资源简介

(共34张PPT)
第2章
§5　简单复合函数的求导法则
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.了解复合函数的概念.
2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作　　　　,其中u为　　　　　.
y=f(φ(x))
中间变量
思考辨析
函数y=log2(x+1)是复合函数吗 是由哪些函数复合而成的
提示 是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
√
√
×
2.函数y=sin(2x-1)如果看成复合函数y=f(φ(x)),下列式子正确的是(　　)
A.φ(x)=2x　　　 B.φ(x)=sin x
C.φ(x)=2x-1 D.φ(x)=sin(2x-1)
C
解析 y=sin(2x-1)是由函数y=sin u和u=2x-1复合而成,可见φ(x)=2x-1.
知识点2　复合函数的求导法则
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).
名师点睛
求复合函数的导数需处理好以下环节:
(1)中间变量的选择应是基本初等函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
(4)善于把一部分表达式作为一个整体;
(5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=e-x的导数为y'=e-x.(　　)
(2)函数f(x)=sin 4x的导数为f'(x)=cos 4x.(　　)
(3)已知f(x)=ln(2x+1),则f'(x)= . (　　)
×
×
√
2.函数y=(2 025-8x)3的导数y'等于(　　)
A.3(2 025-8x)2
B.-24x
C.-24(2 025-8x)2
D.24(2 025-8x)2
C
解析 y'=3(2 025-8x)2×(2 025-8x)'=3(2 025-8x)2×(-8)=-24(2 025-8x)2.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　求复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x- );(3)y=ln(4x-1);(4)y= .
分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
解 (1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24.
规律方法　1.解答此类问题常犯两个错误:
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数;
(2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤:
变式训练1[人教B版教材例题]求下列函数的导数.
(1)h(x)=e5x-1;
(2)f(x)=ln(2x+1);
解 (1)h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu与u=g(x)=5x-1的复合函数,因此h'(x)=f'(u)g'(x)=(eu)'(5x-1)'=eu×5=5e5x-1.
(2)f(x)=ln(2x+1)可以看成h(u)=ln u与u=g(x)=2x+1的复合函数,因此
探究点二　复合函数求导与导数的运算法则的综合应用
【例2】 求下列函数的导数.
规律方法　此类问题出错的主要原因一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号混淆.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.
变式训练2求下列函数的导数.
(1)y=(2x-1)3;
(2)y=sin 2x+cos 2x;
(3)y=(ln x)2.
解 (1)设y=u3,u=2x-1,则yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2.
(2)y'=(sin 2x)'+(cos 2x)'=2cos 2x-2sin 2x.
探究点三　与复合函数有关的切线问题
【例3】 (1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　)
A
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　　.
2
解析 令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又因为切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
变式探究将本例(2)中的问题改为“求曲线y=eax在点(0,1)处的切线与坐标轴围成的面积”.
解 由题意可知,切线方程为y-1=2x,
即2x-y+1=0.
令x=0得y=1;
规律方法　导数综合应用的解题策略
本题正确地求出复合函数的导数是前提,审题时应注意所给点是不是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数.解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)求复合函数的导数.
(2)复合函数求导与导数的运算法则的综合应用.
(3)复合函数的导数几何意义的应用.
2.方法归纳:复合函数求导、数形结合.
3.常见误区:不能正确地区分所给函数是否为复合函数.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是(　　)
A.y=un,u=x2-1 B.y=(u2-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n D.y=(t-1)n,t=x2-1
B
解析 f'(x)=2xe1-mx+x2·e1-mx·(-m)+m=2xe1-mx-mx2e1-mx+m,
根据导数的几何意义可得f'(1)=2e1-m-me1-m+m=2,
所以(e1-m-1)(2-m)=0,所以e1-m-1=0或2-m=0,
所以m=1或m=2.
1
2
3
4
5
2.函数y=(2x+1)3的导数为(　　)
A.y'=3(2x+1)3
B.y'=3(2x+1)2
C.y'=6(2x+1)2
D.y'=6(2x+1)3
C
解析 y=(2x+1)3,则y'=3(2x+1)2×2=6(2x+1)2.
故选C.
1
2
3
4
5
A.-2 B.2 C.-1 D.1
A
1
2
3
4
5
4.[2024河北石家庄质检]设f(x)=ln(2x-1),若f(x)在x0处的导数f'(x0)=1,则x0的值为(　　)
B
1
2
3
4
5
5.已知某质点的位移s与位移时间t满足s=tet-1,则质点在t=1时的瞬时速度为　　　　　.
2
解析 s'=(t+1)et-1,当t=1时,s'=2,所以质点在t=1时的瞬时速度为2.
本 课 结 束

展开更多......

收起↑