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第2章
6.2　函数的极值
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
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课程标准 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　极值的概念
　　 极值是函数的一种局部性质
1.如图(1),在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的　　　　　,其函数值f(x0)为函数的　　　　　.
　(1)
极大值点
极大值
2.如图(2),在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的　　　　　,其函数值f(x0)为函数的　　　　.
3.函数的极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.
极值点在区间的内部
　(2)
极小值点
极小值
名师点睛
1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
2.极大值与极小值无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.
思考辨析
函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗
提示 可以,如函数f(x)=sin x,g(x)=cos x在R上有无数多个极大值和极小值.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数的极大值一定大于极小值.(　　)
(2)函数y=f(x)一定有极大值和极小值.(　　)
×
×
2.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是(　　)
A.在(1,2)内函数f(x)单调递增
B.在(3,4)内函数f(x)单调递减
C.在(1,3)内函数f(x)有极大值
D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
D
解析 根据导函数图象知,x∈(1,2)时,f'(x)>0;x∈(2,4)时,f'(x)<0,x∈(4,5)时,f'(x)>0.
∴f(x)在(1,2),(4,5)内单调递增,在(2,4)内单调递减,x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点.
知识点2　求函数y=f(x)极值点、极值的方法
1.求出导数f'(x).
2.解方程f'(x)=0,得出方程的所有实数根.
3.对于方程f'(x)=0的每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性),确定极值点和极值:从左到右,导函数f'(x)的符号变化.如果f'(x)的符号由正变负,此时x0是极大值点,f(x0)是极大值;如果由负变正,此时x0是极小值点,f(x0)是极小值,如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右侧,f'(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.
名师点睛
导数等于0的解不一定是极值点;反之,极值点一定是导数等于0的解,故须对f'(x)=0的解进行检验.
思考辨析
对于可导函数f(x),“f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件
提示 必要不充分条件.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若函数y=f(x)在区间(a,x0)内单调递增,在区间(x0,b)内单调递减,则x0是函数y=f(x)的极大值点.(　　)
(2)对于函数y=f(x)=x3,因为f'(0)=0,所以x=0是它的极值点.(　　)
√
×
2.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.-4 B.-2 C.4 D.2
D
解析 ∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12,
令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
∴f(x)的极小值点为2.
3.[人教B版P93例1]已知f(x)=x3,求所有使得f'(x)=0的x,并判断所求得的数是否为函数的极值点.
解 因为f'(x)=3x2,
令f'(x)=0,可知3x2=0,由此可解得x=0.
但0不是f(x)=x3的极值点,因为f(0)=0,
而0左侧的点的函数值总是小于0,
且0右侧的点的函数值总是大于0.
这也可以从函数f(x)=x3的图象看出来.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　求函数的极值
角度1.求不含参数的函数的极值
【例1】 求函数f(x)= +ln x的极值.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 1 ↗
∴当x=1时f(x)有极小值,即f(1)=1,无极大值.
变式探究求函数f(x)= 的极值.
x (0,e) e (e,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ ↘
因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)= ,没有极小值.
规律方法　1.讨论函数的性质时,要树立定义域优先的原则.
2.求可导函数f(x)的极值的步骤
变式训练1求下列函数的极值点和极值.
(1)f(x)= x3-x2-3x+3;
(2)f(x)=x2e-x.
解 (1)函数f(x)的定义域为R.f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由上表可以看出,-1为函数f(x)的极大值点,极大值为f(-1)= ,3为函数f(x)的极小值点,极小值为f(3)=-6.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.
令f'(x)=0,得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由上表可以看出,0为函数f(x)的极小值点,极小值为f(0)=0.
2为函数f(x)的极大值点,极大值为f(2)=4e-2.
角度2.求含有参数的函数的极值
【例2】 设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)的极值.
解 由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)],
令f'(x)=0,
解得x1=0,x2=a-1,
(1)当a=1时,f'(x)=6x2≥0,
f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.
当a>1时,f'(x)=6x[x-(a-1)],
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,a-1) a-1 (a-1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
从上表可知,函数f(x)在(-∞,0)内单调递增,
在(0,a-1)内单调递减,在(a-1,+∞)内单调递增.
综上,当a=1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a-1,+∞),单调递减区间为(0,a-1).
(2)由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值.
当a>1时,函数在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.
规律方法　讨论参数应从f'(x)=0的根所在的范围与大小关系入手进行.
变式训练2已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1- .
(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1- (x>0),
因而f(1)=1,f'(1)=-1.
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.
又因为当x∈(0,a)时,f'(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
探究点二　根据函数的极值求参数
【例3】 [2024陕西咸阳期中]已知函数f(x)= x3-ax2+12x+b在x=3处取得极小值-2.
(1)求实数a,b的值;
(2)若函数y=f(x)-λ有三个零点,求实数λ的取值范围.
解 (1)f'(x)=4x2-2ax+12,
因为f(x)在x=3处取得极小值-2,
所以f'(3)=36-6a+12=0,得a=8,
此时f'(x)=4x2-16x+12=4(x-1)(x-3),
所以f(x)在(1,3)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增,
所以f(x)在x=3时取得极小值,符合题意,
所以a=8,f(x)= x3-8x2+12x+b.
又f(3)=b=-2,所以b=-2.
(2)由(1)知y=f(x)-λ= x3-8x2+12x-2-λ,
所以y'=4(x-1)(x-3),
列表如下:
x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)
y' + 0 - 0 +
y ↗ 极大值 -λ ↘ 极小值-2-λ ↗
规律方法　已知函数的极值求参数时应注意两点
(1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组,用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值为0的解不一定就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.
变式训练3设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,2)时,f'(x)>0;
当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0.
故x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.
探究点三　由函数图象分析函数的极值
【例4】 已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x) 是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=- 处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有　　　　　　.(填所有正确的序号)
①②④
解析 从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,①正确;当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,③错误;当x∈(0,1)时, xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)内单调递减,而在区间(1,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,④正确.
规律方法　由函数图象研究极值的方法
利用导数研究函数极值问题是较为常见的一种题型,解答这类问题的关键是选准出发点.对于导函数的图象,我们重点考查其在哪个区间上为正、哪个区间上为负、在哪个点处与x轴相交(在该点处,导函数的值是怎样变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若由负值变为正值,则在该点处取得极小值).
变式训练4已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,给出以下结论:①函数f(x)在(-2,-1)和(1,2)内单调递增;②函数f(x)在(-2,0)内单调递增,在(0,2)内单调递减;③函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;④函数f(x)在x=0处取得极大值.其中真命题的序号是　　　　.(填所有真命题的序号)
②④
解析 函数f(x)在(-2,-1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,故①错误;因为f'(x)在(-2,0)内大于0,所以函数f(x)在(-2,0)内单调递增,同理f(x)在(0,2)内单调递减,故②正确;③错误;当-20,当0本节要点归纳
1.知识清单:
(1)求函数的极值.
(2)根据函数的极值求参数.
(3)由函数的图象分析函数的极值.
2.方法归纳:待定系数法、数形结合法.
3.常见误区:求极值时忽略f'(x)=0的根的左右两侧符号的判断.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
A
1
2
3
4
1
2
3
4
2.已知函数f(x)=x3+3(m-1)x2+3(m+1)x+3既有极大值,又有极小值,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,0]∪[3,+∞)
B.(-∞,0)∪(3,+∞)
C.(3,+∞)
D.(-∞,0)
B
解析 由f'(x)=3[x2+2(m-1)x+(m+1)],
又因为f(x)有极大值、极小值,所以f'(x)有两个变号零点,则Δ=4(m-1)2-4(m+1)>0,整理得m2-3m>0,解得m>3或m<0,故选B.
1
2
3
4
3.函数y=ln x-x2的极值点为　　　　　.
1
2
3
4
4.已知x=0是f(x)=(x-a)ex+1的极值点,则a=　　　　　.
1
解析 因为f(x)=(x-a)ex+1,所以f'(x)=(x-a+1)ex,
因为x=0是函数f(x)的极值点,
则f'(0)=0,解得1-a=0,解得a=1,
当a=1时,f'(x)=xex,
当x<0时,g'(x)<0,则g(x)单调递减,
当x>0时,g'(x)>0,则g(x)单调递增,
所以x=0是函数g(x)的极值点,
故a=1.
本 课 结 束

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