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第2章
4.1　导数的加法与减法法则~4.2　导数的乘法与除法法则
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
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课程标准 1.掌握导数的四则运算法则.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　导数的四则运算法则
1.导数的加法与减法法则
两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差),即
[f(x)+g(x)]'=　　　　　　　　,
[f(x)-g(x)]'=　　　　　　　　.
2.导数的乘法与除法法则
注意比较两个公式分子结构的异同点
一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x),则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
f'(x)+g'(x)
f'(x)-g'(x)
名师点睛
1.两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形: [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
2.在[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)中令g(x)=k,则有[kf(x)]'=kf'(x),k∈R.
思考辨析
设f(x)=tan x,如何用求导法则求f'(x)
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数f(x)=xex的导数是f'(x)=ex(x+1).(　　)
√
√
×
√
2.设y=-2exsin x,则y'等于(　　)
A.-2excos x
B.-2exsin x
C.2exsin x
D.-2ex(sin x+cos x)
D
解析 ∵y=-2exsin x,∴y'=(-2ex)'sin x+(-2ex)·(sin x)'=-2exsin x-2excos x
=-2ex(sin x+cos x).故选D.
3.函数f(x)= 的图象在点(0,1)处的切线方程是(　　)
A.x+y-1=0　　　B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.x-y+1=0
A
∴f'(0)=-1,∴切线方程为y-1=-(x-0),
即x+y-1=0.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　利用导数的加法与减法法则求导
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y=x-2+x2;
(2)y=x2-log3x;
(3)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(4)y=sin x+cos x.
解 (1)y'=2x-2x-3.
(2)y'=(x2-log3x)'=(x2)'-(log3x)'=
(3)∵y=(x+1)(x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
∴y'=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11.
(4)y'=(sin x)'+(cos x)'=cos x-sin x.
规律方法　1.分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则、基本公式.
2.利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.比如本例第(3)小题就适合先变为和差的形式再求导.
变式训练1利用导数的加法与减法法则求导:
(1)y=3x+x9;
(2)y=x-3-lg x;
(3)y=(x-1)(x- ).
解 (1)y'=3xln 3+9x8.
探究点二　利用导数的乘法与除法法则求导
【例2】 求下列函数的导数.
解 (1)y'=(x3)'ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex.
(3)y'=[(x+1)(x+3)]'(x+5)+(x+1)(x+3)(x+5)'
=[(x+1)'(x+3)+(x+1)(x+3)'](x+5)+(x+1)(x+3)=(2x+4)(x+5)+(x+1)(x+3)
=3x2+18x+23.
规律方法　1.注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数公式中是“+”,而商的导数公式中分子上是“-”.
2.若函数比较复杂,则需要对函数先变形再求导.常用的变形有乘积式展开变为和式求导、商式变乘积式求导、三角函数恒等变换后求导等.
3.注意体会例2(3)小题的求解思路与例1(3)求解思路的不同,一般多项式乘积形式的函数求导变为和差形式求导更为简洁.
变式训练2求下列函数的导数.
探究点三　求导法则的综合应用
角度1.求导法则的逆向应用
【例3】 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+1.求y=f(x)的函数解析式.
解 ∵f'(x)=2x+1,
∴f(x)=x2+x+c(c为常数).
又方程f(x)=0有两个相等的实根,即x2+x+c=0有两个相等的实根,
∴Δ=12-4c=0,即c= ,
∴f(x)=x2+x+ .
规律方法　待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题,然后利用已知条件解出所设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别是已知具有某些特征的函数.
D
★(2)已知f'(x)是一次函数,x2·f'(x)-(2x-1)·f(x)=1对一切x∈R恒成立,求f(x)的解析式.
解 由f'(x)为一次函数,可知f(x)为二次函数,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b,把f(x),f'(x)代入关于x的方程得x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=1,
角度2.求导法则在导数几何意义中的应用
【例4】 已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标.
分析利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点.
解 (1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2)=3×22+1=13,故切线的方程为y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.
规律方法　1.此类问题主要涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,解题方法为把其他题设条件转化为这三个要素间的关系,构建方程(组)求解.
2.准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.
变式训练4曲线 在点(1,b)处的切线方程为kx-y+6=0,则k的值为(　)
A
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)利用导数的加法与减法法则求导.
(2)利用导数的乘法与除法法则求导.
(3)求导法则的综合应用.
2.方法归纳:待定系数法、数形结合.
3.常见误区:导数乘法与除法法则公式容易混用.
学以致用·随堂检测促达标
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1.下列导数运算正确的是(　　)
A.(2x2+1)'=4x+1
D.(3sin x-2cos x)'=3cos x+2sin x
D
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3
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6
2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(2)=(　　)
D
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5
6
A
解析 由y=ex-2x,可得y'=ex-2,
则y'|x=0=-1,即曲线在点(0,1)处的切线的斜率为-1,即tan α=-1,
故选A.
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C
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6
5.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+ (s的单位:m,t的单位:s),则它在第4 s的瞬时速度应该为　　　　　m/s.
1
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6.[2024四川成都月考]求下列函数的导数:
(1)y=3x2+cos x;
(3)y=(x+1)ln x.
解 (1)y'=6x-sin x;
本 课 结 束

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