，然后表示出，，即可解决问题．
【详解】解：为的直径，
，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
令的半径为，
则，
，
，
，
又，
．
故选：C．
【点睛】本题考查直径的性质，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理和等边对等角性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
7．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，分优弧和劣弧两种情况，结合比例关系进行求解即可．
【详解】解：∵的一条弦把圆的周长分成的两个部分，
∴弦对应的圆心角的度数为：，
∴弦所对的劣弧的度数为，所对的优弧的度数为：，
故答案为：或．
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是
【答案】/150度
【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解；
【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E，
设圆的半径为，
由题意可得：，
∴
∴
∴
∴
∴弧的度数是
故答案为：
9．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ．
【答案】/82度
【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．关键是由等边三角形的性质得到．
连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度．
【详解】解：连接，如图，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵B点的对应刻度为，
∴D点的对应刻度是．
故答案为：．
10．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，为的直径，且，为上异于的一点．现将劣弧沿直线折叠，若弧与直径交于点，，则的长 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题的关键．
作交于点连接，交的延长线于点，连接，得到，继而得到，，推出关于对称，求出，得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于点，连接，交的延长线于点，连接，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
关于对称，
，，，
，
，
，
，
故答案为：
11．（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ．
【答案】/
【分析】连接、，先求出，证明为等腰直角三角形，得出，设，，则，，，根据，得出，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：连接、，如图所示：
∵，
∴，
根据折叠可知：，，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，则，，，
∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
12．（2025·浙江舟山·三模）如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，连接，根据圆周角定理得到，证明为等边三角形，得到，求出，根据，要使的面积最大，则点到的距离最大，因为，点在上，得到，当点在优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：连接，如图：
由题意可知，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，要使的面积最大，则点到的距离最大，
∵，点在上，
∴，如图：
当点在优弧的中点时，点到的距离最大，
此时为等边三角形，
过点作于点，如图：
∵为等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的最大面积为，
故答案为：．
13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案．
【详解】证明：∵，
∴．
在和中，
∵
∴，
∴，
∴，即C是的中点．
14．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求圆O的半径长．
【答案】(1)的度数是；
(2)圆的半径长为．
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答；
（2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解：是圆的一条弦，，
，
，
的度数是；
（2）解：是圆的一条弦，，
，
设圆的半径长为，
在中，，
，
，
∴圆的半径长为．
15．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点．
(1)求证：点D为的中点．
(2)若，求的半径长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)13．
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识点．
（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点D为的中点；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为13．
16．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是直径，弦于点，过点作的垂线，交的延长线于点，垂足为点，连结．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)详见解析
(2)3
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得，再根据同弧所对得圆周角相等得，等量代换得，进而得出答案；
（2）连结，设的半径为，可表示出，根据等腰三角形的性质表示，进而得出，然后根据勾股定理可知，即可得出方程，求出解即可.
【详解】（1）证明：，
.
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连结，设的半径为．则，
，
，
，
在中，，
，
解得（舍去），
的半径为3．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，垂径定理，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法．
17．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，弦，于E，于H．
(1)求证：．
(2)若的半径为5，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键；
（1）由题意易得，进而问题可求证；
（2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解．
【详解】（1）证明：，
，，
即，
．
（2）解：连接，如图所示：
，，
．
由勾股定理，得．
同理可得．
．
18．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理和勾股定理，正确的作出辅助线和熟练掌握这些定理是解题的关键．
（1）连接，交于点，根据圆周角定理得，根据垂径定理得，所以，所以，再根据，所以，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出，，所以，所以．
【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，
是半圆的直径，
，
，
是 的中点，是半径，
，
∴，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，
，，
在中，，
是半径且，
，
在中，，
，
在中，．
19．（2025·浙江丽水·二模）如图，内接于，直径交于点，已知．
(1)求证：．
(2)设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）由是的直径可得，再由同角的余角相等可得，根据等边对等角即可得出结论；
（2）由已知可求，再根据同弧所对圆周角相等即可得出；
（3）根据（2）的结论可知求出，即，进而可得是等腰直角三角形，设的半径为，可求，，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
是的直径，
，
，
，
，
；
（2），，，
，
，
，
（3）如图，连接，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
令的半径为，
则，
，
，
，
，
，
．
20．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连．
(1)请判断的形状，并说明理由．
(2)求证：平分．
(3)当时，求与的面积之比．
【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再证明，进而可得结论；
（2）过O作于G，于P，利用垂径定理可得，，易证，证明四边形是正方形，得到即可得结论；
（3）设，，证明得到，，则，，进而可求．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形．
理由：如图，连接，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：过O作于G，于P，
则，，，
∴四边形是矩形，
由（1）得，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，又，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，即平分；
（3）解：∵，
∴设，，
由（2）中四边形是正方形可得，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、弧与弦的关系、垂径定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
专题11 圆心角与圆周角
知识点1：圆心角与弧的定义
1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.
2. 1°的弧的定义
1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
要点：
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
【即时训练】
1．（21-22九年级上·浙江衢州·阶段练习）下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ．
知识点2：圆心角定理及推论
1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.
要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等
【即时训练】
4．（2024·浙江杭州·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江丽州·二模）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
知识点3：圆周角
圆周角定义：
　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
　　　　　
【即时训练】
7．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．

知识点4：圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
【即时训练】
10．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·浙江金华·三模）如图，，，是上的三点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·浙江舟山·三模）如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为 °．
【题型1 圆心角概念辨析及简单运算】
1．下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ．
4．如图，是的直径，，，则的度数为 ．

5．如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【题型2 求圆弧的度数】
6．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是
10．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
11．如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ．
14．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ．
15．如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数．
【题型4 圆周角的概念辨析及简单运算】
16．如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
17．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数.
20．如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中点，，在上，点，在半圆上．若，则正方形的面积与正方形的面积之和是（ ）
A．25 B．50 C． D．
【题型5 圆周角定理】
21．如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
23．如图，是的外接圆，，则 ．
24．如图，内接于，为的直径，为的弦，且，连接．若，则的度数为 ．
25．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长．
【题型6 同弧或等弧所对的圆周角相等】
26．如图，为的弦，于点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
27．如图，正方形内接于⊙，点是弧的中点，连接，，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ．
29．如图，点，，，均在上，且经过圆心，与交于点，若，，则的度数为 ．
30．如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，则的长．
【题型7 直径所对的圆周角是直角】
31．如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ）
A． B． C． D．
32．如图，为的直径，四边形的对角线交于点E，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
33．如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ．
34．如图，是的外接圆直径，点O为圆心．若，则 ．
35．如图，中，为的直径，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
【题型8 90度的圆周角所对的弦是直径】
36．如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（ ）
A． B．2 C． D．
37．如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
38．如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ．
39．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为 ．

40．如图所示，四边形内接于，．

求证：
(1)；
(2)是的直径．
【拓展训练一 圆心角、圆周角的综合】
41．如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
42．如图，是的直径，垂直于弦于点的延长线交于点E，，，则的长是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
43．如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 .
44．如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，且，当为等腰三角形时，的长为 ．
45．如图，已知矩形，在边上分别取点E，F，连接和满足，的外接圆交于点G，连接．
(1)当时，求的度数；
(2)猜测和的数量关系，并说明理由；
(3)当，，时，求的长度．
【拓展训练二 圆心角、圆周角中的最值】
46．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
47．如图，中，，，，点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A． B． C． D．
48．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
49．如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为 ．
50．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ．
【拓展训练三 圆心角、圆周角的辅助线添加问题】
51．如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
52．如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．6
53．如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度
54．如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
55．如图，正方形内接于，为弧中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求点到的距离．
1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江·二模）如图，内接于，为的直径，作的平分线交于点，连结．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，为的直径，是弦，将弧绕着点A按逆时针方向旋转得到弧，点D恰好落在上，弧与相交于点E，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
6．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，四边形内接于，其中，已知对角线过点O，对角线与相交于点E且，则（ ）
A． B． C． D．3
7．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ．
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是
9．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ．
10．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，为的直径，且，为上异于的一点．现将劣弧沿直线折叠，若弧与直径交于点，，则的长 ．
11．（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ．
12．（2025·浙江舟山·三模）如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是
13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点．
14．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求圆O的半径长．
15．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点．
(1)求证：点D为的中点．
(2)若，求的半径长度．
16．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是直径，弦于点，过点作的垂线，交的延长线于点，垂足为点，连结．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
17．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，弦，于E，于H．
(1)求证：．
(2)若的半径为5，，，求的长．
18．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．（2025·浙江丽水·二模）如图，内接于，直径交于点，已知．
(1)求证：．
(2)设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)若，求的值．
20．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连．
(1)请判断的形状，并说明理由．
(2)求证：平分．
(3)当时，求与的面积之比．

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