资源简介

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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临沧市凤庆县2024——2025学年第二学期高二年级期末复习
数学试题卷
考试范围：高中全部；考试时间：120分钟；满分：150分；
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，求与在上的投影长度的比值为( )
A. B. C. D.
4.如图，，，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，，，计划沿直线开通隧道，设，，的长度分别为，，为了测出隧道的长度，还需直接测出的值．
A. 和 B. 和 C. 和 D. ，，三者
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知是等比数列的前项和，则“，，依次成等差数列”是“，，依次成等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.已知双曲线：，点的坐标为，若上存在点使得成立，则的离心率取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数有三个零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若一组数据，，，的方差为，则所有数据都相同
B. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
C. 已知回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则
D. 已知一组数据为，，，，，，，，，，则它的第百分位数为
10.已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则( )
A. B. 事件与事件相互独立
C. D.
11.已知曲线：点，，则以下说法正确的是( )
A. 曲线关于原点对称
B. 曲线存在点，使得
C. 直线与曲线没有交点
D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，，且为等差数列，若，则 ______．
13.从名男生和名女生中任选人参加愿者活动，共有 种不同的选择方法，用表示所选人中女生的人数，则 ．
14.已知正方体的顶点都在表面积为的球面上，过球心的平面截正方体所得的截面为一菱形，记该菱形截面为，点是正方体表面上一点，则以截面为底面，以点为顶点的四棱锥的体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，．
若，，求的面积；
若，求的周长的取值范围．
16.本小题分
已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，在中，边的中点为当直线的倾斜角为时，有．
求的离心率；
若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点．
17.本小题分
在四棱台中，底面是边长为的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面．
证明：平面平面；
若点在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数在点处的切线与轴重合．
求函数的单调区间与极值
已知正项数列满足，，，记数列的前项和为，求证：．
19.本小题分
每年夏天都有大量游客来海边游玩为了合理配置旅游资源，文旅部门对来游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩每位游客若选择只游览海滨栈道，则记分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记分假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．
从游客中随机抽取人，记这人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求；
从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，或，
又，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
所以对应的点位于第一象限．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：已知，
则，
在上的投影长度为，
则与在上的投影长度的比值为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：先要测出，则可利用正弦定理求出，再可利用正弦定理求出，
最后由余弦定理求出，则需测出，才能求出．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由于，
所以，
两边取导数，故，
故，
令，故．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
由，，依次成等差数列可得，即，
由得，解得或，故或．
当时，，，，不满足，故必要性不成立；
由，，依次成等差数列，可得，
当时，，，，不满足，故，
，
，，，解得或舍．
当时，，，
，即，，依次成等差数列，故充分性成立．
综上可得，“，，依次成等差数列”是“，，依次成等差数列”的充分不必要条件．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设，可得，即有，
又，
化为
即有解，
可得，即，化为，
即，可得，解得．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：令，
则，两侧平方得，
即，
所以，
对于且，
有，
时，，
即在上单调递增，
时，，
即在上单调递减，
当时，有；当时，有；当时，有，
所以在上值域为，
在上值域为，
在上值域为；
当时，，
则有三个根，则，满足题设；
当时，，
可得或，共有两个零点，不合题设；
当时，或，且，
若，则，
即为其中的两个根，
此时，结合上述分析且有且仅有一个根，共有三个零点，满足题设；
若，则为其中的两个根，
而且有且仅有一个根为，
此时，一共只有两个零点，不满足题设；
若，则，
此时为其中一个根，
结合上述分析且有且仅有一个根，共有两个零点，不满足题设；
综上所述，的取值范围为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，根据方差的计算公式知，数据，，，的方差为时，所有数据都相同，选项A正确；
对于，若列联表中所有数据都缩小为原来的，则的值变为原来的，所以结论会发生改变，选项B错误；
对于，因为两个样本点和的残差相等，所以，所以，选项C正确；
对于，该组数据的第百分位数为，选项D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，，，
，，
，
，故A正确；
对于，由，可得，
即，
，即，
，
，
解得，
，即事件与事件相互独立，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：若，，
此时，
即，
此时曲线为双曲线的一部分；
若，，
此时，
即，
此时曲线为椭圆的一部分；
若，，
此时，
即，
此时曲线为双曲线的一部分；
若，，
此时，无解，
所以曲线如下所示：
由图可知，曲线不关于原点对称，故选项A错误；
当点在第一象限时，，为双曲线：的焦点，
由双曲线的定义可知，故选项B正确；
因为为第一象限图象和第三象限图象的渐近线，
所以直线与曲线没有交点，故选项C正确；
设为曲线上第三象限的点，
此时，
则点到直线与的距离之积为，故选项D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，为等差数列，设其公差为，
由于，则其首项，
又由，则，变形可得，
则有，即，
则，变形可得，
则．
故答案为：．
13.【答案】

【解析】【分析】从人中选人，利用组合数计算即可求解不同的选择方法；随机变量随机的所有可能的取值为，，分别求出其对应的概率，列出分布列，即可求得期望．
【解答】解：从名男生和名女生中任选人参加愿者活动，共有种不同的选择方法，
的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：


故答案为：；．
14.【答案】
【解析】解：设球的半径为，
则球的表面积为，解得，
所以，
第一种情况，经过球心平行于上下两面时，此时的体积最大值为；
第二种情况如图，由题意可知，要使过球心平面截正方体截面为菱形，
则该截面必过正方体相对两棱中点，不妨取图中，中点分别为，，
设该截面与及的交点分别为，，易得平面，
由图可以看出当点与点或点重合时四棱锥的高最大，
思路一：如图二，，
而，则；
思路二：如图，过作于，设与底面夹角为，则．
，
综上所述，体积的最大值为．
故答案为：．
15.【答案】；
．
【解析】因为，
所以由正弦定理可得：，即，
由余弦定理可得，
因为，所以，
因为，所以，
所以，解得，
因为，所以，
所以；
由知，
所以由正弦定理可得：，
所以，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以
所以
所以
所以的周长的取值范围．
16.【答案】；
过定点，证明见解析．
【解析】解：已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，在中，边的中点为，
设，则，
当直线的倾斜角为时，，所以，故的横坐标为，
代入的方程，得，则，则，
因，则，即，解得负值舍去，
故的离心率为．
证明：由可知，，
因直线不与轴平行，故设直线：，设，，
联立，得，
则，
因为，且是线段的中点，则，
所以，即，
，，
所以，
即，
即
即，
得，解得或，
若，则直线：，过点，不符合题意；
若，则直线：，满足，则过定点，
则直线过定点．
17.【答案】证明见解答； ； ．
【解析】证明：平面，平面，平面平面，
，
连接，连接，，，
在四棱台中，平面平面，平面平面，
且平面平面，
，
又由题意知，
四边形是等腰梯形，
，同理，，平面，
底面是菱形，，平面，
，则；
菱形的边长为，，，，
，四边形是平行四边形，，
，，
，
，
过的平面分别交，于点，，
平面，又平面，
平面平面；
由知平面，且，
以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，，，
，
由知且平面，，
又在等腰梯形中，
，，
平面，
平面的一个法向量即为，，
设，，
，
，
设直线与平面所成角为，
则，
当时取最大值，
此时；
设，，
设平面的法向量为，
，
令，则，，
，
设，，，
，，，
，，
又在上，设，即，
，，
，，
设平面的法向量为，
，
令，则，，
，
，
平面与平面夹角的余弦值．
18.【答案】解：，，
由题意得：，，即，
，
当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，有极大值，无极小值．
证明：由可得：，，
等价变形为，即，当且仅当时取等号，
代入题干中可得：，
，
即，
当时，，
经检验得：，，
，由可令得：，
．
19.【答案】分布列见解析，；
；
是，．
【解析】的可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列如下表所示：
；
由这人的合计得分为分，得其中只有人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，
于是，令数列的前项和为，
则，
于是，
两式相减得
，
因此，
所以；
在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取人，
则这些人的合计得分可能为分或分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，
则，，，
即，
由，得，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，
因此，
随着的无限增大，无限趋近于，无限趋近于．
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