资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
13 弧长及扇形面积
知识点1：弧长公式
　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【即时训练】
1．（2025·浙江舟山·三模）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了弧长的计算公式．根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．
【详解】解：的长为，
故选：B．
2．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，内接于，是的直径，是上一点，且．若，，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求弧长，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，进而得出，再由等弧所对的圆周角相等得到，据此利用三角形内角和定理求出的度数，根据圆周角定理求得，进而根据弧长公式，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接
∵是的直径
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴劣弧的长为
故选：C．
3．（2025·浙江湖州·二模）如图，中，，，以为直径作半圆，交，于点D，E．若，则的长为 （结果保留）
【答案】
【分析】连接，，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三角形内角和定理求出，由等弧所对的圆周角相等得出，由等边对等角得出，再由三角形内角和定理求出，证明，由全等三角形的性质得出，得出半径等于9，最后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴则的长为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，等弧所对的圆周角相等，求弧长，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
知识点2：扇形面积公式
1.扇形的定义
　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即
　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【即时训练】
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，、是的两条弦，连接、，若的半径为2，，则扇形的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，求扇形的面积，根据圆周角定理，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵、是的两条弦，，
∴，
∵的半径为2，
∴扇形的面积为；
故答案为：．
5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】此题重点考查正多边形和圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点， 连接、， 求得，由垂径定理得，则，所以，根据勾股定理求得，则，即可根据扇形的面积公式求得阴影部分面积．
【详解】解：作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点， 连接、，
，
，，、
，
∴弧弧，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
6．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和）
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形的面积，先根据扇形面积公式：求出扇形的面积，然后根据阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积求解即可．
【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为，
∴扇形的面积为，
又四边形的面积为，
∴阴影部分的面积为．
知识点3：圆锥的侧面积和全面积
　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
　　圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
　　圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【即时训练】
7．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）在一个边长为正方形里作一个扇形（如图所示），再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，熟练掌握知识点是解题的关键．设这个圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程，求出半径r，然后再根据勾股定理求出圆锥的高即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为，
由题意得，，
解得：，
∵圆锥的母线长为，
∴这个圆锥的高为：，
故选：B．
8．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为_______cm．（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，熟练掌握其性质并能灵活运用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程是解决此题的关键．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得：，
解得：，
故选：A ．
9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）“北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为的弧，若该扇形可围成高为12的圆锥（如图2），则该圆锥的母线长为 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查弧长的计算，勾股定理的运用，掌握弧长的计算方法，勾股定理求线段长的方法是解题的关键．设，根据弧长公式可得圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由题知，设，则，
解得，
即．
在中，由勾股定理得母线长为：
，
故答案为：13．
【题型1 求弧长】
1．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式，是解题的关键．根据弧长计算公式进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴的长是．
故选：B．
2．如图，是的半径，点是劣弧上的点，连接，若，则劣弧的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式．连接，根据圆周角定理得到，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，
则，
∴劣弧的长．
故选：D．
3．如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴劣弧，
故答案为：．
4．如图，内接于，的半径为，若，则劣弧的长为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，连接，由圆周角定理可得，进而利用弧长公式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴劣弧的长，
故答案为：．
5．如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米．
求：
(1)的长度；
(2)扇面的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键．
（1）根据弧长公式即可求解；
（2）先求出，再由弧长公式求出，最后计算周长即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：；
（2）解：，
则，
∴扇面的周长为：．
【题型2 求扇形半径】
6．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，设扇形的半径为，
∵扇形的弧长为，，
则
∴
解得，
故选：B
7．一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了扇形弧长，设这个扇形的半径为根据题意列方程求解即可．
【详解】∵一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，
∴设这个扇形的半径为
∴
∴
∴这个扇形的半径为．
故选：A．
8．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，
∵裙长为米，
∴米，
故选：B．
9．已知一个扇形的圆心角是，它所对的弧长为，则该扇形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式，设扇形的半径为，首先根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求解，正确掌握扇形的面积公式以及弧长公式是解题的关键．
【详解】解：设扇形的半径为，
∴，
∴，
∴该扇形的面积是，
故答案为：．
10．一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14）
【答案】4cm
【分析】根据弧长计算公式可进行求解．
【详解】解：设该弧所在圆的半径为rcm，由弧长公式，得
解得：；
∴该弧所在圆的半径为4cm．
【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
【题型3 求圆心角】
11．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查弧长公式，根据弧长公式（n为圆心角的度数，r为扇形的半径）求解即可．
【详解】解：设这个扇形的圆心角的度数为n，
根据题意，得，
解得，
故选：C．
12．如图，汽车发动机上的皮带轮通过皮带将发动机的动力传递给其他需要驱动的部件，如发电机、水泵等，爱动脑筋的小智发现：皮带轮上点的位置在不断改变．已知皮带轮的半径为，当皮带上的点上升时，皮带轮上点转过的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．点上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案．
【详解】解：设滑轮上点转过的度数为，
点上升，
点转过的弧长为，
皮带轮的半径为，
，
解得，
故选：B．
13．折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设圆心角为，
，
解得：，
故答案为：．
14．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则 ．
【答案】72
【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：72
15．在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14）
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式的运用，解题关键是熟记弧长公式，准确进行计算．
【详解】解：半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，设圆心角的度数为n度,
所以,
解得，，
这个圆心角的度数为．
【题型4 求某点的弧形运动路径长】
16．如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理和弧长公式的应用．解题关键在于确定点的运动轨迹是圆弧，利用勾股定理求出圆弧所在圆的半径，再准确运用弧长公式进行计算．本题需要先确定点的运动轨迹，再根据弧长公式计算轨迹长度．点绕点顺时针旋转，其运动轨迹是以为圆心，长为半径的一段圆弧，先求出的长度，再利用弧长公式计算．
【详解】解：∵底面是边长为的正方形，
∴对角线的长度为．
∵，半径．
∴点在地面划出的痕迹长．
17．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形，
其中扇形的半径为，圆心角最大角度为，
∴扇形的最大面积为：，
故选：B．
18．如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个的弧长和一个的弧长．求出圆心O滚动一周路径长，可得结论．
【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为，
∴滚动2025周后圆心所经过的路径长，
故选：D．
19．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留）
【答案】/
【分析】本题考查旋转性质、弧长公式，先根据旋转性质求得，，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：由题意，，，
∴点A经过的路径长至少为，
故答案为：．
20．如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处．
(1)_______°；
(2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？
【答案】(1)120
(2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为和
【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式．
（1）根据计算即可求解；
（2）利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：由旋转的性质得，
∵点A、B、在同一直线上，
∴，
故答案为：120；
（2）解：由（1）知旋转角为，
∴旋转过程中点A所经过的路程为，
旋转过程中点C所经过的路程为．
【题型5 求扇形面积】
21．如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握扇形面积公式是解题关键．先求出正六边形的内角度数，再设的半径为，根据扇形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：正六边形，
，
设的半径为，
则，
解得：，
即的半径为3
故选：A．
22．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键；
根据扇形面积公式结合阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴该阴影部分的面积；
故选：C．
23．如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】此题重点考查正多边形和圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点， 连接、， 求得，由垂径定理得，则，所以，根据勾股定理求得，则，即可根据扇形的面积公式求得阴影部分面积．
【详解】解：作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点， 连接、，
，
，，、
，
∴弧弧，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
24．如图，正五边形和正六边形有公共边．以点为圆心，为半径画圆．则扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，根据正多边形内角和公式求出的度数，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键．
【详解】解：由正五边形和正六边形可得：，，
∴，
∴扇形的面积为，
故答案为：．
25．如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及长方形面积的计算方法是正确解题的关键．根据题意画出图形如图，将运动路径分为，根据圆面积、扇形面积以及矩形面积，即进行计算即可．
【详解】解：运动路径如图：
故答案为：．
【题型6 求弓形面积】
26．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
27．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：．
28．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，，为的直径．
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：
29．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键．
【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，
根据题意，得，，
∴，
∵，
∴
，
∵中，，，
∴，
．
故答案为：24．
30．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得，从而得证；
（2）根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【详解】（1）证明：∵弦绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设的半径为，
由（1）知：是等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
解得：，
∴图中阴影部分的面积：
，
∴图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，扇形和三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积的计算是解题的关键．
【题型7 求其他不规则图形的面积】
31．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：连接相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积是．
故选D．
32．如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．证明，得出，则图中阴影部分的面积为扇形的面积，根据已知求得圆心角，进而根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】解：如图，设交于点，
∵为的中点，
∴，
∴，
又∵
∴
∴
∵半径为的扇形中，的长度为，设
∴，
解得：
∴
∴图中阴影部分的面积为
故选：A．
33．如图，扇形的圆心角为60°，点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
连接，根据等边三角形的性质得到为等边三角形，得到， ，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【详解】解：连接，∵，，
∴为等边三角形，
∵点是的中点，，
∴， ，
由勾股定理得，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
34．如图，在矩形中，分别以和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．将阴影部分的面积转化为矩形的面积减去半径为长的圆面积的一半即可．
【详解】解：连接，
四边形为矩形，
，
，分别以点和点为圆心，两弧有且仅有一个公共点．
，
，
，
又，
．
故答案为：．
35．已知四边形是的内接四边形，，连接．
(1)如图①．求的度数；
(2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差是解题的关键．
（1）根据题意得到 ，根据得到 ，从而求得，最后根据，即可得到结果；
（2）根据题意得到，利用勾股定理得然后利用求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
；
（2）∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
【题型8 求图形旋转扫过的面积】
36．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积，
故选：．
37．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
由旋转的性质可得
∴
，
故选：C．
38．如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查扇形的面积，旋转变换，推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．
线段所扫过的面积．
【详解】解：线段所扫过的面积
．
故答案为．
39．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解．
【详解】解：∵是绕点旋转得到的，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴线段扫过的图形面积为，
故答案为：．
40．如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键．
由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解．
【详解】解：由题意知，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴阴影的面积
．
故答案为：．
【拓展训练一 弧长与扇形面积的综合】
41．综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于，证明是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答．
【详解】解：依题意，，
则是等边三角形；
则，
同理得、、是等边三角形，
则
∴
∴，
∴，
∴；
依题意，，
∴是等边三角形；
则，
同理得、、是等边三角形，
则
则，
则
故答案为：．
42．如图，在中，点是边的中点，分别以点、为圆心，长为半径作圆弧，分别交、于点、．若，，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积、三角形内角和定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据题意得到，利用三角形内角和定理得到，最后利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：点是边的中点，
，
，
，
阴影部分图形的面积和为．
故答案为：．
43．如图，是的直径，点C，D在直径两侧的上，，点E在上，且于点E，延长DE交于点F，连接并延长交的延长线于点G．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，求弧长，
对于（1），根据弧、弦、圆心角的关系可得，即可证明，则可得答案；
对于（2），根据已知条件和（1）可得，进而说明，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：证明：∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴；
（2）解：∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴的长为．
44．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题：
问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积．
(1)请你解答问题Ⅰ；
(2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：）
(3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留）
(4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______．
【答案】(1)
(2)他的猜想正确．理由见解析
(3)
(4)；
【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用．
（1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果．
（2）根据（1）的公式进行计算即可求解；
（3）根据（2）的结论进行计算即可求解；
（4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解．
【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法．
问题I：，圆心角为，
即，
∴，
∴；
（2）解：他的猜想正确．理由如下：
设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得
∴花坛的面积
；
（3）解：∵，
∴，，
由（2）可得，侧面展开的图形面积为：
；
（4）解：∵，，
∴，
∵，即，
解得：
∴，即
故答案为：，．
45．如图，将正比例函数的图象向上平移，分别交x轴、y轴于点A，B，且经过点，C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若反比例函数的图象经过点，求k的值；
(3)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3)3π．
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形的面积，待定系数法求函数解析式．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴于点D，求得，得到点的坐标为，再利用待定系数法即可求解；
（3）根据，求解即可．
【详解】（1）解：∵直线是由直线平移得到的，
∴可设直线的函数表达式为，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于点D，
对于，
令，则，令，则，
∴，
∵C为线段的中点，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∵，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴；
（3）解：∵，
根据勾股定理，得，，
∴．
1．已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查扇形面积公式的知识点，已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
2．如图，学校一矩形广场的四角都有一块半径相同的扇形草地，已知圆形的半径为10米，矩形长为100米，宽为60米，则广场空地的面积为（取3）（ ）
A．4800平方米 B．5400平方米
C．5700平方米 D．6000平方米
【答案】C
【分析】本题考查圆的面积，长方形的面积，广场空地的面积为长方形的面积减去四个四分之一圆的面积，据此计算即可．
【详解】解：（平方米），
∴广场空地的面积为5700平方米．
故选：C．
3．如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，过点作于点，求出,，，，根据求解即可．
【详解】解：连接，过点作于点，如图，
∵等边是的内接三角形，
∴,
∵，，
∴，，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．如图，内接于，．若 ，则弧的长为（ ）
A．π B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，勾股定理，三角形内角和定理，由三角形内角和定理求出，则由圆周角定理得到，再利用勾股定理求出的长，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长为，
故选：A．
5．如图，内接于半径为3的，，过点C作的平行线，交于点D，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C．π D．
【答案】D
【分析】连接，，根据圆内接四边形的性质得出，由等腰三角形得性质得出，根据已知条件求出，，根据三角形内角和定理得出，根据圆周角定理得出，求出，再根据平行线的性质得出，进而可得出
【详解】解：如解图，连接，，
根据题意可知四边形内接于，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴
∴的长为，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，求弧长，等腰三角形的性质等知识，
掌握这些性质是解题的关键．
6．如图是一款可折叠圆形餐桌，图②是其展开前后的桌面示意图（阴影部分表示可折叠部分），已知展开前的正方形桌面的面积为4，则该款餐桌全部展开后桌面面积增大了（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
设正方形为，圆形桌面的圆心为O，连接，，由题意得正方形的面积为4，根据正方形的性质得出，，再根据勾股定理得出，然后根据阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积即可得出答案．
【详解】如图，设正方形为，圆形桌面的圆心为O，连接，，由题意得正方形的面积为4，
∴，，
设
在中，，
即，
，（负值舍去），
，
∴，
∴．
故D选项正确．
7．如图，内接于，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，求弧长，连接，根据三角形的内角和定理，求出的度数，圆周角定理求出的度数，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，则：，
在中，，
∴，
∵内接于，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴的长为；
故答案为：．
8．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可．
【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，，，
∴和为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质．
9．如图，在等边三角形中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，扇形的面积，连接，可得、、和都是等边三角形，即可得，利用割补法可得，进而根据扇形的面积公式计算即可求解，运用转化思想解答是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴和是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴把移到，再把移到的位置，可知，
∴，
故答案为：．
10．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作于H，由等边三角形的性质得到，，则由勾股定理可得，再根据计算求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作于H，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
11．已知是半圆O的直径，为的中点，为的中点，连接交于点，过点作于点D．若，则图中阴影部分的面积为
【答案】
【分析】先证明为等腰直角三角形，再根据垂径定理及全等三角形判定定理（），可得，从而得到，则，根据扇形面积公式即可得到答案．
【详解】解：是半圆的直径，点为的中点，
为等腰直角三角形，
．
由垂径定理可得于点，
．
又，
（），
∴．
由圆的对称性和三角形全等的性质，可得，如图
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查求不规则图形的面积，涉及垂径定理及推论，圆周角定理，全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，扇形面积，勾股定理等，熟知垂径定理及推论是解题的关键．
12．如图，正方形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于，两点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，过点O作于点G，根据矩形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的应用，扇形面积公式，勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，过点O作于点G，
∵正方形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于，两点，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴与切于点G，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的应用，扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握性质和公式是解题的关键．
13．如图，是以点为圆心的半圆的直径，是弧的三等分点，点是线段上的任意点，已知圆的半径为3，那么图中阴影部分的面积是多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了半圆的面积，同底等高三角形的面积，平行线的判定和性质，圆的性质定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的性质．
连接，得出，进而得出阴影部分面积为半圆面积的即可求解．
【详解】解：如图，连接，则，
根据题意，是弧的三等分点，
，为等边三角形，
，
∴，
∴与同底等高，
，
∴阴影部分面积为半圆面积的，
∴阴影部分面积为．
14．如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，．
(1)求的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)的半径
(2)
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
（1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案；
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴
15．如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形．
(1)求证：；
(2)当为直径时，，求的值及优弧的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是利用旋转得到边、角的关系．
（1）由扇形的性质可得，再由等腰三角形的性质可知，再由旋转的性质得，推出；利用证明三角形全等；
（2）利用垂径定理及圆的基本性质可得，即可求得旋转角的度数，再根据弧长公式求优弧的长即可．
【详解】（1）证明：由题意可得：，
，
由旋转的性质可知，，
．
由旋转的性质可知，，，
，
即，
，
．
在与中，
，
．
（2）解：当为直径时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
即，
∴，
∴优弧的长度为．
16．如图，在中，，以为直径的与交于点．
(1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的垂直平分线交于一点，即为点E，再过点A作一个等于的角，然后连接并延长，交于点M，即可作答．
（2）先由垂径定理得，根据圆周角定理得出，再结合勾股定理得出，算出，然后根据代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，作图如图所示．
；
（2）解：由（1），得，
∴．
∵点是的中点，
∴，
∴．
∴，
∴．
如图，连接，过点O作于点H．
则，
∴，
，
∴，
，
，
则．
【点睛】本题考查了作一个已知角以及圆周角定理，垂径定理，扇形面积，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
17．如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分．
(1)求的半径；
(2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）；
(3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】(1)
(2)圆弧形门洞的拱高为
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理求得矩形鄂的对角线长即可．
（2）设弧的中点为，作于，利用垂径定理，三角形中位线定理，结合所求解答即可．
（3）根据阴影部分的面积，依据面积计算公式解答即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
．
．
的半径为．
（2）解：如图，设弧的中点为，作于，
由对称性可知，过圆心，
则，
，
．
圆弧形门洞的拱高为．
（3）解：．理由如下：
的面积，
．
，
，
．
．
阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，圆的性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
18．【项目式学习】旋转对称图形的设计.八年级数学学习小组围绕这一主题，进行了项目式.学习小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫它的对称中心，叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．例如，图中的正六边形，点是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点旋转，旋转后的图形与旋转前的图形重合．
素材二：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
(1)下列图形中不是旋转对称图形的有________，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有_________，旋转能够完全重合的图形有_________（写选项），请写出一个有一个旋转角是旋转对称图形，这个图形可以是_________；（写图形名称）
(2)如图，正方形边长为，以各边中点为圆心，为半径依次作圆，将正方形分成四部分．那么图形的周长为_________，面积为_________．
(3)为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；六块图形的面积相同．请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）．
(4)尺规作图，在图中的等边三角形内部作出一个图形，使作出的图形和这个等边三角形构成的整体既是一个旋转对称图形又是一个轴对称图形（作出的图形用实线，作图过程用虚线，保留痕迹，不写作法）
【答案】(1)；；；正方形
(2)，
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据定义判定不是旋转对称图形，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有，旋转能够完全重合的图形有，，根据题意解答即可．
（2）根据正方形的面积公式，圆的周长计算公式解答即可．
（3）根据要求画出符合题意的图形即可．
（4）根据定义作图即可．
【详解】（1）解：根据定义判定不是旋转对称图形，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有，旋转能够完全重合的图形有，，根据题意即正方形，
故答案为；；；；正方形．
（2）解：正方形的面积为，圆的周长为，
图形的周长为，面积为．
故答案为：，1．
（3）解：根据要求画图如下：
根据要求画图如下：
（4）解：根据定义画图如下：
【点睛】本题考查了新定义问题，正方形的性质，圆的周长，正六边形的性质，等边三角形的性质，常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．
19．生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）．
(1)若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π）
(2)乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，读懂勒洛三角形和勒洛五角形的定义是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得出，，进而可知弧弧弧，进而根据弧长公式可求出每段的弧长，最后乘以3即可得出答案．
（2）设与交于点P，与相交于点Q，设，，，，，由三角形内角和定理和平角的定理等量代换可得出，再由弧长公式分别求出每段的弧长，最后相加即可得出答案．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，且边长为，
∴，，
∴弧弧弧
由弧长公式得：弧的长
∴勒洛三角形的周长为：
（2）解：设与交于点P，与相交于点Q，如图所示：
设，，，，，
∵，，
∴，
同理可得出：，
∴，
在中，，
∴，
即．，
由弧长公式得∶弧长长为∶ ，
弧长长为∶ ，
弧长长为∶ ，
弧长长为∶
弧长长为∶
∴勒洛五边形的周长是∶
20．（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，．
(1)求半径的长；
(2)求图2中阴影部分的面积．
【答案】(1)30
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离，
（1）先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案．
（2）根据，即可求解．
【详解】（1）解： ∵，，
∴
∵，
∴
∵，由题意得，
∴
在中，，
∴，
即的半径的长为．
（2）连接
，
，
∵ 在中，，
∴ 为等边三角形，/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
13 弧长及扇形面积
知识点1：弧长公式
　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【即时训练】
1．（2025·浙江舟山·三模）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，内接于，是的直径，是上一点，且．若，，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江湖州·二模）如图，中，，，以为直径作半圆，交，于点D，E．若，则的长为 （结果保留）
知识点2：扇形面积公式
1.扇形的定义
　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即
　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【即时训练】
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，、是的两条弦，连接、，若的半径为2，，则扇形的面积为 ．（结果保留）
5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是 ．
6．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和）
知识点3：圆锥的侧面积和全面积
　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
　　圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
　　圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【即时训练】
7．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）在一个边长为正方形里作一个扇形（如图所示），再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）

A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为_______cm．（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）“北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为的弧，若该扇形可围成高为12的圆锥（如图2），则该圆锥的母线长为 ．
【题型1 求弧长】
1．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的半径，点是劣弧上的点，连接，若，则劣弧的长为（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
4．如图，内接于，的半径为，若，则劣弧的长为 ．（结果保留）
5．如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米．
求：
(1)的长度；
(2)扇面的周长．
【题型2 求扇形半径】
6．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
9．已知一个扇形的圆心角是，它所对的弧长为，则该扇形的面积是 ．
10．一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14）
【题型3 求圆心角】
11．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，汽车发动机上的皮带轮通过皮带将发动机的动力传递给其他需要驱动的部件，如发电机、水泵等，爱动脑筋的小智发现：皮带轮上点的位置在不断改变．已知皮带轮的半径为，当皮带上的点上升时，皮带轮上点转过的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度．
14．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则 ．
15．在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14）
【题型4 求某点的弧形运动路径长】
16．如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　）
A． B． C． D．
19．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留）
20．如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处．
(1)_______°；
(2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？
【题型5 求扇形面积】
21．如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
22．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
23．如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是 ．
24．如图，正五边形和正六边形有公共边．以点为圆心，为半径画圆．则扇形的面积为 ．
25．如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留）
【题型6 求弓形面积】
26．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
27．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ．
29．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ．
30．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【题型7 求其他不规则图形的面积】
31．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
32．如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，扇形的圆心角为60°，点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
34．如图，在矩形中，分别以和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
35．已知四边形是的内接四边形，，连接．
(1)如图①．求的度数；
(2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积．
【题型8 求图形旋转扫过的面积】
36．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
37．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
38．如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是 ．（结果保留）
39．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ．
40．如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ．
【拓展训练一 弧长与扇形面积的综合】
41．综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
42．如图，在中，点是边的中点，分别以点、为圆心，长为半径作圆弧，分别交、于点、．若，，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留）
43．如图，是的直径，点C，D在直径两侧的上，，点E在上，且于点E，延长DE交于点F，连接并延长交的延长线于点G．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
44．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题：
问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积．
(1)请你解答问题Ⅰ；
(2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：）
(3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留）
(4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______．
45．如图，将正比例函数的图象向上平移，分别交x轴、y轴于点A，B，且经过点，C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若反比例函数的图象经过点，求k的值；
(3)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．
1．已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，学校一矩形广场的四角都有一块半径相同的扇形草地，已知圆形的半径为10米，矩形长为100米，宽为60米，则广场空地的面积为（取3）（ ）
A．4800平方米 B．5400平方米
C．5700平方米 D．6000平方米
3．如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，内接于，．若 ，则弧的长为（ ）
A．π B． C． D．
5．如图，内接于半径为3的，，过点C作的平行线，交于点D，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C．π D．
6．如图是一款可折叠圆形餐桌，图②是其展开前后的桌面示意图（阴影部分表示可折叠部分），已知展开前的正方形桌面的面积为4，则该款餐桌全部展开后桌面面积增大了（ ）
A． B． C． D．
7．如图，内接于，若，则的长为 ．
8．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
9．如图，在等边三角形中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
10．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）．
11．已知是半圆O的直径，为的中点，为的中点，连接交于点，过点作于点D．若，则图中阴影部分的面积为
12．如图，正方形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于，两点，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，是以点为圆心的半圆的直径，是弧的三等分点，点是线段上的任意点，已知圆的半径为3，那么图中阴影部分的面积是多少？
14．如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，．
(1)求的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
15．如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形．
(1)求证：；
(2)当为直径时，，求的值及优弧的长．
16．如图，在中，，以为直径的与交于点．
(1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）
17．如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分．
(1)求的半径；
(2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）；
(3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留）
18．【项目式学习】旋转对称图形的设计.八年级数学学习小组围绕这一主题，进行了项目式.学习小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫它的对称中心，叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．例如，图中的正六边形，点是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点旋转，旋转后的图形与旋转前的图形重合．
素材二：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
(1)下列图形中不是旋转对称图形的有________，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有_________，旋转能够完全重合的图形有_________（写选项），请写出一个有一个旋转角是旋转对称图形，这个图形可以是_________；（写图形名称）
(2)如图，正方形边长为，以各边中点为圆心，为半径依次作圆，将正方形分成四部分．那么图形的周长为_________，面积为_________．
(3)为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；六块图形的面积相同．请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）．
(4)尺规作图，在图中的等边三角形内部作出一个图形，使作出的图形和这个等边三角形构成的整体既是一个旋转对称图形又是一个轴对称图形（作出的图形用实线，作图过程用虚线，保留痕迹，不写作法）
19．生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）．
(1)若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π）
(2)乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示）
20．（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，．
(1)求半径的长；
(2)求图2中阴影部分的面积．

展开更多......

收起↑