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(共37张PPT)
第五章
1.1　分类加法计数原理　1.2　分步乘法计数原理
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.通过实例,了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其意义.
2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　分类加法计数原理
1.内容:完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有
N=　　　　　　　　种方法.(也称“加法原理”)
2.特点:①完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不交;
　 分类标准明确,做到不重不漏
②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;③把各类的方法数　　　　　,就可以得到完成这件事的所有方法数.
m1+m2+…+mn
相加
名师点睛
1.定性:(1)明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)怎样才算完成这件事;(3)完成这件事可以有哪些办法.
2.独立性:(1)完成这件事的n类办法是相互独立的;(2)每一类办法中的方法都可以单独完成这件事,不需要用到其他的方法.
3.分类:这是利用分类加法计数原理解题的关键,分类必须明确标准,(1)每一种方法都必须属于某一类,不同类的任意两种方法是不同的;(2)每一类中的任意两种方法也不相同.
思考辨析
从甲地到乙地,可以乘飞机,可以乘火车,也可以乘轮船,还可以乘汽车.每天有4个班次的飞机,有5个班次的火车,有3个班次的轮船,有2个班次的汽车.那么,乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地,在一天中共有多少种选择呢
提示 所有方法可以分成乘飞机、火车、轮船、汽车4类办法,每类办法中分别有4,5,3,2种方法.于是,乘坐以上交通工具从甲地到乙地,共有4+5+3+2=14(种)方法.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(　　)
(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.(　　)
×
√
2.[人教B版教材例题]某班班委由2位女同学、3位男同学组成,现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动,要求至少要有1位女同学参加,则不同的选法共有多少种
解 按照选择的女同学人数分为两种情况,即2位都是女同学和只有1位女同学.
2位都是女同学的选法显然只有1种.
只有1位女同学的选法,可以分为两步完成:先从2位女同学中选出1人,有2种选法;再从3位男同学中选出1人,有3种选法.依据分步乘法计数原理,共有不同的安排方法2×3=6(种).
依据分类加法计数原理,不同的选法共有6+1=7(种).
3.[人教A版教材习题]一个商店销售某种型号的电视机,其中本地的产品有4种,外地的产品有7种.要买1台这种型号的电视机,有多少种不同的选法
解 这件事情是“买1台某种型号的电视机”,根据分类加法计数原理,选法有4+7=11(种).
知识点2　分步乘法计数=原理
1.内容:完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N=　　　　 种方法(也称“乘法原理”).
2.特点:①完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;②完成每一步有若干方法;③把各个步骤的方法数　　　　,就可以得到完成这件事的所有方法数.　　
这n个步骤都要完成
m1·m2·…·mn
相乘
名师点睛
1.定性:(1)明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)要经过几步才能完成这件事.
2.相关性:(1)完成这件事需要分成若干个步骤;(2)只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少任一步骤,这件事都不可能完成.
3.分步:这是利用分步乘法计数原理解题的关键,(1)准确确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同;(2)要注意各步骤之间必须连续;(3)各步骤之间既不能重复,也不能遗漏.
思考辨析
某幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果.王老师的果篮里有草莓、苹果、芒果3种水果.李老师的果篮里有苹果、樱桃、香蕉、猕猴桃4种水果.小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果.小华拿到两种不同的水果的情况有多少种
提示 分两种情况:
①小华拿到的水果里没有苹果,则在王老师的果篮里有2种选法,在李老师的果篮里有3种选法,共有2×3=6(种)选法;
②小华拿到的水果里有苹果,再分苹果来自王老师还是李老师的果篮,共有1×3+2×1=5(种)选法,
由分类加法计数原理知,共有6+5=11(种)选法.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　)
(2)在分步乘法计数原理中,事情若是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成.(　　)
√
√
2.一个袋子里放有6个球,另一个袋子里放有8个球,每个球各不相同,从两个袋子里各取一个球,共有　　　　种不同的取法.
48
解析 由分步乘法计数原理知,共有6×8=48(种)不同的取法.
3.[人教A版教材习题]由数字1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)
解 分3步来解决.由于各位上的数字可重复,因此三位数中每一位都有5种取法,所以共可以组成5×5×5=125(个)三位数.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　分类加法计数原理
【例1】 个位数字比十位数字大的两位数有多少个
解 (方法一)按个位数字分类,有以下几类:
个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,故有8个;
个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,故有7个;
同理,个位是7的有6个;
个位是6的有5个;
……
个位是2的有1个.
由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).
(方法二)按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).
规律方法　分类加法计数原理的示意图
集合S共有m1+m2+…+mn个元素
完成事件S共有m1+m2+…+mn种方法
变式训练1若a,b均属于{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解,则有序数对(a,b)的个数为(　　)
A.14 B.13 C.12 D.10
B
解析 因为a,b均属于{-1,0,1,2},可分为两类:①当a=0时,b可能为-1或0或1或2,即b有4种不同的选法;②当a≠0时,依题意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.当a=-1时,b有4种不同的选法;当a=1时,b可能为-1或0或1,即b有3种不同的选法;当a=2时,b可能为-1或0,即b有2种不同的选法.根据分类加法计数原理,有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.
探究点二　　分步乘法计数原理
【例2】 (1)已知x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},则xy可表示不同的值的个数为
(　　)
A.8 B.9 C.10 D.12
B
解析 x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},从x中选1个值,从y中选1个值,共有3×3=9(种)运算结果,且没有相同的运算结果.
★(2)[苏教版教材习题]3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本,共有多少种不同的选法
分析3名同学选电子书,每名同学依次选电子书要分3步进行.每名同学选电子书都有5种不同的选法.
解 第一名同学选1本电子书有5种不同的选法,第二、第三名同学各选1本电子书,仍各有5种不同的选法.因此,根据分步乘法计数原理,3名同学每人各选1本电子书的不同选法种数是5×5×5=125.
规律方法　利用分步乘法计数原理的解题流程
变式训练2(1)现有3名教师、8名男学生和5名女学生共16人.若需1名教师和1名学生参加评选会议,则不同的选法种数为(　　)
A.39 B.24 C.15 D.16
A
解析 先从3名教师中任选1名,有3种选法,再从13名学生中任选1名,有13种选法.由分步乘法计数原理知,不同的选法种数为3×13=39.
★(2)给一些书编号,准备用3个字符,其中首字符用A,B,后两个字符用a,b,c(允许重复),则不同编号的书共有(　　)
A.8本 B.9本
C.12本 D.18本
D
解析 需分三步完成:第一步,首字符有2种编法;第二步,第二个字符有3种编法;第三步,第三个字符有3种编法,故由分步乘法计数原理知不同编号的书共有2×3×3=18(本).
探究点三　　两个计数原理的综合应用
【例3】 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法
解 (1)从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14(种)不同的选法.
(2)从国画、油画、水彩画各选一幅,分别有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70(种)不同的选法.
(3)第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10(种)不同的选法;
第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35(种)不同的选法;
第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14(种)不同的选法.
所以共有10+35+14=59(种)不同的选法.
规律方法　1.在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,关键是看能否独立完成这件事,避免计数的重复或遗漏.
2.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.
3.明晰两个原理,进行正确运算,体现了数学运算的核心素养.
变式训练3集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从A,B中各取1个元素,作为点P(x,y)的坐标.
(1)可以得到多少个不同的点
(2)这些点中,位于第一象限的有几个
解 (1)可分为两类:A中元素为x,B中元素为y或A中元素为y,B中元素为x,则共得到3×4+4×3=24(个)不同的点.
(2)第一象限内的点,即x,y均为正数,所以只能取A,B中的正数,共有2×2+2×2=8(个)不同的点.
学以致用·随堂检测促达标
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1.已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法种数是(　　)
A.16 B.13 C.12 D.10
C
解析 根据题意,将4个门编号为1,2,3,4,
从1号门进入后,有3种出门的方式,共3种走法,
同理,从2,3,4号门进入,同样各有3种走法,
共有不同走法3×4=12(种),故选C.
5
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2.某体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,小李到体育场看比赛,则他进、出门的方案有(　　)
A.12种 B.7种
C.14种 D.49种
D
解析 完成进、出体育场门这件事,需要分两步,第一步进体育场,第二步出体育场.第一步进门共有4+3=7(种)方法,第二步出门共有4+3=7(种)方法.由分步乘法计数原理知,进、出门的方案有7×7=49(种).
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3.在5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员的选法有　　　　种.(用数字作答)
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解析 分为两类:第一类有2名老队员、1名新队员,有3种选法;第二类有2名新队员、1名老队员,有2×3=6(种)选法,即共有9种不同的选法.
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4.用1,2,3这3个数字可以组成没有重复数字的整数　　　　个.
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解析 分三类:第一类为一位整数,有3个;第二类为两位整数,有12,21,23,32,13,31,共6个;第三类为三位整数,有123,132,231,213,321,312,共6个,所以由分类加法计数原理知共可组成没有重复数字的整数3+6+6=15(个).
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5.将3封信投入6个信箱内,不同的投法有　　　　　种.
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本 课 结 束

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