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第2章
6.1　函数的单调性
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.理解导数与函数单调性的关系.
2.会利用导数判断或证明函数单调性.
3.会利用导数求函数单调区间.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
4.理解函数图象与其导函数图象之间的关系.
5.掌握已知函数单调性求参数取值范围的方法.
基础落实·必备知识一遍过
函数的两个单调区间之间不能用“∪”
知识点1　导数的符号与函数的单调性之间的关系
1.若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)　　　　　　　;
2.若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)　　　　　　　.
单调递增
单调递减
名师点睛
1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上单调递增(或单调递减)的充分条件.
2.若在某个区间上,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间上,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减.
思考辨析
在区间(a,b)内,函数f(x)单调递增是f'(x)>0的什么条件
提示 必要不充分条件.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减.(　　)
(2)函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0.(　　)
(3)若函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)
×
×
√
2.[2024湖北武汉月考]函数y=ex-e2x的单调递增区间为　　　　　.
[2,+∞)
解析 由题得y'=ex-e2≥0,可得x≥2.
故函数的单调递增区间为[2,+∞).
知识点2　函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)内:
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
较大 　　　 比较“　　　　” (向上或向下)
较小 　　　 比较“　　　　” (向上或向下)
较快
陡峭
较慢
平缓
名师点睛
1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的“陡峭”(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关系.
思考辨析
如何借助导函数y=f'(x)的图象确定函数y=f(x)的单调区间
提示 在y=f'(x)的图象上找出使f'(x)>0的x的取值范围,则f(x)在该取值范围单调递增;在y=f'(x)的图象上找出使f'(x)<0的x的取值范围,则f(x)在该取值范围单调递减.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在某一个区间上导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减.
(　　)
(2)函数图象越“陡峭”,导数的绝对值越大;函数图象越“平缓”,导数的绝对值越小.反之,亦成立.(　　)
√
√
2.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的(　)
D
解析 由题意可知,当x<0或x>2时,导函数f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象可能是选项D.
知识点3　已知函数单调性求参数的取值范围
1.解题步骤:
函数在区间[a,b]上单调递增(减)→ f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立→利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题→对等号单独验证
2.注意事项:
一般地,要检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立 　　　 　;
m≤f(x)恒成立 　　　 　.
m≥f(x)max
m≤f(x)min
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)已知函数单调性求参数的取值范围,一般转化为不等式恒成立问题,多用分离参数的方法.(　　)
(2)对于 x∈D,a≥f(x)恒成立可以先求出函数y=f(x)(x∈D)的最大值ymax,然后a的取值范围即为a≥ymax.(　　)
√
√
2.若函数f(x)=ax+cos x在(-∞,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,1) B.[1,+∞) C.(-1,+∞) D.(-1,0)
B
解析 f'(x)=a-sin x,由题意得f'(x)=a-sin x≥0,
即a≥sin x在(-∞,+∞)内恒成立.
因为y=sin x∈[-1,1],所以a≥1恒成立,故实数a的取值范围是[1,+∞).
故选B.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　判断函数的单调性
角度1.单调性的证明
规律方法　关于利用导数证明函数单调性的问题
(1)首先考虑函数的定义域,所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.
(2)若f'(x)>(或<)0,则f(x)单调递增(或递减).但要特别注意,若f(x)单调递增(或递减),则f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
变式训练1证明:函数f(x)= 在区间(0,e)内单调递增.
角度2.不含参数的函数求单调区间
【例2】 求f(x)=3x2-2ln x的单调区间.
规律方法　求不含参数的函数y=f(x)的单调区间的步骤
变式训练2函数f(x)=ln x+2x+ 的单调递减区间是(　　)
B
角度3.含参数的函数求单调区间
【例3】 (1)[2024福建福州期末]若a>0,则函数y=a(x3-x)的单调递减区间为　　　　　.
(2)讨论函数f(x)= ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性.
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
规律方法　1.讨论参数要全面,做到不重不漏.
2.解不等式时若涉及分式不等式,要注意结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解.
变式训练3(1)函数f(x)=xln x+m的单调递增区间是(　　)
A
(2)已知函数f(x)=ex+(m+1)x(m∈R),讨论f(x)的单调性.
解 f(x)的定义域为R,f'(x)=ex+m+1,
当m+1≥0,即m≥-1时,f'(x)>0,f(x)在R上单调递增;
当m+1<0,即m<-1时,
由f'(x)>0,得x>ln(-m-1),
由f'(x)<0,得x∴f(x)在(-∞,ln(-m-1))内单调递减,在(ln(-m-1),+∞)内单调递增.
综上所述,当m≥-1时,f(x)在R上单调递增;
当m<-1时,f(x)在(-∞,ln(-m-1))内单调递减,在(ln(-m-1),+∞)内单调递增.
探究点二　已知函数的单调性求参数的范围
【例4】 已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.
解 由已知得f'(x)=3x2-a,
因为f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数.
所以实数a满足a≤0.
所以a的取值范围为(-∞,0].
变式探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求a的取值.
解 由f'(x)=3x2-a,
①当a≤0时,f'(x)≥0,
f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,不满足题意.
变式探究2若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内单调递减,求a的取值范围.
解 由题意可知f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,
解得a≥3,即a的取值范围是[3,+∞).
变式探究3若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内不单调,求a的取值范围.
解 ∵f(x)=x3-ax-1,
∴f'(x)=3x2-a.
当a≤0时,f'(x)≥0,不合题意,当a>0时,由f'(x)=0,得
∵f(x)在区间(-1,1)内不单调,
∴0< <1,即0故a的取值范围为(0,3).
规律方法　已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数范围的方法:
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
探究点三　函数图象与其导函数图象的关系
【例5】已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)A.(0,4)
B.(-∞,0)∪(1,4)
D.(0,1)∪(4,+∞)
D
解析 观察图象,可得导函数f'(x)的图象过点(0,0), ,原函数f(x)的图象过点(0,0),(2,0),观察图象可得满足f'(x)规律方法　函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断,即符号为正,函数图象上升;符号为负,函数图象下降.看导函数图象,主要是看图象在x轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调性.解决问题时,一定要分清图象是函数图象还是其导函数图象.
变式训练4在同一坐标系中画出三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其导函数的图象,下列一定不正确的序号是(　　)
A.①②
B.①③
C.③④
D.①④
C
解析 当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0时,函数f(x)单调递减,故可得,①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的;而③中导函数为负的区间内相应的函数图象不递减,故错误;④中导函数为负的区间内相应的函数图象不递减,故错误.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.
(2)已知函数的单调性求参数的取值范围.
(3)函数图象与其导函数图象的关系.
2.方法归纳:分类讨论、数形结合.
3.常见误区:研究函数的单调性忽略函数的定义域;函数图象与其导函数图象混淆.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.若函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为(　　)
C
解析 由f(x)的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(1,4),单调递减区间为
(-∞,1)和(4,+∞),
因此,当x∈(1,4)时,f'(x)>0,当x∈(-∞,1)或x∈(4,+∞)时,f'(x)<0,结合选项知选C.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2.函数f(x)=x- ex的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,ln 2) B.(ln 2,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
B
解析 f'(x)=1- ex,
由f'(x)<0,得x>ln 2,
所以f(x)的单调递减区间为(ln 2,+∞),
故选B.
1
2
3
4
5
3.下下列函数中,在(0,+∞)内单调递增的是(　　)
A.y=sin2x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=-x+ln(1+x)
B
1
2
3
4
5
4.已知函数f(x)=x3+x2-ax+1在R上为增函数,则实数a的取值范围为(　　)
A
解析 f'(x)=3x2+2x-a,
因为f(x)在R上为增函数,故f'(x)≥0在R上恒成立,所以Δ=4+12a≤0,即a≤- ,
故选A.
1
2
3
4
5
5.函数f(x)= 的单调递增区间为　　　　　.
(0,1)
当00,则f(x)单调递增,
当x>1时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,
所以f(x)的单调递增区间为(0,1).
本 课 结 束

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