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北师大版2024—2025学年八年级下册数学期末复习综合训练
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．在中，若，则下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A．B．C．D．
4．下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．分式中，当的值都扩大3倍时，分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．不变
6．已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．如图，在中，，，、相交于点O，交于E，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．周师傅要检验一个零件是否是平行四边形，用下列方法不能检验的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知函数与函数的图象相交于，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．以下四个说法：分式是最简分式；将分式中的，都扩大到原来的倍，分式的值不变；若分式的值为，则；若关于的方程无解，则的值是．正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．因式分解：a3﹣9ab2＝　 　 ．
12．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，4），（6，0），将△OAB沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到△DCE，若OE＝8，则点C的坐标为 　 　
13．阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于20%．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按　 　 折销售．
14．若关于x的不等式（2﹣a）x＜3可化为，则a的取值范围是　 　 ．
15．如图，在△ABC中，分别作AB、AC的垂直平分线，交BC于点D、E，垂足为F、G，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝　 　 度．
16．如图，在面积为12的△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为 　 　 ．
第II卷
北师大版2024—2025学年八年级下册数学期末复习综合训练
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来.
18．先化简：，再从﹣2，1，2中选择一个合适的值代入求值．
19．角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等．”是一条常用定理，灵活应用这个定理解决实际问题，往往能起到事半功倍的效果；如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）若CD＝6cm，求BC的长；
（2）判断AB、BC、CD之间的数量关系，并说明理由．
20．某校为了培养学生良好的阅读习惯，去年购买了一批图书．其中科技书的单价比文学书的单价多4元，用1800元购买的科技书与用1200元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和科技书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价提高到10元，科技书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共280本，且购买科技书和文学书的总费用不超过3000元，该校今年至少要购买多少本文学书？
21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若AD⊥BD，AC＝10，BD＝6，求DE的长．
22．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣5|﹣|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1．
23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，2），C（﹣2，0）．
（1）将△ABC沿x轴正方向平移8个长度单位得△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1），画出△A1B1C1；
（2）作△ABC关于原点中心对称的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2）；
（3）四边形A1B1A2B2的形状（填“是”或“不是”） 　 　 平行四边形；
（4）△ABC的面积＝　 　 ．
24．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+4分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线l2：y＝kx+2k（k≠0）与x轴相交于点C，与直线l1相交于点D，连接BC．
（1）分别求点A，B，C的坐标；
（2）设△BCD的面积为S1，△ACD的面积为S2，若，求直线l2的函数表达式；
（3）以BC，CD为边作 BCDE，连接CE，交BD于点F，分别取DE的中点M，BE的中点N，连接FM，FN，当FM+FN取得最小值时，求此时 BCDE的面积．
25．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．
例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，当x＝2时，2x﹣3＝2x2﹣3＝1，x+3＝2+3＝5＞0同时成立，则称“x＝2”是方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0的“理想解”．
（1）已知①x﹣＞，②2（x+3）＜4，③，试判断方程2x+3＝1的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”；
（2）若是方程x﹣2y＝4与不等式组的“理想解”，求x0+2y0的取值范围；
（3）当实数a、b、c满足a＜b＜c且a+b+c＝0时，x＝m恒为方程ax＝c与不等式组的“理想解”，求t、s的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D D D D B D D B
二、填空题
11．【解答】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．
故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．
12．【解答】解：∵B（6，0），
∴OB＝6，
∵OE＝8，
∴BE＝OE﹣OB＝2，
即△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度得到△DCE，
∵A（2，4），
∴点C的坐标为（4，4）．
故答案为：（4，4）．
13．【解答】解：设打x折销售，则售价为120×0.1x元，利润为（120×0.1x﹣80）元，
由题意得：120×0.1x﹣80≥80×20%，
解得x≥8，
∴此种商品可以按最多打8折销售，
故答案是：8．
14．【解答】解：∵不等式（2﹣a）x＜3可化为，
∴2﹣a＜0，
解得：a＞2，
故答案为：a＞2．
15．【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝110°﹣70°＝40°，
故选：40．
16．【解答】解：如图，连接PA，
∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC，
∴，
∵△ABC的面积为12，
∴，
∴AD＝4，
∵EF垂直平分AB，
∴PB＝PA，
∵P为直线EF上一动点，
∴PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥4，
∴BD+PB+PD＝BD+PA+PD≥BD+AD＝3+4＝7，
∴△PBD周长的最小值为7．
故答案为：7．
三、解答题
17.【解答】解：∵解不等式3x﹣1≤2（x+1）得：x≤3，
解不等式x+6＞2x得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤3，
在数轴上表示不等式组的解集是．
18.【解答】解：
，
∵x≠2，﹣2，
∴x＝1，
∴原式．
19.【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB于点E，则∠AED＝∠BED＝90°，
在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．
∴DE＝CD＝6cm，∠B＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE＝DE＝6cm，
∴BD（cm），
∴BC＝CD+BD＝（）cm；
（2）AB＝BC+CD，
理由：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC，
∵BE＝DE＝CD，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD＝BC+CD，
20.【解答】解：（1）设去年文学书单价为x元，则科技书单价为（x+4）元，根据题意得：
，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，
答：去年文学书单价为8元，则科技书单价为12元；
（2）设这所学校今年购买y本文学书，
根据题意得：10×y+12（280﹣y）≤3000，
y≥180，
∴y最小值是180；
答：该校今年至少要购买180本文学书．
21.【解答】（1）证明：连接DE，BF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∵DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴OD＝OB，OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴AE+OE＝CF+OF，
∴OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OCAC＝5，OB＝ODBD＝3，
∵AD⊥BD，
∴AD4，
∵DE⊥AC，
∴OA DE＝AD OD，
∴DE．
22．【解答】解：（1）解方程组得：，
∵x为非正数，y为负数，
∴，
解得﹣2＜m≤3；
（2）∵﹣2＜m≤3，
∴m﹣5＜0，m+2＞0，
则原式＝5﹣m﹣m﹣2＝3﹣2m
（3）由不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1，知2m+1＜0；
所以，
又因为﹣2＜m≤3，
所以，
因为m为整数，
所以m＝﹣1．
23.【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）∵△ABC沿x轴正方向平移8个长度单位得△A1B1C1，
∴AB∥A1B1，且AB＝A1B1，
∵△ABC与△A2B2C2关于原点中心对称，
∴AB∥A2B2，且AB＝A2B2，
∴A1B1∥A2B2，且A1B1＝A2B2，
∴四边形A1B1A2B2是平行四边形．
故答案为：是．
（4）△ABC的面积为1﹣1．
故答案为：．
24.【解答】解：（1）对于直线l：y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，﹣x+4＝0，
解得x＝4，
∴A（4，0），B（0，4），
对于直线 l2：y＝kx+2k（k≠0），
当y＝0时，kx+2k＝0，
解得：x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
故A（4，0），B（0，4），C（﹣2，0）；
（2）∵，
∴S1＞S2
①当点D在线段BA上时，
AC＝4﹣（﹣2）＝6，OB＝4，
∴12，
∴S2AC×yD＝3yD，
∴S1＝S△ABC﹣S2＝12﹣3yD，
∵，
∴，
解得yD＝1，
经检验：yD＝1是方程的解，
∴﹣x+4＝1，
解得x＝3，
∴D（3，1），
∴3k+2k＝1，
解得，
∴直线l2的函数表达式为：；
②当点D在线段BA的延长线上时，
3yD，
∴S1＝S△ABC+S2＝12﹣3yD，
∵，
∴3，
解得yD＝﹣2，
经检验yD＝﹣2是方程的解，
∴﹣x+4＝﹣2，
解得x＝6，
∴D（6，﹣2），
∴6k+2k＝﹣2，
解得，
∴直线l2的函数表达式为：；
综上所述：直线l2的函数表达式为：或；
（3）如图，作DH⊥x轴交于H，
由（1）得，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴CF＝EF，
∵N是BE的中点，M是DE的中点，
∴，，
∴FM+FN，
∴CD取最小值时，FM+FN取得最小值，当CD⊥AB时，CD取最小值，
∵OA＝OB＝4，
∴∠OAB＝45°，
∴，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴CD＝AD，
∴，
∴AH＝DH＝3，
∴，，
∴BD，
∴6；
∴S BCDE＝2S△BDC＝6；
故 BCDE的面积为6．
25．【解答】解：（1）方程2x+3＝1的解为x＝﹣1，
当x＝﹣1时，
①x﹣＞不成立；
②2（x+3）＜4不成立；
③成立；
∴方程2x+3＝1的解是的“理想解”；
（2）把代入x﹣2y＝4得x0﹣2y0＝4，
则x0＝2y0+4，
把x0＝2y0+4代入不等式组，得，
解得，，
∴﹣1＜2y0＜2，
∴3＜x0＜6，
∴2＜x0+2y0＜8；
（3）∵a＜b＜c且a+b+c＝0，
∴a＜0，c＞0，
把x＝m代入方程ax＝c中，得m＝＜0，
把x＝m代入不等式组得，
解得，，
∵x＝m恒为方程ax＝c与不等式组的“理想解”，
∴x＝m使恒成立，
∴t+s+1＜0≤，
∴s＜﹣t﹣1，且s≥﹣2t﹣4，或t＜﹣s﹣1，且t≥，
∴﹣t﹣1＞﹣2t﹣4，或﹣s﹣1，
解得，t＞﹣3，s＜2．
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