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第2章
6.3　函数的最值
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
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课程标准 1.能利用导数求某些函数在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　函数最值的定义
1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0)(如图所示).
x0∈[a,b]
由上图可以看出,最大值或者在极大值点(也是导数的零点)取得,或者在区间的端点取得.因此,要想求函数的最大值,一般首先求
出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.函数的最小值点和最小值也是用类似的方法定义.
2.函数的最大值和最小值统称为　　　　.
最值
名师点睛
1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)内的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.
2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数
在[-1,1]上只有最大值,而没有最小值.
3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个定义的区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.
4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
思考辨析
你能类比最大值点和最大值的定义方法,给出最小值点和最小值的定义吗
提示 函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都大于或等于f(x0),函数的最小值可以在区间的内部取得,也可以在区间的端点处取得,要想求函数的最小值,一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最小的值即为函数的最小值.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.(　　)
(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(　　)
(3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.(　　)
√
×
×
2.下列结论正确的是(　　)
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是在x=a或x=b处取得
D.若函数f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值和最小值
D
解析 函数f(x)在区间[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则它在区间[a,b]上一定存在最大值和最小值.
3.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为(　　)
B
重难探究·能力素养速提升
探究点一　求函数的最值
角度1.求函数在闭区间上的最值
【例1】 求下列函数在相应区间上的最值:
(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];
(2)f(x)=2sin x-x,x∈
解 (1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
f'(x) + 0 -
f(x) -14 ↗ 极大值-10 ↘ -12
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
规律方法　求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法
变式训练1函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最大值为(　　)
D
角度2.求函数在开区间或无穷区间内的最值
【例2】 求下列函数的最值:
(1)f(x)= ;(2)f(x)=(x2-3)ex.
解 (1) ,令f'(x)=0,得x=-1或3,容易验证函数在x=-1处取得极小值,在x=3处取
得极大值,又因为当x=1时y=0,当x<1时y<0,当x>1时y>0.据此可以画出函数的大致图象,如图所示.
(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex =ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3f(-3)=6e-3;
在x=1处取得极小值,极小值等于f(1)=-2e.
规律方法　求函数在开区间或无穷区间内最值的方法
求函数在无穷区间(或开区间)内的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
C
令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0则f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
故f(x)的最小值是f(1)= ,
故选C.
探究点二　含有参数的函数最值问题
【例3】 已知f(x)=ax-ln x,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.
(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
规律方法　对参数进行讨论,其实质是讨论导函数f'(x)大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒大于等于0或小于等于0,且使f'(x)=0成立的值是孤立的,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
变式训练3已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的极值;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
解 (1)由f(x)=(x-k)ex,可得f'(x)=(x-k+1)ex,令f'(x)=0,解得x=k-1,当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:
x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ -ek-1 ↗
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
所以f(x)有极小值f(k-1)=-ek-1,无极大值.
(2)当k-1≤0,即k≤1时,f'(x)=(x-k+1)ex≥0在x∈[0,1]上恒成立,
则函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当0由(1)知f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;
当k-1≥1,即k≥2时,f'(x)=(x-k+1)ex≤0在x∈[0,1]上恒成立,
则函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
综上,当k≤1时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为-k;
当1当k≥2时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为(1-k)e.
探究点三　由函数的最值求参数
【例4】 (1)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,在x∈[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
(2)已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.
解 (1)由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾.
求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
①当a>0,且当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2
f'(x) + 0 -
f(x) -7a+b ↗ 极大值b ↘ -16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也是函数在[-1,2]上的最大值, ∴f(0)=b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.
②当a<0时,同理可得当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29.
又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.
综上可得a=2,b=3或a=-2,b=-29.
(2)h(x)=x3+3x2-9x+1,h'(x)=3x2+6x-9.
令h'(x)=0,解得x1=-3,x2=1,
当x变化时,h'(x)及h(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ 极大值28 ↘ 极小值-4 ↗
当x=-3时,h(x)取极大值28;当x=1时,h(x)取极小值-4.
而h(2)=3即k的取值范围为(-∞,-3].
规律方法　1.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
2.理解运算对象,选择运算方法,求得运算结果,体现了数学运算的数学核心素养.
变式训练4设函数f(x)=ln x+ ,m>0,求f(x)的最小值为2时的m的值.
解 ∵f'(x)= (x>0),∴当x∈(0,m)时,f'(x)<0,f(x)在(0,m)内单调递减,当x∈(m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(m,+∞)内单调递增,
∴当x=m时,f(x)取得极小值,也是最小值,又最小值为2,
∴f(m)=ln m+ =2,
∴m=e.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)求函数的最值.
(2)含有参数的函数的最值问题.
(3)由函数的最值求参数.
2.方法归纳:分类讨论、数形结合.
3.常见误区:(1)忽略函数的定义域;(2)分类讨论的标准分析不清.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1. 函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,以下说法错误的是(　　)
A.函数y=f(x)在x=-4处取得最小值
B.x=0是函数y=f(x)的极值点
C.y=f(x)在区间(-4,1)内单调递增
D.y=f(x)在x=1处切线的斜率大于零
B
解析 对于A,因为当x<-4时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减,
当x≥-4时,f'(x)≥0,此时f(x)单调递增,
所以y=f(x)在x=-4处取得最小值,故A正确;
对于B,当-40,当x>0时,f'(x)>0,
所以x=0不是函数y=f(x)的极值点,故B错误;
对于C,当-4对于D,因为f'(1)>0,y=f(x)在x=1处切线的斜率大于零,故D正确.
故选B.
1
2
3
4
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5
2.[2024四川成都期末]已知函数f(x)=ln x-ax存在最大值0,则a的值为(　　)
A.1 B.2
C.e D.
D
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2
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5
3.(多选题) 对于函数f(x)=x3-3x,下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在区间(-1,1)内单调递减
C.在x=-1处取得极大值-2
D.函数f(x)的值域是[-2,2]
AB
解析 因为对 x∈R,f(-x)=-x3+3x=-f(x),
根据奇函数定义可知函数f(x)是R上的奇函数,即A正确;
因为f(x)=x3-3x,则f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f'(x)>0可得x<-1或x>1,令f'(x)<0可得-1所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),函数f(x)的单调递减区间为
(-1,1),故B正确;
结合选项B可知,x=-1是函数f(x)的极大值点,
此时函数f(x)的极大值为f(-1)=-1+3=2,故C错误;
由B可知,函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)内单调递增,函数f(x)在(-1,1)内单调递减,
所以f(x)无最大值,无最小值,故D错误.
故选AB.
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2
3
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5
1
2
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4
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3
4
5
5.函数f(x)=2x3-6x2+m(m是常数)在区间[-2,2]上有最大值3,则在区间[-2,2]上的最小值为　　　　　.
-37
解析 f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),
由题意知,在区间[-2,2]上,x=0是f(x)的最大值点,
∴f(x)max=f(0)=m=3.
∵f(-2)=-16-24+3=-37,f(2)=16-24+3=-5,
∴f(x)min=-37.
本 课 结 束

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