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(共41张PPT)
第五章
1.3　基本计数原理的简单应用
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.能根据实际问题的特征,正确选择基本计数原理解决实际问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
根据问题情况合理选择两种原理
1.两个原理的内容
原理名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
任务 完成一件事 步骤 完成它有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法 完成它需要经过n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法
结果 完成这件事共有 　　　 　　种不同的方法 完成这件事共有　 　　　　种方法
m1+m2+…+mn　
m1·m2·…·mn
2.两个计数原理的区别与联系
原理名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 区别一 分类加法计数原理针对的是“分类”问题 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题
区别二 各种方法互相独立 各个步骤互相依存
区别三 任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事
名师点睛
分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类.一般地,标准不同,分类的结果也不同.
分步时,首先确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同.
对于较复杂问题,往往要先分类,后分步.
思考辨析
利用多项式的乘法法则探索(a1+a2)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4)的展开式中有多少项
提示 可以直接展开后进行统计,最后得出结论;也可以用分步乘法计数原理,分三步:
第一步,从第一个因式中取一个因子,有2种取法;
第二步,从第二个因式中取一个因子,有3种取法;
第三步,从第三个因式中取一个因子,有4种取法.
则此多项式的展开式中有2×4×3=24(项).
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)分类加法计数原理是指将完成这件事的所有方式进行分类,每一类都能独立完成该事件.(　　)
(2)分步乘法计数原理是指将完成这件事分解成若干步骤,当完成所有的步骤时,这个事件才算完成.(　　)
(3)当一个事件既需要分步又需要分类时,分步和分类没有先后之分.(　　)
(4)当计数时,若正面分类,种类比较多,而问题的反面种类比较少时,使用间接法会简单一些.(　　)
√
√
×
√
2.[人教A版教材习题]在1,2,…,500中,被5除余2的数共有多少个
解 被5除余2的数的末位是2或7,在1,2,…,500中符合题意的数分为3类:
第1类:一位数,只有2,7两个数;
第2类:两位数,个位数有2,7两种取法,十位数有9种取法,共有2×9=18(个)数;
第3类:三位数,个位数有2,7两种取法,十位数有10种取法,百位数可以为1,2,3,4,共4种取法,所以共有2×10×4=80(个)数.
由分类加法计数原理,在1,2,…,500中,被5除余2的数共有2+18+80=100(个).
3.[人教A版教材习题] 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,不同报法的种数是34还是43
解 一件事情是“4名同学分别参加3个运动队中的一个,每人限报其中的一个运动队”,应该是人选运动队,完成“这件事”是指给4名同学逐一选择运动队,分四步完成.根据分步乘法计数原理,不同报法种数是3×3×3×3=34.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　排数问题
【例1】 用0,1,2,3,4五个数字:
(1)可以排成多少个三位数的电话号码
(2)可以排成多少个三位数
(3)可以排成多少个能被2整除且无重复数字的三位数
解 (1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125(种)排法.
(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5=100(种)排法.
(3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12(种)排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18(种)排法.因而有12+18=30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
变式探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数
解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第二步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个,有3种方法;第三步,第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×2=36(个).
规律方法　对于组数问题,应掌握以下原则:
(1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.
(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.
变式训练1(1)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有　　　　　个.(用数字作答)
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解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以符合题意的四位数有24-2=14(个).
(2)我们把各数位上数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013),则“六合数”中首位是2的有　　　　　个.
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解析 设满足题意的“六合数”为“2abc”,则a+b+c=4,于是满足条件的a,b,c可分以下四种情况:
①一个为4,两个为0,共3种;
②一个为3,一个为1,一个为0,共有3×2×1=6(种);
③两个为2,一个为0,共有3种;
④一个为2,两个为1,共有3种.
则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15个.
探究点二　　抽取(分配)问题
【例2】 (1)有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学,在数学考试中,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法种数是(　　)
A.11 B.10
C.9 D.8
C
解析(方法一)设四个班级分别是A,B,C,D,它们对应的老师分别是a,b,c,d,设a监考B,则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级,共有3种不同的方法;同理当a监考C,D时,剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法.这样,由分类加法计数原理知共有3+3+3=9(种)不同的安排方法.
(方法二)让老师a先选,可从B,C,D三个班级中选一个,即有3种选法.若选的是B,则b从剩下的3个班级中任选一个,也有3种选法,剩下的两个老师都只有一种选法,根据分步乘法计数原理知,共有3×3×1×1=9(种)不同安排方法.
(2)从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有(　　)
A.280种 B.240种
C.180种 D.96种
B
解析 由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.
后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240(种)选派方案.
规律方法　(抽取)分配问题的常见类型及其解法
(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.
(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若按对象特征抽取的,则按分类进行.
②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
变式训练2将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A,B两家医院(每人去一家,每家医院至少安排1人),且甲医生不安排在A医院,则共有
　　　　　种分配方案.
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解析 根据题意,甲医生不安排在A医院,则甲只能去B医院,则分3类:
①甲单独在B医院,则剩下3人去A医院,有1种安排方法;
②甲和其中1人在B医院,则剩下2人去A医院,有3种安排方法;
③甲和其中2人在B医院,则剩下1人去A医院,有3种安排方法,则一共有1+3+3=7(种)分配方案.
探究点三　　涂色问题
★【例3】 (1)[2024陕西汉中期末]如图,现在用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色,要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色,则不同的着色方法有　　　　种.
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解析 首先给①着色,有4种方法,再给②着色,有3种方法,再给③着色有2种方法,最后给④着色,有2种方法,根据分步乘法计数原理知共有4×3×2×2=48(种)方法.
(2)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法
1 2
3 4
解 第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.
①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×12×3=180(种)不同的涂法.
②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80(种)不同的涂法.
由分类加法计数原理可得共有180+80=260(种)不同的涂法.
变式探究本例3(2)中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则共有多少种不同的涂法
① ② ④
③ 解 依题意,可分两类情况:①④不同色;①④同色.
第一类:①④不同色,则①②③④所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成4步来完成.
第一步涂①,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;
第二步涂②,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;
第三步涂③与第四步涂④时,分别有3种涂法和2种涂法.
于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法为5×4×3×2=120(种).
第二类:①④同色,则①②③不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.
第一步涂①④,有5种涂法;第二步涂②,有4种涂法;第三步涂③,有3种涂法.
于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有5×4×3=60(种).
综上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(种).
规律方法　1.涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图形很不规则,往往从某一块出发进行分步涂色,从而选用分步乘法计数原理;如果图形具有一定的对称性,那么先对涂色方案进行分类,每一类再进行分步.
2.把涂色问题转化为两个基本计数原理的综合应用,体现了数学抽象的核心素养.
变式训练3(1)[2024广东深圳月考]电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色,每种颜色的色号有256种.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色,那么在电脑上可配成的颜色种数为(　　)
A.2563 B.27
C.2553 D.6
A
解析 分3步取色,第一、第二、第三步都有256种取法,根据分步乘法计数原理得,共可配成256×256×256=2563(种)颜色.故选A.
★(2)如图,一个地区分为5个区域,现给5个区域涂色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的涂色方法共有　　　　种.
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解析 先给①②③号区域涂色,分别有4种,3种和2种涂色方法,再给④号和⑤号区域涂色,当④号与②号同色时,④号有1种涂色方法,⑤号有2种涂色方法;当④号与②号不同色时,④号有1种涂色方法,⑤号有1种涂色方法,共有4×3×2×(1×2+1×1)=72(种)涂色方法.
探究点四　　种植问题
【例4】 将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有　　　种.
42
解析 分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c.
(1)若第三块田放c:
a b c
(2)若第三块田放a:
第四块有b或c两种方法,
①若第四块放c:
第五块有2种方法;
②若第四块放b:
第五块只能放c,共1种方法.
综上,共有3×2×(2×2+2+1)=42(种)方法.
a b a
a b a c
a b a b
规律方法　按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分“分类”与“分步”的关键,是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种方法都完成了这件事情,而分步中的每一种方法不能完成这件事情,只是向事情的完成迈进了一步.
变式训练4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法.
解 (方法一　直接法)若黄瓜种在第一块土地上,则有3×2×1=6(种)不同种植方法.
同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有3×2×1=6(种)不同种植方法.故不同的种植方法共有6×3=18(种).
(方法二　间接法)从4种蔬菜中选出3种,种在三块地上,有4×3×2=24(种),其中不种黄瓜有3×2×1=6(种),故共有不同种植方法24-6=18(种).
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
1.某校教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,一学生由一层到五层的走法种数为(　　)
A.10 B.25 C.52 D.24
D
解析 共分4步,一层到二层2种走法,二层到三层2种走法,三层到四层2种走法,四层到五层2种走法,一共24=16(种)走法.
1
2
3
4
2.小丽有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裤子,另有2套不同样式的连衣裙,需选择一套服装参加“五一”劳动节歌舞演出,则不同的选择方案种数为(　　)
A.24 B.14 C.10 D.9
B
1
2
3
4
3.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是(　　)
A.360 B.240 C.120 D.60
C
1
2
3
4
4.如图,用4种不同的颜色给图中的矩形A,B,C,D涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色,则不同的涂法有　　　　　种.
108
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