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第一章
1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.
4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　直线的倾斜角
定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按
　　　　　方向绕着交点旋转到和直线l　　　　　　　所成的角,称为直线l的倾斜角.
规定:当直线l和x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为　　
记法 α
图示
逆时针
首次重合时
0
范围 　　　
作用 (1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度. 相对于x轴而言
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及直线的倾斜角,二者缺一不可
名师点睛
倾斜角还可以这样定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α称为直线l的倾斜角;并规定,与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.对于平面直角坐标系中的每一条直线l,都有唯一确定的倾斜角α与之对应.
[0,π)
思考辨析
在平面直角坐标系中,经过原点且倾斜角为 的直线有几条
提示 有且仅有一条.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若直线的倾斜角为α,则0°≤α≤180°.(　　)
(2)只知道一条直线的倾斜角不能确定这条直线.(　　)
(3)直线在平面直角坐标系中平移不改变其倾斜角. (　　)
×
√
√
2.[人教B版教材习题]分别写出下列直线的倾斜角:
(1)垂直于x轴的直线;
(2)垂直于y轴的直线;
(3)第一、三象限的角平分线;
(4) 第二、四象限的角平分线.
提示 (1)90°.
(2)0°.
(3)45°.
(4)135°.
知识点2　直线的斜率
在直线l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),则称
_____________________为经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率.
显然,若直线l垂直于x轴,则它的斜率不存在;若直线l不与x轴垂直,则它的斜率存在且唯一,因此,我们常用斜率来表示直线的　　　　　　.
倾斜程度
名师点睛
1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直.
2.斜率的大小与两点P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.
3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成 ,即下标的顺序一致.
思考辨析
如图,直线l(不垂直于x轴)上两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2).记Δx=x2-x1(Δx≠0), Δy=y2-y1.在直线l上点P1平移到点P2,则高度的平均变化率是
多少
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何一直线都有斜率和倾斜角.(　　)
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.(　　)
(3)直线的斜率小于0时,该直线的倾斜角一定为钝角.(　　)
(4)直线的斜率等于0时,该直线的倾斜角一定为直角. (　　)
×
×
√
×
2.[人教B版教材习题]已知经过A(a,-1),B(2,a+1)的直线的斜率为3,求实数a的值.
3.[人教A版教材习题]求经过下列两点的直线的斜率.
(1)C(18,8),D(4,-4);
(2)P(0,0),Q(-1,3).
知识点3　直线斜率与倾斜角的关系
1.斜率与倾斜角的关系
由正切函数的概念可知,倾斜角不是 的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满
足k=　　 　.
　 　　
2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 α=0 0<α< 　　　 <α<π
斜率 　 k>0 不存在 　 　
斜率 变化 规律 定值 直线逆时针旋转,倾斜角α在0至 间逐渐增大,斜率也逐渐增大,且恒为正数 不存在 直线逆时针旋转,倾斜角α在 至π间逐渐增大,斜率也逐渐增大,且恒为负数
k=0
k<0
思考辨析
对于两条倾斜角不为 的直线,若它们的倾斜角相等,则它们的斜率就相等吗 反之,若它们的斜率相等,则它们的倾斜角相等吗
提示 倾斜角不为 的两条直线,若它们的倾斜角相等,则它们的斜率也相等;反之也成立.
自主诊断
1.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A.(4,2)与(-4,1)
B.(0,3)与(3,0)
C.(3,-1)与(2,-1)
D.(-2,2)与(-2,5)
D
解析 只有在选项D中,因为两个点的横坐标都是-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,其斜率不存在.
2.一条直线的斜率等于 ,则此直线的倾斜角等于　　　　.
30°　
3.[人教B版教材习题]已知A(-1,-3),B(0,-1),C(1,2),D(3,5),则A,B,C共线吗 A,B,D呢
知识点4　直线的斜率与方向向量的关系
在直线l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2).由平面向量的知识可知,向量 是直线l的　　　　　　,它的坐标是(x2-x1,y2-y1),直线的倾斜角α、斜率k、方向向量 分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度.它们之间的关系是 =tan α(其中x1≠x2).
若k是直线l的斜率,则　　　　是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0,则它的斜率k=　　　.
方向向量
v=(1,k)
名师点睛
1.如果a为直线l的一个方向向量,那么对于任意的实数λ≠0,向量λa都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定共线.
2.如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则 =(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量.
3.一般地,已知a=(u,v)是直线l的一个方向向量,直线l的倾斜角为θ,则:
(1)当u=0时,显然直线的斜率不存在,θ=90°.
(2)当u≠0时,直线l的斜率存在,且为k,则(1,k)与a=(u,v)都是直线l的方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u,从而
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
一般地,已知a=(u,v)是直线l的一个方向向量,直线l的倾斜角为θ,则:
(1)当u=0时,直线的斜率不存在,θ=90°.(　　)
(2)当u≠0时,直线l的斜率存在,且为k,则(1,k)与a=(u,v)都是直线l的方向向量.
(　　)
√
√
2.[人教B版教材习题]已知直线l经过点A(-2,0)与B(-5,3),求直线l的一个方向向量、斜率k与倾斜角θ.
3.[人教A版教材习题]经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),求k的值.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　直线的倾斜角
【例1】 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(　　)
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
D
解析 根据题意,画出图形,如图所示.
因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,所以不合题意.由图,
可知
当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;
当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.
规律方法　求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0;当直线与x轴垂直时,倾斜角为 .②注意直线倾斜角α的取值范围是[0,π).
变式训练1
已知直线l1的倾斜角为α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°,直线l2与x轴
交于点B,如图所示,求直线l2的倾斜角.
解 ∵α1=15°,l1与l2向上的方向之间所成的角为120°,
∴直线l2的倾斜角为120°+15°=135°.
探究点二　　直线的斜率
【例2】 已知A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三点,这三点　　　　　(填“在”或“不在”)同一条直线上.
在
规律方法　1.用斜率公式解决三点共线的方法
2.解决斜率取值范围问题的基本方法——数形结合
斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的.因此,可以由倾斜角的变化得出斜率的变化.解决这类问题时,可利用数形结合思想直观地判断直线的位置.
变式训练2已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2, +1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD斜率k的取值范围.
(2)如图,当斜率k变化时,直线CD绕点C旋转,当直线CD由直线CA按逆时针方向旋转到直线CB时,直线CD与线段AB恒有交点,即点D在线段AB上,此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为
探究点三　　倾斜角和斜率的应用
【例3】 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围;
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
(1)要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
规律方法　倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度,二者相互联系.
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
变式训练3已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的取值范围.
(2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的取值范围是
探究点四　　直线的斜率与方向向量的关系
【例4】 已知直线l经过点A(1,2),B(4,5),求直线l的一个方向向量,并确定直线l的斜率与倾斜角.
解 =(4-1,5-2)=(3,3)是直线l的一个方向向量,因此直线l的斜率k=1,直线l的倾斜角θ满足tan θ=1,从而可知θ=45°.
变式训练4已知直线l经过点M(3,3)和N(2,3+ ),求直线l的一个方向向量,并求直线l的斜率和倾斜角.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.若过两点M(3,y),N(0, )的直线的倾斜角为150°,则y的值为(　　)
B
1
2
3
4
5
2.已知直线l1的斜率为 ,直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则直线l2的斜率为(　　)
D
1
2
3
4
5
3.已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角的取值范围是　　　　　　.
1
2
3
4
5
4.已知直线l上的两个点M(1,2),N(5,4),则直线l的一个方向向量的坐标为　 .
(4,2)(答案不唯一)
1
2
3
4
5
5.[2024江苏无锡月考]若点A(1,-1),B(-2,a),C(0,-3)三点共线,则a=　　　　.
-7
本 课 结 束

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