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10 垂径定理
知识点1：垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图，几何语言为：
CD是直径
2.推论
　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点：
（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，的半径为5，点C是弦上一点，若，设，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若的半径为5，，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
知识点2：垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
注意：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【即时训练】
4．（22-23九年级上·浙江·期中）如图，的弦，M是的中点，且，则的半径等于（ ）
A．7 B．4 C．5 D．6
5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ．
6．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐标是 ．

知识点3：常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
【即时训练】
7．（2024·广西钦州·一模）圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，的半径为，圆心到油面的距离为，则水面的宽度为 ．

8．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知⊙O的直径为10cm，弦，，，则与之间的距离为
9．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为 cm．
【题型1 垂径定理的概念辨析】
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
2．下列命题中正确的是（　　）
A．垂直于弦的直线平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦
3．下列命题中，假命题是（　　）
A．如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦
B．如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦
C．如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心
D．如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦
4．请完善本课时的知识结构．
垂径定理（1）
定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径 ，并且 ．
∵是直径，，垂足为点 ，
∴ ，
∴ ．

5．如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走上，就能找到的中点，老师肯定了他的想法．这位同学确定点C所用方法的依据是 ．
【题型2 利用垂径定理求半径】
6．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（ ）
A．1 B． C． D．4
7．如图，是的弦，半径，垂足为D．若，则的直径为（ ）
A． B．6 C．5 D．4
8．如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为 ．
9．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为 米．
10．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径．
【题型3 利用垂径定理求弦长】
11．如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
12．已知的半径为是内一点，是线段上的一个动点，则经过点的弦中，最短弦的长度为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．16
13．如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为点．如果，，那么 ．
14．如图，，，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 ．
15．如图，为的直径，，点为圆上一点，为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，．
(1)求的长；
(2)求的长．
【题型4 垂径定理的推论】
16．如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
17．如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为

19．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：．
20．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：．
【题型5 垂径定理的实际应用】
21．在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
22．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（ ）
A．8米 B．6米 C．4米 D．2米
23．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（ ）
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
24．一座拱桥的轮廓是一段半径为的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为 ．
25．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：
信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题
(1)求喷泉的半径；
(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数）
【题型6 利用垂径定理求解其他问题】
26．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的方法均正确
B．甲和乙的方法均不正确
C．甲的方法正确，乙的方法不正确
D．甲的方法不正确，乙的方法正确
27．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （ ）
A． B． C． D．
28．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ．
29．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为 ．
30．请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图①，等腰内接于中，；
(2)如图②，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F．
【题型7 利用垂径定理求平行弦问题】
31．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
32．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（ ）
A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m
33．已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为 ．
34．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为 ．
35．的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
【题型8 利用垂径定理求同心圆问题】
36．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
37．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
38．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ．
39．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
40．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．
(1)求证：；
(2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值．
【拓展训练一 垂径定理与角度结合的计算】
41．如图，是的直径，弦与交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
42．由两个全等的和构成如图①所示的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程.如图②，的半径为10，、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，，．若关于x的方程是“勾股方程”，连接、，则的度数为 ．
43．如图，半径为2的和的圆心，都在线段上，还在上，两圆交点为C，过点C作于点E交于点D，则的大小为 ，AD的长为 ．
44．如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)若的长等于的半径，，求的度数．
45．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( )
A． B． C． D．
【拓展训练二 垂径定理与三角形、四边形结合的计算】
46．如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
47．如图，在中，直径于点，，，则弦的长为（ ）
A．9 B． C．10 D．
48．传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是 ．
49．如图，点O是半圆的圆心，D是以为直径的半圆上的一点，以为对角线作正方形，经过C、E的直线分别与半圆弧交于F、G．已知，则的长为 ．
50．综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究．
问题背景：
（1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离；
问题迁移：
（2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，．
①求证：四边形是矩形；
②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度；
问题拓展：
（3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围．
【拓展训练三 垂径定理实际问题的综合】
51．如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度．
(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？
52．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端．
(1)求拱门最高点到地面的距离；
(2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门．
53．如图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知三个圆的圆心O均在格点上，且经过A、B、P三个格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图．
(1)在图①中，过点 A 作 的切线；
(2)在图②中，作点 P 关于直径所在直线的对称点M；
(3)在图③中，已知点 Q 为上任意一点（不与点 P 重合），作点Q 关于直径 所在直线的对称点N．
54．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求筒车水面的宽度；
(3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，）
55．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．

(1)作于点，求的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
1．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
3．（2025·浙江衢州·一模）如图，点O是正方形网格中的格点，点P，，，，是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点，则点P关于直线m的对称点是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，某桥的主桥拱呈圆弧形，跨度为，拱高为，则该桥主桥拱半径约为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格上格点，其中点、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）．
A． B． C． D．
6．（24-25九年级下·江苏泰州·开学考试）如图，为的直径，弦交于点M，且，若，，则的半径为（ ）
A． B． C．3 D．4
7．（2025·浙江绍兴·一模）如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为 ．
8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm．
9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是 ．
10．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是 ．
11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在半径为的中，弦，为的中点，为上点，于点，于点，连结．若，则 ，四边形的面积为 ．
12．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，P为直径上的一点，，点M和N在上， ，，则 ．

13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点P是内一定点．
(1)过点P作弦，使点P是的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若的半径为10，，求过点P的弦的长度m范围．
14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一根排水管的截面圆直径为．
(1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度；
(2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？
15．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，交于点是半径，且于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
16．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为的中点，交弦于点D．若，求的长．
17．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》
问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米．
设计方案 方案一 方案二
设计类型 圆弧型 抛物线型
任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆 的半径． 设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁．
18．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）
如何确定拱桥形状？
问题 背景 河面上有是一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥是抛物线，也有同学说是圆．为了确定拱桥形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动．
素材 一 在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了如图测量水面宽为m，拱顶离水面的距离为4m
素材 二 大雨过后，水位上涨．小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量发现当水面为m时，水位（相对正常水位）上涨m；当水面宽8m时，水位（相对正常水位）上涨m，
素材 三 如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？ 定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近．
假设 1 小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材一建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式．
假设 2 小组成员又提出拱桥可能是圆弧，请根据素材1求出该圆弧的半径．
分析 判断 基于假设1和假设2，请分别计算水面宽m和8m时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材三分别求出两种假设下数据的离差平方和，判断拱桥更接近哪种形状．（参考数据：）
19．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米．
(1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式；
(2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
(3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由．
20．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，．
(1)求证：；
(2)试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，求的长．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
专题10 垂径定理
知识点1：垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图，几何语言为：
要点：CD是直径
2.推论
　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点：
（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可．
【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意；
C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，的半径为5，点C是弦上一点，若，设，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，当Ｃ与A或B重合时，最长，当直于时，最短，即可求出x的范围．
【详解】解：当Ｃ与重合时，；
当垂直于时，可得出C为的中点，连接，
在中，，
根据勾股定理得： ，
则x的范围为．
故选：A．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若的半径为5，，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
利用勾股定理求出和，再利用垂径定理求出，再次利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
在中，，
，
，
在中，，
故选：．
知识点2：垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
注意：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【即时训练】
4．（22-23九年级上·浙江·期中）如图，的弦，M是的中点，且，则的半径等于（ ）
A．7 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】连接，根据M是的中点，得到，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵的弦，M是的中点，
∴，，
连接，
在中，，
即：的半径等于5；
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理的逆定理．熟练掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是解题的关键．
5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理的推论，掌握垂径定理的推论，坐标与图形的关系是解题的关键．
根据垂径定理的推理“垂直平分弦的直线经过圆心”，分别连接，并作的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，分别作的垂直平分线交于点，
∴，
故答案为： ．
6．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐标是 ．

【答案】
【分析】运用垂径定理的推论作图确定圆心位置，写出坐标即可．
【详解】解：分别作的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，
由图知，圆心P的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，掌握作圆中弦的垂直平分线必过圆心值解题的关键．
知识点3：常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
【即时训练】
7．（2024·广西钦州·一模）圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，的半径为，圆心到油面的距离为，则水面的宽度为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理和垂径定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作，连接，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：过点作，连接，
由题意可知，，，
在中，，
，

故答案为：．
8．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知⊙O的直径为10cm，弦，，，则与之间的距离为
【答案】7或1
【分析】当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过圆心O作，交于点F，交于点E，连接，，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为与的中点，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即可求出的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理即可求出的长．
【详解】解：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过圆心O作，交于点F，交于点E，连接，，
∵，
∴，
∵E、F分别为、的中点，
∴，，
在中，，，根据勾股定理得：，
在中，，，根据勾股定理得：，
则与之间的距离；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得，
综上所述，弦AB与CD的距离为7或1．
故答案为：7或1．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，利用分类讨论的思想和垂径定理是解本题的关键．
9．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为 cm．
【答案】
【分析】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用．连接，作，的垂直平分线，交点为点，连接，，根据垂直平分线可得，，，设，则，再根据即可列出方程求得，代入，进一步解答即可得解．
【详解】解：如图，
连接，作，的垂直平分线，交点为点，连接，，
，，，，
设，则，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
【题型1 垂径定理的概念辨析】
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
【答案】D
【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
2．下列命题中正确的是（　　）
A．垂直于弦的直线平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦
【答案】D
【分析】本题考查了命题的真假，垂径定理的运用，理解垂径定理及其推论是解题关键．根据垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧，逐项分析即可．
【详解】解：A、垂直于弦的直线不一定平分这条弦，原命题是假命题，不符合题意；
B、平分弦的直径不一定垂直于这条弦，原命题是假命题，不符合题意；
C、平分弧的直线不一定垂直于弧所对的弦，原命题是假命题，不符合题意；
D、平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦，原命题是真命题，符合题意；
故选：D．
3．下列命题中，假命题是（　　）
A．如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦
B．如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦
C．如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心
D．如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理、圆的相关概念，根据垂径定理、圆的相关概念逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，说法正确，是真命题，不符合题意；
B、当弦本身是另一条直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，故原说法错误，是假命题，符合题意；
C、如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心，说法正确，是真命题，不符合题意；
D、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦，说法正确，是真命题，不符合题意；
故选：B．
4．请完善本课时的知识结构．
垂径定理（1）
定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径 ，并且 ．
∵是直径，，垂足为点 ，
∴ ，
∴ ．

【答案】 平分这条弦 平分这条弦所对的弧
【分析】根据垂径定理内容进行作答即可．
【详解】解：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
∵ 是直径，，垂足为点，
∴，
∴．
故答案为：平分这条弦，平分这条弦所对的弧，，
【点睛】本题主要考查的是垂径定理内容，正确掌握垂径定理内容是解题的关键．
5．如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走上，就能找到的中点，老师肯定了他的想法．这位同学确定点C所用方法的依据是 ．
【答案】垂径定理
【分析】由题意依据垂径定理的定义即垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧进行分析即可．
【详解】解：作图过程可知路径垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧，
所以这位同学确定点C所用方法的依据是垂径定理.
故答案为：垂径定理.
【点睛】本题考查对垂径定理的理解，熟练掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧即垂径定理是解题的关键.
【题型2 利用垂径定理求半径】
6．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧．
根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答．
【详解】解：∵圆心到弦的距离为2，
∴，
∵弦的长为4，
∴，
∴，
即圆O的半径长是，
故选：C．
7．如图，是的弦，半径，垂足为D．若，则的直径为（ ）
A． B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此类问题时往往先构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．
根据垂径定理求出的长，在中由勾股定理求出半径的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，
半径，
，
设的半径为，则，，
在中，
根据勾股定理，
即，
解得，，
的直径为．
故选：A．
8．如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，勾股定理的应用．作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径，，；设茶杯的杯口外沿半径为，在中，由勾股定理知，进而得出结果．
【详解】解：作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径，
由题意可知，；
∵
∴，
设茶杯的杯口外沿半径为
则在中，由勾股定理知
解得
故答案为：．
9．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为 米．
【答案】
【分析】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度．根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度即可．
【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心，
，
，，
，
.
米，，
米
设，则，
在中，，
，
即的半径长为米．
故答案为：．
10．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径．
【答案】的半径为．
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
为直径，，
，
在中，
，
，
解得：（舍去），，
故的半径为．
【题型3 利用垂径定理求弦长】
11．如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，先根据已知求得，再根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理求得即可解答．
【详解】解：连接，
∵的直径，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：D．
12．已知的半径为是内一点，是线段上的一个动点，则经过点的弦中，最短弦的长度为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，过点N作，可知，由勾股定理得，可知越大，越小，即弦越短，当点N与点M重合时，最小，即，可得答案．
【详解】解：如图所示，点N作，
∴，
根据勾股定理得，
∴越大，越小，即弦越短．
当点N与点M重合时，最小，
即，
∴最短的弦为．
故选：D．
13．如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为点．如果，，那么 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键．
由垂径定理可得，，然后根据勾股定理求得半径，再根据，即可解答．
【详解】解：∵在中，半径垂直于弦，垂足为点，
∴，，
又∵
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
14．如图，，，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 ．
【答案】6
【分析】由圆的性质可得，再根据垂径定理可得，则是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答．本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解答本题的关键．
【详解】解：∵过圆心O，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴．
故答案为6．
15．如图，为的直径，，点为圆上一点，为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据垂径定理得，根据勾股定理求解即可；
（2）根据题意得，，可证明，得到，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点是弦的中点，
∴，，
∵直径，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∴，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
，
．
【题型4 垂径定理的推论】
16．如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】B
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可得，在中，由勾股定理可得，由圆的半径均相等，结合代值求解即可得到答案．
【详解】解：是的半径，交于点，，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
故选：B．
17．如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
18．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为

【答案】4
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案．
【详解】解：，
，
在中，，
，
．
故答案为：4．
19．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“是直径，点是劣弧的中点”可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“．经过圆心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直径），．平分弦所对的优弧，．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”．
【详解】证明：∵是直径，点是劣弧的中点，
∴垂直平分，
∴．
20．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】证明：如图：连接．
∵于M，于N．
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【题型5 垂径定理的实际应用】
21．在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴，
即水的最大深度为，
故选：C．
22．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（ ）
A．8米 B．6米 C．4米 D．2米
【答案】C
【分析】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．
点O为所在圆的圆心，连接，根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．
【详解】解：如图所示，点O为所在圆的圆心，连接，
由题意得：，，，
设，则，
根据题意可得：，
即，
解得：，（舍去），
即米．
故选：C．
23．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（ ）
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【详解】解：设寸，
，AB是直径，
寸，
，
，
，
寸．
故选：D．
24．一座拱桥的轮廓是一段半径为的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为 ．
【答案】50
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
设圆弧的圆心为，过作于，交于，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可．
【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，如图所示：
则， ，
，
，
即这些钢索中最长的一根为，
故答案为：50．
25．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：
信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题
(1)求喷泉的半径；
(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数）
【答案】(1)喷泉的半径为5米
(2)大约需要安装25盏景观灯
【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键：
（1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可；
（2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：，
∴，
∵D是弦的中点，
∴平分弦，，
∴，
∴，
∴，
∴米；
答：喷泉的半径为5米；
（2）解：由题意，得：米，
（盏）；
答：大约需要安装25盏景观灯．
【题型6 利用垂径定理求解其他问题】
26．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的方法均正确
B．甲和乙的方法均不正确
C．甲的方法正确，乙的方法不正确
D．甲的方法不正确，乙的方法正确
【答案】A
【分析】判断出都是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理分别求出、即可求解．
【详解】解：甲：连接，由作图可知，，垂直平分线线段，
，
，
，
为等边三角形
垂直平分线线段，
平分，
，
，
，
，故甲的作图方式正确；
乙：连接，由作图可知，，垂直平分线线段，
，
，
，
为等边三角形
垂直平分线线段，
平分，
，
，
，
，故乙的作图方式正确．
故选：A．
【点晴】本是考查了作图――应用与设计作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是题解题意．
27．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标．
【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心，
∴圆心的坐标是，
故选：B．
28．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
为的半径，其值一定，
∴当最小时，最大，
∵
∴当最小时，最大，
∵点C在上移动，
∴当时，最小
此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合，
∴的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键．
29．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为 ．
【答案】7
【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
A、B、C是上的点，，
，
D为OC的中点，
，
四边形是菱形，，
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
30．请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图①，等腰内接于中，；
(2)如图②，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、垂径定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题．
（1）如图，作直线即可，即为所求；
（2）连接交于点O，连接交于点H，连接即可．
【详解】（1）如图①，作直线即可，即为所求；
（2）如图②，连接交于点O，连接交于点H，
连接即可，直线即为所求．
【题型7 利用垂径定理求平行弦问题】
31．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案．
【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时，
过点作，垂足为，延长交于点，连接，，
则，．
在中，．
在中，．
故EF．
如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时，
过点作，垂足为，延长交于点，连接，，
则，．
在中，．
在中，．
故．
综上，，之间的距离为或，
故选：D．
32．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（ ）
A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m
【答案】C
【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论.
【详解】如图
作OE⊥AB于点E，交CD于F
∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1
∴OE=0.8m
∵水管水面上升了0.2米，
∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m
∴m
∴CD=1.6m
故选C
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键.
33．已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为 ．
【答案】7或
【分析】过圆心作两条平行线的垂线，根据垂径定理分别在直角三角形中计算即可．
【详解】如图，当两条弦在圆心两侧时：
AB、CD是⊙O的两条平行弦，
过圆心作MN分别垂直于AB、CD，
则根据垂径定理可得：，，
在中，；
同理在中，；
则，
同理可得：当两条弦位于圆心同侧时，，
故答案为：7或．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键．
34．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为 ．
【答案】7dm或1dm
【分析】如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝3，由于AB∥CD，EF⊥AB，则EF⊥CD，根据垂径定理得CF＝FD＝CD＝4，然后利用勾股定理可计算出OE＝4，OF＝3，再进行讨论：当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE＋OF；当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE OF．
【详解】解：如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，
过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，
∴AE＝BE＝AB＝3，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴CF＝FD＝CD＝4，
在Rt△OAE中，OA＝5dm
OE＝＝4，
同理可得OF＝3，
当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE+OF＝4+3＝7（dm）；
当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE﹣OF＝4﹣3＝1（dm）．
故答案为7dm或1dm．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
35．的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
【答案】7cm或17cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，CF＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝12 5＝7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，CF＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝OF＋OE＝17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
【题型8 利用垂径定理求同心圆问题】
36．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】B
【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．
【详解】解：如图
作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．
37．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
38．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ．
【答案】
【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
39．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
【答案】16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论．
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．
40．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．
(1)求证：；
(2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值．
【答案】(1)见解析
(2)大圆的半径为
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；
（1）作于E，根据垂径定理得到即可得到；
（2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可．
【详解】（1）证明：如图：作于E，
由垂径定理，得：
即；
（2）解：如图，连接，
，
，
在和中，由勾股定理，得：
，
，
即，
解得：
大圆的半径为．
【拓展训练一 垂径定理与角度结合的计算】
41．如图，是的直径，弦与交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由得到垂直平分，推出，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：，
，
垂直平分，
，
，
，
故选：D．
42．由两个全等的和构成如图①所示的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程.如图②，的半径为10，、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，，．若关于x的方程是“勾股方程”，连接、，则的度数为 ．
【答案】/90度
【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、垂径定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾股方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等．
如图，连接，，作于，作的延长线交于，利用勾股定理求出，，再利用全等三角形的判定与性质推导出即可解决问题．
【详解】解：连接，，作于，作的延长线交于，如图：
关于的方程是“勾股方程”，
，，10构成直角三角形，10是斜边，
，
，，，，，
，，
，，
，，即，，
又，
，，
，，
∵，
，
，
，
，
．
故答案为：．
43．如图，半径为2的和的圆心，都在线段上，还在上，两圆交点为C，过点C作于点E交于点D，则的大小为 ，AD的长为 ．
【答案】 30
【分析】连接，，，．由垂径定理得，进而得，再证明△是等边三角形，得，证△是等边三角形， 利用勾股定理及30度直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：如图，连接，，，．
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∵，
∴，，
∵，
是等边三角形，
，．
故答案为：30，．
【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，等边三角形的判定及性质是解题的关键．
44．如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)若的长等于的半径，，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质等；
（1）由垂径定理得，由线段垂直平分线的判定及性质，即可得证；
（2）连接，由圆的定义得，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，，即可求解；
掌握垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：是直径，，
，
是的垂直平分线，
；
（2）解：如图，连接，
，
的长等于的半径，
，
，
，
，
．
45．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，构造辅助线利用垂径定理是解题的关键；作于H，连接，；在中，由含30度直角三角形的性质，可求得，在中，由勾股定理求得，从而可求得的长．
【详解】解：作于H，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选：B．
【拓展训练二 垂径定理与三角形、四边形结合的计算】
46．如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．连接，过于H，则，可证明四边形是矩形得，则，再利用勾股定理求得，进而利用矩形性质求解即可．
【详解】解：连接，过于H，则，，
∵矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，则，
在中，，
∴矩形的面积等于，
故选：D．
47．如图，在中，直径于点，，，则弦的长为（ ）
A．9 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：，，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：B．
48．传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是 ．
【答案】
【分析】本题考查利用轴对称设计图案，七巧板，正方形的性质，确定圆的条件，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，延长交于，设圆心，连接，先求出七巧板各个图形的边长，进而可求出的长，由小鱼图案外轮廓是轴对称图形，得到垂直平分，得到圆心在上，，再在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，延长交于，设圆心，连接，
∵边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，
∴大等腰直角三角形的直角边长为，中等腰直角三角形的直角边长为，小等腰直角三角形的直角边长为，小正方形的边长为，平行四边形的边长为和，
∴是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即，
∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形，
∴垂直平分，
∴圆心在上，，
由题意可得，
设，则，
∵中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴圆的半径是，
故答案为：．
49．如图，点O是半圆的圆心，D是以为直径的半圆上的一点，以为对角线作正方形，经过C、E的直线分别与半圆弧交于F、G．已知，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握=垂径定理是解题关键．连接、，与相交于点，由正方形的性质可得，，从而求出，再结合垂径定理求解即可．
【详解】解：如图，连接、，与相交于点，
四边形是正方形，
，，，，
，
，，
在中，，
是半径，且，
，
，
故答案为：．
50．综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究．
问题背景：
（1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离；
问题迁移：
（2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，．
①求证：四边形是矩形；
②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度；
问题拓展：
（3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围．
【答案】（1）圆心到弦的距离；（2）①证明见解析，②；（3）．
【分析】（1）连接，过点作于点，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解；
（2）过点作于点，延长交于点，则，由平称的性质可得，，则四边形是平行四边形，再证明四边是矩形，得到，即可得出结论；
②连接，过点分别作于点，于点，则，由（1）知，，由（2）同理可得，得到四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出，即可求解；
（3）由题意，对称轴经过圆心，翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，得到为矩形，且，易得或，所以点在以为圆心，或为半径的圆上，当时，，当时，，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
∴，
在中，，
∴圆心到弦的距离；
（2）过点作于点，延长交于点，则，如图：
由平称的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形；
②连接，过点分别作于点，于点，则，如图：
由（1）知，，由（2）同理可得，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴；
（3）由题意，对称轴经过圆心，
∴翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，所得图形如图1和图2，
由（2）同理可得：为矩形，且，
∴或，
∴点在以为圆心，或为半径的圆上，
当时，，
当时，，
综上：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称等知识，掌握相关知识是解题的关键．
【拓展训练三 垂径定理实际问题的综合】
51．如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度．
(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？
【答案】(1)
(2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答；
（2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可．
【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，
由题意得，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
桥拱圆弧所在圆的半径为．
（2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，
由题意得，四边形是矩形，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过，
，
需要提前增加货物，
由题意得，至少需要增加吨，
答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨．
52．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端．
(1)求拱门最高点到地面的距离；
(2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门．
【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为
(2)工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．
（1）设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，由垂径定理可得，则由勾股定理可得的长，据此求出的长即可得到答案；
（2）设弦，且，连接，同理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∴拱门最高点到地面的距离为；
（2）解：如图，设弦，且，连接．
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门．
53．如图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知三个圆的圆心O均在格点上，且经过A、B、P三个格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图．
(1)在图①中，过点 A 作 的切线；
(2)在图②中，作点 P 关于直径所在直线的对称点M；
(3)在图③中，已知点 Q 为上任意一点（不与点 P 重合），作点Q 关于直径 所在直线的对称点N．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查格点作图，垂径定理的应用及垂直平分线的性质，
（1）利用网格线的特点，取格点，连接，易得，直线即为所求；
（2）同理（1）取格点，连接交于点M，易得，由垂径定理即可得到点M即为所求；
（3）取格点G，同理（1）作交于点F，连接交于点H，连接并延长交于点N，点N即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，直线为所求；
（2）解：如图所示，点为所求；
（3）解：如图所示，点为所求．
54．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求筒车水面的宽度；
(3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，）
【答案】(1)
(2)2米
(3)米
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质：
（1）根据题意可得每秒转过，即可求解；
（2）根据垂径定理可得，从而得到是等边三角形，即可求解；
（3）过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，根据直角三角形的性质可得米，从而得到米，在中，可得，从而得到米，即可求解．
【详解】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒．
∴每秒转过，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴是等边三角形，
米．
（3）解：如图，过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，
在中，米，
∴米，
∴米，
在中，米，
∴，
，
∴，
∴米，
∴米，
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为米．
55．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．

(1)作于点，求的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
【答案】(1)的长为
(2)水面截线减少了
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．
（1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案；
（2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
为圆心，，，
，
，
，
在中，，
的长为；

（2）如图，过作，连接，
由题意得：，
在Rt中，，
，
，
水面截线减少了．

1．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，关键是利用垂径定理解答．
连接，利用垂径定理解答即可．
【详解】连结，如图，设半径为，
∵垂直平分于点，
∴，，
∴，
∴点O，D，C三点共线，
，
，
在中，
，即
解得：，
则圆的半径为．
故答案为：A．
2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用垂径定理和勾股定理求值，连接，连接交于点，由题意得：，米，由垂径定理可得米，由勾股定理得出米，最后由即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，连接交于点，
由题意得：，米，
∴（米，
（米，
（米，
故选：B．
3．（2025·浙江衢州·一模）如图，点O是正方形网格中的格点，点P，，，，是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点，则点P关于直线m的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理的性质解题的关键．
由网格线可知直线，由垂径定理可得直线平分线段，即可确定点P关于直线m的对称点是点．
【详解】解：由网格线可知直线，
∵直线经过圆心，
∴直线平分线段，
∴点P关于直线m的对称点是点，
故选：D．
4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，某桥的主桥拱呈圆弧形，跨度为，拱高为，则该桥主桥拱半径约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，理解题意，学会利用垂径定理和勾股定理求线段长度是解题的关键．对图形部分顶点命名，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理建立方程，解方程求出半径的值即可得出结论．
【详解】解：由题意得，，，
，
，
在中，，
由勾股定理得，，
，
解得：．
该桥主桥拱半径约为．
故选：B．
5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格上格点，其中点、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理推论的应用，连接，，作与的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，交点即为所求圆弧的圆心，掌握垂径定理推论是解题的关键．
【详解】解：连接，，作与的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，交点即为所求圆弧的圆心，如图，
则圆心是，
故选：．
6．（24-25九年级下·江苏泰州·开学考试）如图，为的直径，弦交于点M，且，若，，则的半径为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】过点作于点，连接，则，由垂径定理可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，由此即可求出的半径．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，
过圆心且，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等角对等边，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．（2025·浙江绍兴·一模）如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．先利用垂径定理得出的长，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理求出r的值，据此得出结论．
【详解】解： 是的直径，弦于点E，，
，
设的半径为r，则，
在中，，即，
解得，
故答案为：5
8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
设圆的圆心为，连接，交于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，设圆的圆心为，连接，交于点，
根据题意得，，
，
，
，
，
锅盖最低点到的距离是，
故答案为：．
9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质，根据点的坐标，画出图形，利用垂径定理及中点坐标公式求出点的坐标即可．画出图形是解答本题的关键．
【详解】解：如图，的垂直平分线为直线，的垂直平分线为直线，
由垂径定理可知点的横坐标为，纵坐标为，
．
故答案为：．
10．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；也考查了勾股定理．过O点作于H点，连结，如图，根据垂径定理得到，设，则，再利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．
【详解】解：过O点作于H点，连结，如图，则
设，则，
在中，
中，，
，
解得，或
即小圆半径是．
故答案为：．
11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在半径为的中，弦，为的中点，为上点，于点，于点，连结．若，则 ，四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
连接、，连接并延长，交于，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，进而求出，证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，连接、，连接并延长，交于，
为 的中点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
，
12．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，P为直径上的一点，，点M和N在上， ，，则 ．

【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，含的直角三角形三边的关系和勾股定理．延长交于Q，作于H，连接，由， ，得到，根据圆的对称性得到点M与点Q关于对称，则，所以，在中根据含的直角三角形三边的关系得到，则在中根据勾股定理计算出，然后根据垂径定理得到，即得．
【详解】延长交于Q，作于H，连接，

∵，而，
∴，
∴点M与点Q关于对称，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点P是内一定点．
(1)过点P作弦，使点P是的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若的半径为10，，求过点P的弦的长度m范围．
【答案】(1)作图见详解；
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理以及作图，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
（1）依据题意，连接并延长，过点P作即可；
（2）依据题意，过点P的所有弦中，直径最长为20，与垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出，即可得解．
【详解】（1）解∶如图1，连接并延长，过点P作，则弦即为所求；
．
（2）解：过点P的所有弦中，直径最长为20，与垂直的弦最短，
连接，
，
，
，
过点的弦的长度范围为．
14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一根排水管的截面圆直径为．
(1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度；
(2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）连接，过点作垂足为，交于．由垂径定理可得出的长，由即可得出结论；
（2）分水面在水面平行的直径下方和水面在水面平行的直径上方，两种情况结合垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：连接，过点作垂足为，交于．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：水面的最大深度是．
（2）解：①当水面在与水面平行的直径下方．
过点作于点，
且与交于点，
∵，，
∴，，
在中，，
∴；
在中，
，
上升的距离为；
②当水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，
同理可得：，，
∴上升的距离为：．
答：排水管水面上升了或．
15．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，交于点是半径，且于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径是
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答．
（2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵
∴是等腰三角形，
∵于点F，
∴
又∵是的半径，
∴，
∴
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为的弦，
∴
∴
设的半径是r，
∴，
解得，
∴的半径是
16．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为的中点，交弦于点D．若，求的长．
【答案】的长为4
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解．
【详解】解：∵E是弧的中点，
∴，
∴
∵为半圆O的直径，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的长为4．
17．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》
问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米．
设计方案 方案一 方案二
设计类型 圆弧型 抛物线型
任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆 的半径． 设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁．
【答案】任务一：方案一，米；方案二，
任务二：方案一，能通过；方案二，不能通过
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键．任务一：方案一，设圆的半径为米，根据即可求解；方案二，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解；任务二：方案一，根据即可判断；方案二，当H点的横坐标时，计算其纵坐标即可判断．
【详解】解：任务一
方案一，设圆的半径为米，
在中，，
（米）
方案二，∵顶点C坐标为，
设桥拱的函数解析式为
代入得，．
函数解析式为．
任务二
方案一，如图，由上得，
在中，
．
能通过
方案二，如图建立直角坐标系，
当H点的横坐标时，，
不能通过．
18．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）
如何确定拱桥形状？
问题 背景 河面上有是一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥是抛物线，也有同学说是圆．为了确定拱桥形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动．
素材 一 在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了如图测量水面宽为m，拱顶离水面的距离为4m
素材 二 大雨过后，水位上涨．小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量发现当水面为m时，水位（相对正常水位）上涨m；当水面宽8m时，水位（相对正常水位）上涨m，
素材 三 如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？ 定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近．
假设 1 小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材一建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式．
假设 2 小组成员又提出拱桥可能是圆弧，请根据素材1求出该圆弧的半径．
分析 判断 基于假设1和假设2，请分别计算水面宽m和8m时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材三分别求出两种假设下数据的离差平方和，判断拱桥更接近哪种形状．（参考数据：）
【答案】假设1：；假设2：该圆弧的半径为米；填表见解析；拱桥更接近圆弧．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理的实际应用，熟练掌握掌握二次函数与垂径定理是解题的关键．
假设1：由题意得：，设抛物线解析式为，将代入即可求解；
假设2：设圆心，连接，由题意得：，，
设半径为，则，根据即可求解；
【详解】解： 假设1：
由题意得：，
设抛物线解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
当水面宽为m时，将代入得：；
当水面宽为m时，将代入得：；
假设2：设圆心，连接，如图所示：
由题意得：，，
设半径为，则，
∵，
∴，
解得：，
∴该圆弧的半径为米；
当水面宽为m时，设，交于点，
则，
设，则，
∵，
∴，
解得：（舍负）；
当水面宽为m时，同理可得，
解得：（舍负）；
填表如下：
水面宽m 水面宽为m
水位上涨的实际观测值（m）
假设1的预测值（m）
假设2的预测值（m）
根据离差平方和的定义，对于假设1，离差平方和为：；
对于假设1，离差平方和为：；
∵，
∴拱桥更接近圆弧．
19．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米．
(1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式；
(2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
(3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由．
【答案】(1)
(2)12.5米
(3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析
【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式；
（2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米；
（3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥．
【详解】（1）解： ，
，，
，
，
设抛物线的解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为，
即；
（2）解：设圆心为，连接交于点，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
该圆弧所在圆的半径12.5米；
（3）解：①若设计成抛物线型时，当时，，
米米，
货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，
设米，
过点作交弧于点，过点作交于点，连接，
米，
在中，，
，
米，
米，
米，
米米，
货船能顺利通过该桥．
【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
20．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，．
(1)求证：；
(2)试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形是菱形，详见解析
(3)或8
【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案；
（2）证明，得出，证出四边形是平行四边形，由（1）得，则可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：，
，
是直径，
，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
，
，
又，，
，
，
四边形是平行四边形，
由（1）得，
四边形是菱形；
（3）解：，，
①如图1，当点在点左侧时，
，
，
，
在中，，
．
②如图2，当点在点右侧时，
，
，
，
在中，，
．

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