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第一章
1.3　第1课时　直线方程的点斜式、斜截式
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程.
2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.
3.会用直线方程的点斜式与斜截式解决直线的平行与垂直问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　直线方程的点斜式
1.直线的方程
一般地,如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解,并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为　　　　　　　.
2.直线方程的点斜式
已知直线l经过点P(x0,y0),且斜率为k,设Q(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点,因为点P,Q都在直线l上,所以 ,即　　　　　　　,称为直线方程的点斜式.
直线l的方程
y-y0=k(x-x0)
名师点睛
1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.
2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴所在直线方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴所在直线方程是x=0.
思考辨析
已知直线l经过点P(0,3),且斜率k=2,Q(x,y)为直线l上的任一点,试推导x,y满足的关系式.
提示 当点Q与点P不重合时,有 =2,即y=2x+3;当点Q与点P重合时,把P(0,3)代入y=2x+3,式子成立,故x,y满足的关系式为y=2x+3.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)y轴所在直线方程为y=0.(　　)
(2)直线y-10=k(x+6)恒过定点(-6,10).(　　)
(3)经过点P0(x0,y0)的所有直线都能用直线方程的点斜式来表示.(　　)
×
√
×
2.[2024四川绵阳期末]已知直线l过点(1,1),且倾斜角为90°,则直线l的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.x+y=1 B.x-y=1
C.y=1 D.x=1
D
解析 因为直线l的倾斜角为90°,所以该直线斜率不存在,与x轴垂直,又因为直线l过点(1,1),所以直线l的方程为x=1.故选D.
3.[人教A版教材习题]写出下列直线的点斜式方程.
(3)y-3=0.
知识点2　直线方程的斜截式
若直线l经过点(0,b)且斜率为k,则点斜式中的点P(x0,y0)就可以为点(0,b),所以该直线方程的点斜式为y-b=k(x-0),即y=kx+b.该方程中的k为直线l的斜率,b为直线l在y轴上的　　　　.称y=kx+b为直线方程的斜截式.
注意与一次函数的区别
名师点睛
1.直线方程的斜截式是直线方程的点斜式的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,在y轴上的截距为-1.
截距
思考辨析
直线l过点P(0,b)且斜率为k,如何表示直线l的方程
提示 根据直线方程的点斜式有y-b=k(x-0),即y=kx+b.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.(　　)
(2)直线y=kx-b在y轴上的截距为b.(　　)
(3)斜率相等,在y轴上的截距相等的两直线重合.(　　)
×
×
×
2.[人教B版教材习题改编]根据下列直线方程,分别求出直线的斜率及在y轴上的截距.
(1)y-2=x+1;
(2)y+4= (x-2);
(3)4x+y-3=0.
3.[人教B版教材习题]写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率是 ,在y轴上的截距是-2;
(2)斜率是-2,在y轴上的截距是4.
(2)y=-2x+4.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　直线方程的点斜式
【例1】 写出下列直线方程的点斜式.
(1)经过点(2,5),倾斜角为45°;
(2)直线l经过点(1,1),且l的一个方向向量为(1,2);
(3)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;
(4)经过点D(1,1),且与x轴垂直.
解 (1)因为倾斜角为45°,所以斜率k=tan 45°=1,且过点(2,5),所以直线的方程为y-5=x-2.
(2)由题意,得直线l的斜率为2,又l过点(1,1),所以直线l的点斜式方程为 y-1=2(x-1).
(3)由题意知,直线的斜率k=tan 0°=0,
所以直线方程的点斜式为y-(-1)=0,即y+1=0.
(4)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线方程没有点斜式.
规律方法　求直线的点斜式方程的步骤
[注意]当斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为x=x0.
变式训练1求满足下列条件的直线方程的点斜式.
(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;
(2)过点P(3,-4),且与x轴平行;
(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
解 (1)∵直线过点P(-4,3),斜率k=-3,由直线方程的点斜式得直线方程为
y-3=-3(x+4).
(2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为
y-(-4)=0×(x-3),即y+4=0.
(3)过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率
又直线过点P(-2,3),
∴直线方程的点斜式为y-3=-(x+2).
探究点二　　直线方程的斜截式
【例2】 已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.
(1)求直线l的方程;
(2)当m为何值时,直线过点(1,1)
解 (1)利用直线方程的斜截式,可得方程为y=2x+m.
(2)将点(1,1)代入直线y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.
变式探究1将本例的条件“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,如何求直线的方程
解 直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0),又已知直线的斜率为2,则由直线方程的点斜式,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m.
变式探究2本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1
规律方法　求直线的斜截式方程的策略
(1)直线方程的斜截式是点斜式的特殊情况,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线方程的斜截式y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可.
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.
变式训练2求满足下列条件的直线方程的斜截式.
(1)在y轴上的截距为-6,且与y轴的夹角为30°;
(2)过点(2,3),(0,2).

学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.[2023广东广州空港实验中学高二期末]经过点(1,0),倾斜角为150°的直线方程是(　　)
C
1
2
3
4
5
2.方程y=k(x-2)表示(　　)
A.过点(-2,0)的所有直线
B.过点(2,0)的所有直线
C.过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.过点(2,0)且除去x轴的所有直线
C
解析 易验证直线过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x轴.
1
2
3
4
5
B
1
2
3
4
5
4.(多选题)若AC<0,BC<0,则直线Ax+By+C=0经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
ABD
解析 ∵BC<0,∴B≠0.
则将Ax+By+C=0化为斜截式:
∵AC<0,BC<0,∴AB>0,
∴直线斜率小于0,在y轴上的截距大于0.
故直线经过第一、二、四象限.
1
2
3
4
5
5.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是　　　　.
(-1,2)
本 课 结 束

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