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第2章
§8　数学探究活动(二)探究三次函数性质
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中阶段一种重要的函数,同时又是高考的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律性,下面用导数工具探求其图象及性质.
一、三次函数图象和性质
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),导数f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),
令Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).
1.三次函数的单调性
性质1:当a>0且b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;
当a<0且b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.
性质2:若b2-3ac>0,则f'(x)=0有两个解:
当a>0且b2-3ac>0时,f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递增,在(x1,x2)内单调递减;
当a<0且b2-3ac>0时,f(x)在(-∞,x2)和(x1,+∞)内单调递减,在(x2,x1)内单调递增.
根据a和Δ的不同情况,其图象特征分别为:
2.三次函数的极值
性质3:当b2-3ac≤0时,f(x)无极值.
当b2-3ac>0时,
二、经典案例
1.含参三次函数单调区间的求解
三次函数单调区间由f'(x)>0或f'(x)<0的解集来决定,因此可以从根的大小、判别式Δ和二次项系数等方面来入手讨论.
求三次函数的单调区间,就是确定二次不等式f'(x)>0或f'(x)<0的解集,其解法就等同于含参数的一元二次不等式的解法了.
【例1】 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=- 与x=1时都取得极值.
(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)2.三次函数根据单调性求参问题
已知三次函数单调性求参数范围可转化为f'(x)≥0恒成立或f'(x)≤0恒成立问题来处理,注意等号不能遗漏,否则造成参数范围的漏解.
已知三次函数单调性求参数范围可有两种方法解决,一是分离参数,二是二次函数思想.做题时要随机应变.
【例2】 f(x)=x3+ax2+2x-1,
(1)f(x)在区间[1,3]上单调递增,求a的取值范围;
(2)f(x)在区间[-1,2]上单调递减,求a的取值范围;
(3)f(x)在(0,1)内不单调,求a的取值范围.
(2)∵f(x)在[-1,2]上单调递减,
∴f'(x)=3x2+2ax+2≤0在[-1,2]上恒成立,
即f'(x)=3x2+2ax+2在[-1,2]上的最大值小于或等于0,考虑函数h(x)=3x2+2ax+2在[-1,2]上的最大值,最大值为h(-1)或h(2),
(3)f'(x)=3x2+2ax+2,
f(x)在(0,1)内不单调 f'(x)在(0,1)内有正有负.
①f(x)在(0,1)内只有一个极值点,
3.三次函数单调性与极值综合应用
【例3】 若函数f(x)=ax3-(a2-4)x+4,当x=1时,函数f(x)有极大值.
(1)求函数的解析式;
(2)若存在x∈[-3,2],使得f(x)+m≥0能成立,求m的取值范围.
解 (1)f'(x)=3ax2-(a2-4),
∵当x=1时,函数f(x)有极大值,∴f'(1)=3a-(a2-4)=0,解得a=4,或a=-1.
若a=4,f'(x)=12x2-12=12(x+1)(x-1),
可得当-11时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.
∴当x=1时,函数f(x)有极小值,不符合题意,舍去.
若a=-1,f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),
可得当-10,此时函数f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.
∴当x=1时,函数f(x)有极大值,则f(x)=-x3+3x+4.
(2)f(x)=-x3+3x+4,
存在x∈[-3,2],使得f(x)+m≥0能成立,
则-m≤f(x)max.
由(1)可得,函数f(x)在区间[-3,-1)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增,在区间(1,2]上单调递减.
而f(-3)=22,f(1)=6,∴f(x)max=22.
∴-m≤22,解得m≥-22.
∴m的取值范围是[-22,+∞).
规律方法　1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类题型:(1)已知函数解析式求单调性问题;(2)已知函数解析式求极值问题;(3)已知含参数的函数解析式的极值问题求参数;(4)已知含参数的函数解析式的单调性问题求参数.
2.通过上述例题研究了三次(高次)函数的性质,同时验证了高次函数与导数知识的关系,使学生既学到了新知识,又巩固了旧知识,为更有效解决三次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决办法.
3.上述例题均以三次函数为背景,主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值中的应用,意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力.
本 课 结 束

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