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(共49张PPT)
第2章
7.1　实际问题中导数的意义~7.2　实际问题中的最值问题
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
目录索引
课程标准 1.能理解并能解释实际问题中导数的意义.
2.能利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　实际问题中导数的意义
1.功与功率:在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特.
2.降雨强度:在气象学中,通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度.
3.边际成本:
在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
思考辨析
降雨强度是什么含义
提示 单位时间内的降雨量.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)已知物体运动的路程s与时间t的函数关系为s=f(t),则瞬时速度v=f'(t).(　　)
(2)已知做的功W与时间t的函数关系W=W(t),则W'(t)的实际意义为t时刻单位时间内做的功.(　　)
√
√
知识点2　利用导数解决最优化问题
1.最优化问题
在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题,这些问题通称为最优化问题.
2.最优化问题的求解步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).
(2)求导函数f'(x),解方程f'(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
(4)依据实际问题的意义给出答案.
名师点睛
解决最优化问题的一般步骤
(1)认真阅读理解关于实际问题的材料.一般地,实际问题的材料都非常多、信息量较大、涉及的量也比较多,因此需要仔细地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.
(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.
(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.
(4)根据函数问题的答案去回答实际问题中的最优化问题.
在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗 你能列举几个关于利润的等量关系吗
提示 根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
过关自诊
自主诊断
判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)磁盘的最大存储量问题是最优化问题.(　　)
(2)求某长方体容器的容积最大问题是最优化问题.(　　)
(3)汽油的使用效率的提高问题是最优化问题.(　　)
(4)制作一水箱的用料最省问题是最优化问题.(　　)
√
√
×
√
重难探究·能力素养速提升
探究点一　实际问题中导数意义的应用
【例1】 (1)一个质量m=5 kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t+ t2表示,并且物体的动能Ek= mv2(m为物体质量,v为物体运动速度),则物体开始运动后第7 s时的动能是(　　)
A.160 J B.165 J C.170 J D.175 J
A
(2)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)=4.9t2+6.5t+10.求运动员在t=1 s时的瞬时速度.
解 h'(t)=9.8t+6.5,
∴h'(1)=9.8+6.5=16.3(m/s),
∴运动员在t=1 s时的瞬时速度为16.3 m/s.
规律方法　在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.如:加速度是速度关于时间的导数、速度是路程关于时间的导数、功率是功关于时间的导数等.
变式训练1(1)火车开出车站一段时间内,速度v(单位:m/s)与行驶时间t(单位:s)之间的关系是v(t)=0.4t+0.6t2,当加速度为2.8 m/s2时,火车开出去(　　)
B
解析 由题意可知,v'(t)=0.4+1.2t,
令0.4+1.2t=2.8,可得t=2 s.
(2)设x(单位:km)表示从一条河流的某一处到其源头的距离,y(单位:km)表示这一点的海拔高度,y是x的函数,满足解析式 y=f(x),若函数y=f(x)在x=100处的导数f'(100)=-0.1.试解释它的实际意义.
解 f'(100)=-0.1表示从源头流到100 km处的海拔高度的瞬时变化率,如果保持这一速度,每经过1 km,该河流的海拔高度下降0.1 km.
探究点二　导数在几何中的应用
角度1.平面几何中的最值问题
【例2】 如图所示,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形面积的最大值.
解 设点B的坐标为(x,0),且0∵f(x)=4x-x2的图象的对称轴为直线x=2,
∴点C的坐标为(4-x,0),
∴|BC|=4-2x,|BA|=f(x)=4x-x2.
∴设矩形ABCD的面积为y,
则y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3,
∴y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8).
规律方法　平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相关的最值问题.一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值.
变式训练2
如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于A,B,C三点处,AB=AC,A到线段BC的距离AO=40,∠ABO= .今计划建一个生活垃圾中转站P,为方便运输,P准备建在线段AO(不含端点)上.
(1)设PO=x(0(2)设∠PBO=α(0<α< ),试将P到三个小区的距离之
和y表示为α的函数,并确定当α取何值时,可使y最小.
角度2.立体几何中的最值问题
【例3】 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大
(2)设A1B1=a m,PO1=h m,
则0连接O1B1.
规律方法　1.立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际相关的问题.
2.解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程.
变式训练3为了应对某比赛,大会组委会将对长方体泳池进行检修,已知泳池深度为2 m,其容积为2 500 m3,如果池底每平方米的维修费用为150元,设入水处的较短池壁长度为x,且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比,且比例系数为 k(k>0),较长的池壁总维修费用满足代数式 ,则当泳池的维修费用最低时,x的值为　　　　　.
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探究点三　导数在经济生活中的应用
【例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:
C(x)= (1≤x≤10),设f(x)为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和.
(1)求f(x)的表达式;
(2)当隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
∴当1≤x<6时,f'(x)<0;当6≤x≤10时,f'(x)≥0.
∴f(x)在[1,6)内单调递减,在[6,10]上单调递增.
∴当x=6时,f(x)取得最小值f(6)=112,
∴当隔热层修建6 cm厚时,总费用最小,最小值为112万元.
规律方法　利润最大问题的求解策略
利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益).常见的基本等量关系如下:
(1)利润(收益)=收入-成本;
(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.
解此类问题需注意两点:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利.
变式训练4经过市场调查,某小微企业计划生产一款小型电子产品.已知生产该产品需投入固定成本2万元,每生产x(x>0)万件,需另投入流动成本P(x)(单位:万元),当年产量小于9万件时, P(x)= x2+2x;当年产量不小于9万件时,P(x)=6x+ln x+ -22,每件产品售价为6元,假若该企业生产的电子产品当年能全部售完.
(1)写出年利润Q(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该企业的这一产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (参考数据:e3≈20)
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)实际问题中导数的意义.
(2)导数在几何中的应用.
(3)导数在经济生活中的应用.
2.方法归纳:数学建模、数形结合.
3.常见误区:不能理清各个变量之间的关系,从而无法正确地建立函数模型.
学以致用·随堂检测促达标
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1.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/时)的解析式可以表示为
(0A.70千米/时 B.80千米/时
C.90千米/时 D.100千米/时
C
令f'(x)=0,解得x=90,
当x∈(0,90)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(90,120]时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=90时,函数f(x)取得最小值,
即当汽车匀速行驶的速度是90千米/时时,从甲地到乙地耗油最少.故选C.
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设耗油量为f(x),依题意得
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2.果树的负载量,是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y(单位:kg)与干周x(树干横截面周长,单位:cm)可用模型y=b0+b1x2-b2x3模拟,其中b0,b1,b2均是常数,则下列说法正确的是(　　)
A.b2=0时,y=b0+b1x2-b2x3是偶函数
B.此模型函数的图象是中心对称图形
C.若b1,b2均是正数,则y有最大值
D.苹果树负载量的最小值是b0
C
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解析 因为y=b0+b1x2-b2x3的定义域为{x|x>0},不关于原点对称,故A不正确;
此模型函数的图象也不可能是中心对称图形,故B不正确;
y'=2b1x-3b2x2=x(2b1-3b2x)=0,若b1>0,b2<0,则y'>0,函数在(0,+∞)内单调递增,所以y>b0,苹果树负载量的最小值不是b0,故D不正确.
故选C.
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3.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且关系式为y1=17x2(x>0),生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且关系式为y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产(　　)
A.6千台 B.7千台
C.8千台 D.9千台
A
解析 设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),
所以y'=-6x2+36x=-6x(x-6).
令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验,知x=6既是函数的极大值点也是函数的最大值点.所以为使利润最大应生产6千台.
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4.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站　　　　　　千米处.
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5.如图,圆O:x2+y2=4交x轴的正半轴于点A,B是圆上一点,M是 的中点,设∠AOM=θ(0<θ<π),函数f(θ)表示弦AB长与劣弧AM长之和.当函数f(θ)取得最大值时,点M的坐标是　　　　　.
解析 由题意知,圆半径为2,OM⊥AB,
故AB=2×2sin θ=4sin θ,
所以f(θ)=4sin θ+2θ(0<θ<π),
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本 课 结 束

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