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第2章
培优课　导数的综合应用
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
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重难探究·能力素养速提升
探究点一　导数在解决实际问题中的应用
【例1】 某保健品企业新研发了一种健康饮品.已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶,最少1千瓶,经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x(x∈N+,单位:千瓶)间的关系为 ,每生产一瓶正品盈利4元,每生产一瓶次品亏损2元.(注:正品率=饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%)
(1)将日利润y(单位:元)表示成日产量x的函数;
(2)求该种饮品的最大日利润.
解 (1)由题意,知每生产1千瓶正品盈利4 000元,每生产1千瓶次品亏损2 000元,
(2)令f(x)=- x3+3 600x,x∈[1,40],则f'(x)=3 600-4x2.
令f'(x)=0,解得x=30或x=-30(舍去).
当1≤x<30时,f'(x)>0;当30所以函数f(x)在[1,30)内单调递增,在(30,40]上单调递减,
所以当x=30时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,为
f(30)=- ×303+3 600×30=72 000,也即y的最大值为72 000,
所以该种饮品的最大日利润为72 000元.
规律方法　利用导数解决实际应用问题的步骤
(1)函数建模:细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f(x).
(2)确定定义域:一定要从问题的实际意义去考虑,舍去没有实际意义的自变量的取值范围.
(3)求最值:尽量使用导数法求出函数的最值.
(4)下结论:根据问题的实际意义给出圆满的答案.
变式训练1如图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是矩形ABCD,上部是圆弧AB,该圆弧所在的圆心为O,为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在圆弧AB上,G,H在弦AB上).过O作OP⊥AB,交AB于点M,交EF于点N,交圆弧AB于点P,
已知OP=10,MP=6.5(单位:m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:m2).
(1)设MN=x(单位:m),将S表示成x的函数;
(2)当通风窗的高度MN为多少时,通风窗EFGH的面积S最大
解 (1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故OM=3.5,
因为MN=x,OM=3.5,所以ON=x+3.5,
探究点二　与最值有关的恒成立问题
【例2】 已知函数
(1)当a=3时,求f(x)的单调区间;
(2)当a<0时,证明:f(x)存在最大值,且f(x)< 恒成立.
规律方法　1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地,可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立 λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立 λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.
2.此类问题特别要小心“最值能否取到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“=”.
变式训练2设函数f(x)=2x3-9x2+12x+8c.
(1)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)(2)若对任意的x∈(0,3),都有f(x)解 (1)∵f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),
∴当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c.
又f(3)=9+8c>f(1),
∴x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
∵对任意的x∈[0,3],有f(x)9.
∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).
(2)由(1)知f(x)∴9+8c≤c2,即c≤-1或c≥9,
∴c的取值范围为(-∞,-1]∪[9,+∞).
探究点三　利用导数证明不等式
【例3】 已知函数f(x)=xex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=xex-x-ln x-1,证明:g(x)≥0在区间(0,+∞)内恒成立.
(1)解 函数f(x)=xex,定义域为R,
f'(x)=ex+xex=ex(x+1),
令f'(x)>0,解得x>-1;令f'(x)<0,解得x<-1,
∴f(x)的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1).
(2)证明 g(x)=xex-x-ln x-1,定义域为(0,+∞),
设h(x)=xex-1(x>0),
由(1)可知当x>0时,f(x)=xex单调递增,
∴h(x)在(0,+∞)内单调递增,
∴当x∈(0,x0)时,h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x0∈(x0,+∞)时,h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x)≥g(x0)= -x0-ln x0-1=1-0-1=0,
即g(x)≥0在区间(0,+∞)内恒成立.
规律方法　1.证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用单调性),特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法),但后一种方法不具备普遍性.
2.证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式,一种方法为变换不等式两个变元成为一个整体,另一种方法为转化后利用函数的单调性,如不等式f(x1)+g(x1)变式训练3已知x= 为函数f(x)=ln x-ax+a的极值点.
(1)求a;
则g'(x)=ln x-2x+2=f(x),f(1)=0,
且当0当x00,g(x)单调递增,
当1由g'(x0)=0得ln x0=2x0-2,
探究点四　利用导数解决函数的零点或方程的根的问题
【例4】 已知函数
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a≤1时,求函数f(x)在区间(0,e]上零点的个数.
x (0,e1-a) e1-a (e1-a,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
所以f(x)的单调递增区间为(0,e1-a),单调递减区间为(e1-a,+∞).
(2)由(1)可知f(x)的最大值为f(e1-a)=
①当a=1时,f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,e)内单调递减.
又f(1)=0,故f(x)在区间(0,e]上只有一个零点.
②当a<1时,1-a>0,e1-a>1,则f(e1-a)=
所以f(x)在区间(0,e]上无零点.
综上,当a=1时,f(x)在区间(0,e]上只有一个零点,
当a<1时,f(x)在区间(0,e]上无零点.
规律方法　利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值、最值,通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.
变式训练4已知函数f(x)=ax(x-1)-ln x (a∈R).
(1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数g(x)=f(x)+ x(2-ax)有两个不同的零点,求a的取值范围.
解 (1)当a=3时,f(x)=3x2-3x-ln x,所以f'(x)=6x-3- ,
根据导数的几何意义可知,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=2,
又因为f(1)=0,所以所求切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
当a>0时,由g'(x)<0,得x∈(0,1),所以g(x)在(0,1)内单调递减;
由g'(x)>0,得x∈(1,+∞),所以g(x)在(1,+∞)内单调递增.
所以g(x)在x=1处取得唯一极小值,也是最小值,g(1)=- a+1.
要使g(x)有两个不同的零点,则必有g(1)<0,即- a+1<0,解得a>2.
因为g(2)=2a-2(a-1)-ln 2=2-ln 2>0,
根据零点存在定理可知, x1∈(1,2),使得g(x1)=0,且g(x)在[2,+∞)内没有零点.
因为g(x)= a(x2-2x)+x-ln x,
当x∈(0,1)时,有x2-2x+1=(x-1)2>0,所以x2-2x>-1.
又因为x2-2x=x(x-2)<0,所以-1当0当x>1时,g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)内单调递增.
所以g(x)在x=1处取得唯一极小值,也是最小值,g(1)=1>0,所以g(x)≥g(1)=1,此时g(x)无零点.
综上所述,g(x)在区间( ,1)以及(1,2)内各有一个零点,在区间(0, ]以及[2,+∞)内没有零点,所以g(x)有两个零点,故a>2满足题意.
当a=0时,g(x)=x-ln x,g'(x)=
所以g(x)在(0,1)内无零点.
又因为g(x)在区间(1,+∞)内单调递减,所以g(x)在区间(1,+∞)内至多有一个零点.
所以g(x)至多有一个零点,不符合题意.
综上所述,a的取值范围是(2,+∞).
学以致用·随堂检测促达标
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1.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为(　　)
C
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3
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2.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<1(x∈R),则不等式f(x)A.(1,+∞) B.(-∞,-1)
C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
A
解析 不等式f(x)设g(x)=f(x)-x,由题意g'(x)=f'(x)-1<0,g(x)单调递减,g(1)=f(1)-1=1,
故原不等式 g(x)1.
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3. 已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中正确的是(　　)
A.eπ>πe>3e B.πe>3e>eπ C.eπ>3e>e3 D.3e>eπ>e3
A
解析 先判断πe,eπ及e3,3e大小,即π,eln π及3,eln 3的大小,设函数f(x)=x-eln x,则f'(x)= ,当0e时, f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)内单调递增.
因此f(x)min=f(e)=eln e-e=0,故π>eln π,3>eln 3,故eπ>πe,e3>3e,所以eπ>πe>3e,其他选项均错误.
故选A.
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4
4.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点,则a的取值范围是　 .
(-2,2)
解析 f'(x)=3x2-3,
令f'(x)=0,得x=1或x=-1.
因为当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x∈
(-1,1)时,f'(x)<0,所以f(x)极小值=f(1)=-2,
f(x)极大值=f(-1)=2.函数y=x3-3x的大致图象如图所示,所以-25
1
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(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若方程f(x)=a(a∈R)有3个不同的实根,求a的取值范围.
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2
3
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解 (1)f'(x)=x2-2x-8,
令f'(x)=0,得x=-2或4,所以在(-∞,-2)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,
在(-2,4)内,f'(x)<0,f(x)单调递减,
在(4,+∞)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=9,
在x=4处取得极小值f(4)=-27,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-2,4).
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,
只需曲线y=f(x)与直线y=a有三个交点,
由(1)可得f(x)的单调性和极值,所以-27所以a的取值范围为(-27,9).
本 课 结 束

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