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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
08 圆的基本概念
知识点1：圆的定义
1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
【即时训练】
1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦
2．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）下列说法：①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦，其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列说法中正确的有 （填序号）．
①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；
④面积相等的两个圆是等圆．
知识点2：弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
名称 概念 注意 图示
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径
直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径
弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆
等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤
【即时训练】
4．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知的半径3，则中最长的弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（ ）
A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧
C．直径是弦 D．弦是直径
6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，图中的直径有 ，非直径的弦有 ；图中以为端点的弧中，优弧有 ，劣弧有 ．
知识点3：点和圆的位置关系
点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示
文字语言 符号语言
点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内
点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上
点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外
注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。
（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
【即时训练】
7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ．
9．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由．
知识点4：过已知点作圆
条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆
理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个
圆形
结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
【即时训练】
10．（21-22九年级上·浙江绍兴·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
11．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
12．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
知识点5：三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
【即时训练】
13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）过三点，，的圆的圆心坐标为 ．
14．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ．
15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ．
【题型1 圆的基本概念辨析】
1．下列语句中正确的是（　　）
A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径
C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆
2．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点为圆心 B．以长为半径
C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点
3．早在两千多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中“定长”指的是 ．
4．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．
下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）．
①圆是轴对称图形；
②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；
③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；
④圆中垂直于弦的直径平分弦．
5．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 ．（填序号）
【题型2 圆中弦的相关概念】
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦
C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧
D．平分弦的直径垂直于弦
7．已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（ ）
A． B． C． D．
8．直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ．
9．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．
10．如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数．
【题型3 圆的周长和面积】
11．火星和地球的赤道可以近似地看作一个圆，其中火星赤道的半径是地球的，若把它们的半径都增加，则赤道周长增加更多的是（　　）
A．地球 B．火星 C．一样多 D．无法确定
12．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）

A． B． C． D．
13．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
14．如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米．
15．如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
【题型4 点和圆的位置关系】
16．在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（ ）
A．点在外 B．点在上
C．点在内 D．无法确定
17．在直角坐标平面内，点是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是．如果以点为圆心，为半径的圆与直线相交，且点中有一点在圆内，另一点在圆外，那么的值可以取（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
18．如图，已知矩形的边，现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是 ．
19．已知的半径，点到圆的最近距离为，则点到圆的最远距离为 ；若点到的最近距离为，则点与圆的位置关系是 （填“在圆外、在圆上或在圆内”）．
20．在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系．
【题型5 三角形的外接圆】
21．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
22．已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点．
作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线；
（2）连接，作线段的垂直平分线，交于点；
（3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．连接，则点是的内心
B．
C．连接，则不是的半径
D．若连接，则点在线段的垂直平分线上
23．三角形的外心是（ ）
A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ．
25．下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明．
证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：．
方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明．
【题型6 求三角形外心坐标与半径】
26．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外
C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为
27．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
28．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ）
A．8 B． C． D．4
29．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ．
30．已知：如图，△ABC．

(1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ；
(3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为，求其外接圆的面积．
【题型7 确定圆的条件】
31．下列说法中正确的是（　　）
A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆
B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆
C．经过三个定点，只能作一个圆
D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆
32．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
33．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ．
34．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
35．已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
【题型8 尺规作图确定圆心】
36．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（ ）.
A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定
37．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
38．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
39．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 ．
40．如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．

(1)点 的坐标为 ．
(2)判断点 与 的位置关系．
【拓展训练一 计算圆的半径问题】
41．如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
42．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
43．如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（ ）
A． B．2 C． D．
44．如图，正方形的边长为6，以边上的动点O 为圆心，为半径作圆，将 沿翻折得到，若过一边上的中点，则的半径为 ．
45．如图，正方形的边长为2，以边上的动点O为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的直径为 ．
【拓展训练二 尺规作圆综合】
46．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系．
(1)圆心的坐标为______；
(2)求的半径；
(3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由．
47．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________．
48．在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)作出关于原点对称的
(2)作出关于y轴对称的
(3)用尺规作图的方法确定下列圆弧所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）．
49．请解答下列各题：
（1）如图1，如图，所在的直线垂直平分线，利用这样的工具，最少使用几次就可以找到圆形工件的圆心；
（2）如图2，有一块破碎的圆形残片，请你用直尺和圆规找出它的圆心．（保留作图痕迹）．
50．如图，在的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，圆过格点，，请作出圆心；
（2）在图2中，⊙的两条弦，请作一个圆周角．
【拓展训练三 圆的最值问题（隐圆）】
51．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．
52．如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（ ）．
A． B．3 C． D．
53．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
54．如图，矩形的边为上的点，是矩形内部一动点，且满足为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
55．如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ．
1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在上
C．点在外 D．点在上或外
2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东威海·一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为圆心，的长为半径作圆，是⊙O上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第33秒时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．8
7．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ．
8．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ．
9．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．

10．（2025·甘肃陇南·三模）已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积为 ．
11．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是
12．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ．
13．（2024·山东青岛·二模）已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等．
14．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
15．（21-22六年级上·黑龙江大庆·期末）求阴影部分的周长．（单位：cm）（若涉及时不取近似值，用表示既可）
16．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是的半径，点C在上，，求的度数．
17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且．
(1)与相等吗？为什么？
(2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数．
18．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数．
19．（2025·江苏南京·二模）从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为．
(1)当时，的值为 ．
(2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值．
20．（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形的边，．
(1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系；
(2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
08 圆的基本概念
知识点1：圆的定义
1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
【即时训练】
1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦
【答案】D
【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误；
B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误；
C、弦不一定是直径，故选项错误；
D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确；
故选D．
2．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）下列说法：①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦，其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】根据圆有关定义：等弧是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，圆上任意两点的连线段是弦等知识分别判断得出答案即可．
【详解】解：①面积相等的圆的半径相等，由等圆的定义可知，半径相等的两个圆也周长相等，所以为等圆，故此选项正确，符合题意；
②过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项错误，不符合题意；
③长度相等的弧是等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，不符合题意；
④圆上任意两点的连线段是弦，半径只有一个端点在圆上，所以半径不是弦，此项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义是解题关键．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列说法中正确的有 （填序号）．
①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；
④面积相等的两个圆是等圆．
【答案】①③④
【分析】根据圆的基本定义判断即可．
【详解】解：①直径是圆中最大的弦，故正确；
②同圆或等圆中，长度相等的两条弧一定是等弧，故错误；
③半径相等的两个圆是等圆，故正确；
④面积相等的两个圆半径相等，则两个圆是等圆，故正确；
故答案为：①③④．
【点睛】此题考查了圆的基本定义的掌握，正确理解圆的基本定义是解题的关键．
知识点2：弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
名称 概念 注意 图示
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径
直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径
弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆
等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤
【即时训练】
4．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知的半径3，则中最长的弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可．
【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为3，
∴最长的弦为6，
故选：B．
5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（ ）
A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧
C．直径是弦 D．弦是直径
【答案】C
【分析】根据弧：本题主要考查了圆的基本性质，“圆上两点所夹的部分”，弦：“连接圆上两点形成的线段”，进行判断即可．
【详解】解：A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误；
B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误；
C、直径是弦，选项正确；
D、弦不一定是直径，选项错误；
故选C．
6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，图中的直径有 ，非直径的弦有 ；图中以为端点的弧中，优弧有 ，劣弧有 ．
【答案】 、 ，，，， ，，，
【分析】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【详解】解：图中的直径有，非直径的弦有、；图中以A为端点的弧中，优弧有，，，，；劣弧有，，，．
故答案为：；、；，，，，；，，，．
【点睛】本题考查了圆的认识，关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
知识点3：点和圆的位置关系
点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示
文字语言 符号语言
点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内
点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上
点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外
注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。
（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
【即时训练】
7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住，若圆半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
比较与的大小即可得出结论．
【详解】解：的半径为3．点到圆心的距离为1.5，
点在圆内．
故答案为：C．
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理．根据题意画出图形，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，过点作轴，

则，
根据勾股定理可得，
点或，
．
故答案为：．
9．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断．
【详解】解：连接．
C在上；
在直角中，，
则A在的外部；
，则E在内部；
，则在直角中，，则F在的外部．
知识点4：过已知点作圆
条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆
理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个
圆形
结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
【即时训练】
10．（21-22九年级上·浙江绍兴·期末）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
【答案】B
【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．
故选：B．
【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
11．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
【答案】A
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出外接圆的圆心，进而即可得到坐标．
【详解】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为外接圆的圆心，坐标为（5，2）．
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，是解题的关键．
12．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
【答案】（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
知识点5：三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
【即时训练】
13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）过三点，，的圆的圆心坐标为 ．
【答案】
【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答．
【详解】解：如图，

∵，，，
∴是直角三角形，
∴的中点D的坐标为，
∴过三点，，的圆的圆心坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心．
14．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求．
【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，
在圆上的格点有，，，
∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限，
∴点C的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键．
15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．解决本题的关键是掌握外心定义．
【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，
点是的外心，
的外心的坐标为，
故答案为：．
【题型1 圆的基本概念辨析】
1．下列语句中正确的是（　　）
A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径
C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆
【答案】C
【分析】本题考查了圆的相关概念，掌握直径、半径、半圆和弧、弓形的定义是解题关键．由直径是线段不是直线，可判断A选项；根据经过圆心的线段两个端点不一定在圆和圆心上，可判断B选项；根据半圆是直径所对的弧，弓形是由弦及其所对的弧组成，可判断C、D选项．
【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误；
B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误；
C、半圆是弧，选项正确；
D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误；
故选：C．
2．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点为圆心 B．以长为半径
C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；
B、只确定圆的半径，不可以确定圆；
C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；
D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；
故选：C．
3．早在两千多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中“定长”指的是 ．
【答案】半径
【分析】本题考查了圆的认识．根据圆的集合定义直接回答即可．
【详解】解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径．
故答案为：半径．
4．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．
下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）．
①圆是轴对称图形；
②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；
③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；
④圆中垂直于弦的直径平分弦．
【答案】②③
【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可．
【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上，
∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③．
故答案为：②③．
5．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 ．（填序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误；
②半圆是弧，说法正确；
③过圆心的弦是直径，故原说法错误；
④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误．
故答案为：①③④．
【题型2 圆中弦的相关概念】
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦
C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【分析】本题考查了命题，圆中的有关概念，熟练掌握圆的概念和性质是解题的关键。
根据圆的概念和性质分析即可．
【详解】解：A．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；
B．圆中最长的弦是经过圆心的弦，说法正确，是真命题，符合题意；
C．一条弦（非直径）把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；
D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；
故选：B．
7．已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最大的弦为直径，即可求解．
【详解】解：的半径为，
的直径为，
是的弦，
，
弦的长不可能为，
故选：A．
8．直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ．
【答案】
【分析】本题考查圆的基本概念，等边三角形的判定和性质，连接，根据等边三角形的性质，求出的度数即可．
【详解】解：如图，连接，
∵的直径为，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
即弦所对的圆心角是
故答案为：．
9．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．
【答案】7
【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径．
根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个．
【详解】如图，∵的半径为，
∴直径，
∴弦长的整数值有或或或，共4种可能，
当或或时,各有2条,
当时有1条,
∴这样的弦共有7条．
∴这样的点P共有7个．
故答案为：7．
10．如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了圆的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键，连接，由等边对等角得，， 进而得．再根据直角三角形的两锐角互余即可得解。
，从而得到答案．
【详解】解：连接．
，
．
，
．
．
，
．
，即．
．
【题型3 圆的周长和面积】
11．火星和地球的赤道可以近似地看作一个圆，其中火星赤道的半径是地球的，若把它们的半径都增加，则赤道周长增加更多的是（　　）
A．地球 B．火星 C．一样多 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题的解题关键是认识到圆的周长公式中，周长的增加量仅与半径的增加量有关，而与原始半径的具体大小无关．这意味着，只要两个圆的半径增加相同的量，无论它们原本的半径大小如何，周长的增加量将是一样的．
【详解】解：地球赤道半径增加后的周长增加量为．
火星赤道半径增加后的周长增加量为．
从计算结果来看，无论地球还是火星，只要半径增加相同的量，周长的增加量是相同的，都等于．
故选：C．
12．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，

∴设小圆的半径为，大圆的半径，
∵像素，，
∴，
在中，，即，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键．
13．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【答案】B
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2，
∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．
14．如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米．
【答案】2π
【分析】本题主要考查正方形的性质和圆的面积，连接，由正方形的两种可求出根据勾股定理求出，再根据圆的面积计算公式可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，且面积为4，
∴，
连接，如图，
∵正方形内接于，
∴，
∴由勾股定理得，
∴的面积为，
故答案为：．
15．如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了求出阴影部分面积，设大圆的半径为，小圆半径为，利用圆环面积等于即可求出．
【详解】解： 因为两个同心圆组成的圆环面积是16，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积=，
故答案为：．
【题型4 点和圆的位置关系】
16．在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（ ）
A．点在外 B．点在上
C．点在内 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，点与圆的位置关系，先证明，可得即可得到结论.
【详解】解：如图，∵在中，，，
∴，
∴，
∴以为圆心，长为半径画圆，则点在上，
故选：B．
17．在直角坐标平面内，点是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是．如果以点为圆心，为半径的圆与直线相交，且点中有一点在圆内，另一点在圆外，那么的值可以取（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】D
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．
先根据两点间的距离公式分别计算出、的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．
【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，，
∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，
∴，
∴符合要求．
故选D．
18．如图，已知矩形的边，现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外； ②点在圆上；③点在圆内是解题的关键．根据勾股定理求出的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案．
【详解】解：如图，连结，，
四边形是矩形，
，
，
以点为圆心作圆，如果、、至少有一点在圆内，
，
至少有一点在圆外，
，
半径的取值范围是：．
故答案为：．
19．已知的半径，点到圆的最近距离为，则点到圆的最远距离为 ；若点到的最近距离为，则点与圆的位置关系是 （填“在圆外、在圆上或在圆内”）．
【答案】 或 在圆外
【分析】根据的半径，点到圆的最近距离为，可知点分两种情况，一种情况在圆内，一种在圆外；根据点到的最近距离，的半径，可以判断点与圆的位置关系．
【详解】解：的半径，点到圆的最近距离为，
点在圆内或者圆外，
当点在圆内时，点到圆的最远距离为：；
当点在圆外时，点到圆的最远距离为：；
当点到的最近距离，的半径，，
此时点在圆外；
故答案为：或，点在圆外．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是明确点到圆的距离的最近与最远与半径的关系．
20．在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系．
【答案】点在上，点在内，点在外
【分析】本题考查了平面内两点之间的距离、点与圆的位置关系，先根据平面内两点之间的距离公式求出、、的长度，再与半径进行比较，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，，，
∴点在上，点在内，点在外．
【题型5 三角形的外接圆】
21．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理得，，，，
∴，
∴点是的外心，
故选：．
22．已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点．
作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线；
（2）连接，作线段的垂直平分线，交于点；
（3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．连接，则点是的内心
B．
C．连接，则不是的半径
D．若连接，则点在线段的垂直平分线上
【答案】D
【分析】本题考查作图，三角形的外接圆与外心等知识；根据三角形的外心的定义和性质一一判断即可．
【详解】解：连接，
由作图可知，∵点是，垂直平分线上的焦点，
∴点是的外心，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴A错误，D正确，
∵点的位置不确定，
∴的长度不确定，∴B错误；
∵点是的外心，且以为圆心，长为半径作
∴
∴是的半径，∴C错误；
故选：D．
23．三角形的外心是（ ）
A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可．
【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，
∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求．
【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，
在圆上的格点有，，，
∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限，
∴点C的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键．
25．下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明．
证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：．
方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明．
【答案】证明过程见详解
【分析】根据矩形的性质，对角线相等且相互平分；根据圆的性质，从圆心到圆上的点所成的半径相等即可求解．
【详解】解：方法一：利用矩形判定和性质证明．
如图所示，过点作，且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∵是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，
∴点D也是的中点，
∴，
∴；
方法二：利用圆的性质证明．
如图所示，是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，以为圆心，以为半径画圆，且，即为的直径，
∴内接于，则点在圆上，且，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，圆的性质，理解并掌握矩形中对角线相等且相互平分，从圆心到圆上的半径相等的知识是解题的关键．
【题型6 求三角形外心坐标与半径】
26．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外
C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为
【答案】D
【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴圆心在直线上，
设其圆心坐标为，
则，即，
由勾股定理得，
解得，
∴这条圆弧所在圆的圆心为，
半径为，
∵，
∴点在这条圆弧所在圆上，
∵，
∴原点在这条圆弧所在圆内，
观察四个选项，选项D符合题意．
故选：D．
27．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心．
【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的垂直平分线交点即为的外心，
的外心坐标是，
故选：D．
28．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ）
A．8 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴这个三角形的外接圆的直径是，
故选：C．
29．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了特殊三角形外心，根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵点，的坐标分别是，，
∴
∴是直角三角形，
∵是的外接圆，
∴
∴在上，且为的中点
∴，
故答案为：．
30．已知：如图，△ABC．

(1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ；
(3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为，求其外接圆的面积．
【答案】(1)见解析
(2)斜边中点
(3)
【分析】（1）作AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径画圆即可；
（2）根据直角三角形外心为斜边中点作答即可；
（3）连接OB，利用勾股定理求出半径即可．
【详解】（1）解：如图所示，圆O即是△ABC的外接圆．
（2）解：如图，直角三角形ABC，作斜边AB上的中线CD，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，CD= AD= BD，即D为直角三角形ABC的外接圆圆心，
故答案为：斜边中点．
（3）解：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，OD⊥BC于D，OD=，
连接OB，
∵OD⊥BC，
∴，
∴，
其外接圆的面积为．
【点睛】本题考查了三角形外接圆、垂径定理和圆的面积计算，解题关键是熟练掌握三角形外接圆的作法，能够熟练运用垂径定理求出半径长．
【题型7 确定圆的条件】
31．下列说法中正确的是（　　）
A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆
B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆
C．经过三个定点，只能作一个圆
D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆
【答案】D
【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可．
【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意；
B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意；
C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意；
D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意；
故选：D．
32．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质等等，根据过不共线得到三点可以确定一个圆可判断①③，一个圆有无数个内接三角形，据此可判断②；三角形外心是三条垂直平分线的交点，据此可判断④．
【详解】①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题；
②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题；
③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题．
∴真命题只有1个，
故选：D．
33．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，
故答案为：．
34．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可．
【详解】解：∵，，，在这条直线上，
∴三个点，，不能确定一个圆．
故答案为：不能．
35．已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
【答案】( 1, 3)
【分析】由而在同一直线上的三个点不能画一个圆可知，当P，A，B三点共线时，过P，A，B三点不能作出一个圆．为此，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再与y=x-4联立，两直线的交点坐标即为所求．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(0,2)，点B(2,0)，
∴，
解得，
∴y= x+2.
解方程组，得，
∴当P的坐标为( 1, 3)时，过P，A，B三点不能作出一个圆.
故答案为( 1, 3).
【点睛】本题考查确定圆的条件和一次函数的性质，解题的关键是掌握确定圆的条件和一次函数的性质.
【题型8 尺规作图确定圆心】
36．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（ ）.
A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，先确定圆心的位置，再求出半径，最后根据点和圆心的距离，判断点和圆的位置关系.
【详解】
如图，根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，确定圆心为O，
∵ ，
∴点M在圆上，
故选C.
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，根据垂径定理，确定圆的圆心，是初中圆这一部分常见的作图，需要引起注意.
37．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
【答案】(－1，0)
【分析】根据网格的特点找到的垂直平分线的交点即可求解．
【详解】根据不共线三点确定一个圆，如图，的垂直平分线的交点即为所求，则该圆弧所在圆的圆心坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不共线三点确定一个圆，求圆心的坐标，掌握确定圆的条件是解题的关键．
38．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
【答案】（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
39．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 ．
【答案】（2，0）
【分析】由图像可知B点坐标为（4，4），连接AB、BC，分别做AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心M，M坐标为（2，0）．
【详解】连接AB、BC，分别做AB、BC的中垂线，相交于点M，
由中垂线性质有AM=BM=CM，
∵AM=BM=CM，
∴点M为圆心，
由平面直角坐标系可知，
圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中圆的图象及性质，圆上任意点到圆心的距离相等，再结合中垂线性质，通过尺规作图结合图象即可求得圆心坐标．
40．如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．

(1)点 的坐标为 ．
(2)判断点 与 的位置关系．
【答案】(1)
(2)点在内
【分析】（1）分别作的垂直平分线，交点即为点 ；
（2）计算圆的半径与的长度，比较大小即可；
【详解】（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点 ，

坐标为：，
（2）解：，，，
，，
点在内．
【点睛】本题考查了三点确定圆，确定圆心的位置、点与圆的位置关系等知识点，准确找到圆心的位置是解题关键．
【拓展训练一 计算圆的半径问题】
41．如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、圆的基本概念、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，利用平行线的性质得到，得出，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
正方形，
，，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
正方形的边长为．
故选：B．
42．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径．
【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为，
∵点A的坐标为，
∴的半径为，
故选：C．
43．如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解．
【详解】解：设的半径为，即，则，
∵点C在内
∴，即，解得：，
连接，
在中，
当时，
解得：
∵点P是边上的一个动点，，点B在外
∴
∴，结合选项可得的半径可以是
故选：C．
44．如图，正方形的边长为6，以边上的动点O 为圆心，为半径作圆，将 沿翻折得到，若过一边上的中点，则的半径为 ．
【答案】2或或
【分析】本题主要考查了正方形的性质、圆的基本知识、折叠的性质以及勾股定理等知识，分情况讨论是解题关键．设的半径为r，分 经过 的中点、经过的中点以及经过的中点三种情况，分别求解即可．
【详解】解：设的半径为r，如下图，
①如图1，当 经过 的中点，即经过的中点，
2；
②如图2，当经过的中点，则 ，
，
在中， ，
，
解得：（负值已舍去）；
③如图3，当经过的中点，连接，
∴，，，
∴在中，可有，
，解得．
综上所述，的半径为2或或．
45．如图，正方形的边长为2，以边上的动点O为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的直径为 ．
【答案】，，
【分析】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键．
分三种情况讨论，设的半径为r，分别根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：设的半径为r，
当经过的中点，即经过的中点．
，
当经过的中点，则，
，，
在中，，
，
解得：（负值舍去），
当经过的中点，即经过的中点，设的中点为M，
，，，
，
解得：，
综上所述，直径为，，，
故答案为：，，．
【拓展训练二 尺规作圆综合】
46．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系．
(1)圆心的坐标为______；
(2)求的半径；
(3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点在内，理由见解析
【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识．
（1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标；
（2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解；
（3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系．
【详解】（1）解：圆心D如图所示；
圆心D坐标为，
故答案为：．
（2）解：由勾股定理得，的半径为．
（3）解：点在内．理由如下：
，
而，
点在内．
47．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.
（1）由“”可证
（2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长， 即可求解.
【详解】（1）)证明：，
，
又 ，
在 和 ，
，
；
（2）
∵，，
∴， ，
∴，
的外接圆半径 ，
故答案为：
48．在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)作出关于原点对称的
(2)作出关于y轴对称的
(3)用尺规作图的方法确定下列圆弧所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图一轴对称变换、中心对称变换，确定圆心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）分别作出点A、B、C关于原点对称的点、、，然后顺次连接即可；
（2）分别作出点、、关于y轴对称的点、、，然后顺次连接即可；
（3）根据题意分别作出弦，的垂直平分线，交于点O，即为所求．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，点O即为所求圆的圆心．
49．请解答下列各题：
（1）如图1，如图，所在的直线垂直平分线，利用这样的工具，最少使用几次就可以找到圆形工件的圆心；
（2）如图2，有一块破碎的圆形残片，请你用直尺和圆规找出它的圆心．（保留作图痕迹）．
【答案】（1）两次；（2）详见解析．
【分析】（1）由垂径定理可得，CD所在直线是直径的位置，再根据两个直径的交点即为圆心即可解答；
（2）连接AC、BC，分别作它们的垂直平分线其交点即为圆心．
【详解】解：（1）如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故：两次；
（2）在上任作一点，如图所示：
1．分别连接，．
2．分别作，的垂直平分线交于点，
则点即为所求．
【点睛】本题主要考查垂径定理的推论，掌握弦的垂直平分线经过圆心且平分这条弦所对的弧成为解答本题的关键．
50．如图，在的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，圆过格点，，请作出圆心；
（2）在图2中，⊙的两条弦，请作一个圆周角．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）如图3，连接AN、BM，通过圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径来确定圆心位置；
（2）连接BC、AD、BD，通过同（等）弧所对圆周角相等推出，进而推出．
【详解】（1）如图3，连接AN、BM交点O即为圆心
∵，
∴AN、BM是直径，
∴直径交点O就是圆心．
（2）如图4，连接BC、AD、BD
∵AB=CD，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故连接BD，则．

【点睛】本题考查确定圆心和确定圆弧圆周角等问题，解题的关键是圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径以及同（等）弧所对圆周角相等．
【拓展训练三 圆的最值问题（隐圆）】
51．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．
【答案】B
【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离.
根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案.
【详解】解：在矩形中，，，，
点分别是边上的两动点，且，点为的中点，
如图，连接
点在以为圆心，以为半径的圆上运动，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，
，
此时的值最小，
，，
，
的最小值为，
故选：B.
52．如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（ ）．
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，借助于圆解决线段的最值问题，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点，判定出，得出，确定点在上，然后利用勾股定理即可求出线段最小值．
【详解】解：如图所示，取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点，
在正方形中，
，
，
又，
，
,
，
，
∴点在上，
此时，时值最小，
由勾股定理得,
，
故选：A．
53．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线的性质，圆与直线，中位线的判定和性质，掌握中位线的判定和性质，圆与直线的关系是关键．
根据题意得到，如图所示，连接，，当的值最大时，的值最大，即当三点共线，点在之间时，的值最大，由勾股定理得到，则，由此即可求解．
【详解】解：抛物线与轴交于两点，
∴令，则，
解得，，
∴，
如图所示，连接，
∵点是中点，点是中点，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，即当三点共线，点在之间时，的值最大，
∵，，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，
故选：B ．
54．如图，矩形的边为上的点，是矩形内部一动点，且满足为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴点的运动路线为以为直径的圆，
作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，取点的中点，连接，
则，
∴，
∴的最小值为；
∵四边形是矩形，点是的中点，是的中点，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点关于直线的对称点，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴的最小值为，
故答案为：．
55．如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键．
根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值．
【详解】解：∵点E是边的中点，
∴，
∵以为折痕将折叠得到，
∴，
∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上，
∵，
∴当F在上时，有最小值，最小值为；
如图，过点E作交于延长线点H，连接，
∵在边长为4的菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴的最小值．
故答案为：．
1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在上
C．点在外 D．点在上或外
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
运用勾股定理得到，根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：点的坐标为，
∴，
∵的半径为，圆心的坐标为，
∴点与的位置关系是点在上，
故选：B ．
2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案．
【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，
圆的直径是，
圆的半径是．
故选：B．
3．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
4．（2025·山东威海·一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系．
由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可．
【详解】解：四边形是边长为2的正方形，
正方形的对角线的长为，
半径的长为，
∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，
∴阴影部分面积，
故选：A．
5．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为圆心，的长为半径作圆，是⊙O上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第33秒时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，圆的基本知识，坐标与图形，点的坐标规律探索，根据点A坐标可得的半径为1，则的周长为，故每4秒点C走一圈，则第33秒时，点C走了圈，此时点C的坐标为，过点D作轴于E，证明，得到，则，可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴的半径为1，
∴的周长为，
∵点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，
∴每4秒点C走一圈，
∵，
∴第33秒时，点C走了圈，
∴第33秒时，点C的坐标为，
∵点C的坐标为，，
∴，
如图所示，过点D作轴于E，
由旋转的性质可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根据题意得出动点轨迹是解题的关键．
根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段的最小值即可．
【详解】解：如图：连接，
∵点B和M关于对称，
∴，
∴M在以A圆心，5为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，最短，
∵在矩形中，，，
∴．
故选：D．
7．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则．
【详解】解：∵点在上，
∴点到圆心的距离为，
故答案为：．
8．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，圆的基本性质，连接，可证明，得到，由三角形外角的性质得到，再由得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．

【答案】
【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，

∴为圆心，
∴半径，
故答案为：
10．（2025·甘肃陇南·三模）已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
故答案为：24．
11．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是
【答案】/
【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：，
．
如图所示，，取的中点，连接，则，
点在以为直径的上，的半径为，
连接，则当点在线段上时，取得最小值，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
，即的最大值为，
故答案为：．
12．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，三角形的中位线和点与圆的位置关系，先求出点的坐标，计算出圆心的坐标，连接，取的中点，当点与点重合时，连接，得，则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，由勾股定理得，所以最小值为．
【详解】解：，
令，则，
解得，或，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴,
∴，
当时，，
∴，
∴,
连接，取的中点，则,
当点与点重合时，连接，如图，
∴是的中位线，
∴，
则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，如图，
由勾股定理得，，
∴的最小值为：，
故答案为：．
13．（2024·山东青岛·二模）已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图：角平分线与线段的垂直平分线，圆的相关性质，．根据题意，先作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可．
【详解】解：作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求．
理由：平分
到和的距离相等
垂直平分
是半径
即为的弦．
故即为所求．
14．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
【答案】大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析
【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可．
【详解】解：大圆的周长，两个小圆的周长和，
∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，
∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
【点睛】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．
15．（21-22六年级上·黑龙江大庆·期末）求阴影部分的周长．（单位：cm）（若涉及时不取近似值，用表示既可）
【答案】阴影部分的周长是厘米
【分析】由图可知，阴影部分的周长等于最大半圆周长与两个小半圆周长之和．
【详解】解：由题意得：大半圆半径为，两个小圆半径分别为 ，，
阴影部分的周长 （厘米）
答：阴影部分的周长是厘米．
【点睛】本题考查了认识平面图形，熟练掌握圆的周长计算公式是解题的关键．
16．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是的半径，点C在上，，求的度数．
【答案】的度数为
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，先根据半径相等得，再运用三角形内角和得，故，然后由得，即可作答．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
答：的度数为．
17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且．
(1)与相等吗？为什么？
(2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键．
（1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解；
（2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解，
【详解】（1）解：．
理由如下：
，
，
．
在和中，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
．
，，
，
，
，，
．
18．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数．
【答案】，．
【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的定义等知识．连接，根据，可得，结合，根据等边对等角以及三角形的外角性质求解．
【详解】解：连接，如图，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（2025·江苏南京·二模）从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为．
(1)当时，的值为 ．
(2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，；当时，．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、圆的基本概念等知识点，掌握圆的基本知识点成为解题的关键．
（1）如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，得到是等腰直角三角形，求出，然后利用求解即可．
（2）分3种情况，分别根据矩形的性质和圆的基本概念画出图形即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，
由题意得，是等腰直角三角形
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴；
（2）解：①如图：当时，最大半圆的半径为：；
②如图：当时，
根据题意得，四边形，，是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴
∴在中，
∴
整理得，
∴解得，或（舍）；
③如图：当时，最大半圆的半径为：；
综上，当时，；当时，；当时，．
20．（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形的边，．
(1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系；
(2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围．
【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上
(2)
【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
（1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴点在内，
∵，
∴点在上，
∵，
∴点在外；
（2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴的半径r的取值范围是．

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