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第2章
本章总结提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
目录索引
易错易混·衔接高考
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一　导数几何意义的应用
1.导数的几何意义的应用,主要体现在与切线方程相关的问题,是高考的热点内容之一,呈现形式为选择、填空、解答,一般中等难度.
2.导数几何意义考查的核心素养是数学运算和直观想象.
D
规律方法　利用导数求切线方程的关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种:一类是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程;另一类是求“过某点的切线方程”,点(x0,y0)不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),由 =f'(x1)和y1=f(x1),求出x1,y1的值,再转化为第一种类型.
变式训练1过点(0,-1)作曲线f( )=ln x(x>0)的切线,则切点坐标为　　　.
专题二　函数的单调性、极值、最值问题
1.函数的单调性、极值、最值是函数的重要性质,也是高考的热点,利用导数研究函数的单调性是研究此类问题的根本.
2.掌握函数的单调性、极值、最值,重点提升数学运算和直观想象素养,运用数形结合、分类讨论等数学思想.
角度1.利用导数求函数的单调区间
【例2】 已知函数f(x)=e2x+(1-2m)·ex-mx(m∈R),讨论f(x)的单调性.
解 f(x)的定义域为R,f'(x)=2e2x+(1-2m)ex-m=(2ex+1)(ex-m),
∴当m≤0时,f'(x)>0,即f(x)在R上单调递增;
当m>0时,令f'(x)=0,解得x=ln m,∴在区间(-∞,ln m)上,f'(x)<0,在区间
(ln m,+∞)上,f'(x)>0,
∴f(x)在区间(-∞,ln m)内单调递减,在区间(ln m,+∞)内单调递增.
综上所述,当m≤0时,f(x)在R上单调递增;
当m>0时,f(x)在区间(-∞,ln m)内单调递减,在区间(ln m,+∞)内单调递增.
规律方法　利用导数求函数的单调区间转化为解不等式问题,常见的有解二次不等式、指数不等式、对数不等式.当解含参不等式时需要进行分类讨论,注意要做到不重不漏.
变式训练2已知函数f(x)=x2-ax+2ln x.
(1)若a=1,求f(x)在(1,0)处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调区间.
①当Δ≤0,即-4≤a≤4时,p(x)≥0,即f'(x)≥0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
②当Δ>0,即a<-4或a>4时,
当a<-4时,p(0)=2,则p(x)>0,即f'(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
由f'(x)>0,即p(x)>0,得0x2;
由f'(x)<0,即p(x)<0,得x1所以函数f(x)的单调递增区间为(0,x1),(x2,+∞),单调递减区间为(x1,x2).
综上所述,当a≤4时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
角度2.构造法的应用
【例3】 已知定义在(0, )内的函数f(x),f'(x)是它的导函数,且恒有
sin x·f'(x)>cos x·f(x)成立,则(　　)
D
【例4】 已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.(2,+∞)
C
∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,
即函数g(x)在定义域上为减函数.
∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,
则不等式等价于g(x)∵函数g(x)为减函数,
∴x>0,∴不等式f(x)<2ex的解集为(0,+∞),故选C.
规律方法　导数问题中的构造方法主要用于解决比较函数值大小或求解不等式.
解决比较函数值大小的题目关键是构造出恰当的函数,求出该函数的导数,利用单调性进而确定函数值的大小;对于求解不等式则需构造恰当的函数并判断其单调性,利用单调性求解不等式.
变式训练3已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),当x≠0时,
,则a,b,c的大小关系正确的是(　　)
A.aC.aB
解析 令g(x)=xf(x),
则g(-x)=-xf(-x)=xf(x),∴g(x)是偶函数.
g'(x)=f(x)+xf'(x),
专题三　导数的综合应用
【例5】 设函数f(x)=(x+a)ln x-x+a,a∈R.
(1)设g(x)=f'(x),求函数g(x)的极值;
(2)若a≥ ,试讨论函数f(x)=(x+a)ln x-x+a的零点个数.
解 (1)∵f(x)=(x+a)ln x-x+a,a∈R,∴g(x)=f'(x)=ln x+ ,定义域为(0,+∞).
①当a≤0时,g'(x)>0恒成立,
g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,无极值.
②当a>0时,令g'(x)=0,解得x=a,
∴当x∈(0,a)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x)的极小值g(a)=ln a+1,无极大值.
规律方法　利用导数解决不等式的证明及函数的零点的求解与证明时,注意运用构造函数和转化思想,确定零点个数时多用零点存在定理.
变式训练5[2024山东潍坊期末]已知函数f(x)=a(ex+a)-2ln x(a>0),f(x)的导函数为f'(x).
(1)当a=1时,解不等式f(x)>ex;
(2)判断f'(x)的零点个数;
(3)证明:f(x)≥4+a2+ln .
令g(x)=axex-2(x>0),
又a>0,则g'(x)=a(x+1)ex>0,
所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
所以f'(x)在区间(0,+∞)内有且只有一个零点x0.
(3)证明 由(2)知,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)在(0,x0)内单调递减,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)内单调递增,所以f(x)≥f(x0)=a(+a)-2ln x0.
专题四　导数在实际问题中的应用
1.利用导数解决实际问题,多考查实际问题中的最优解问题,主要体现在“多”“快”“好”“省”几个方面,根据题目的情境建立函数模型是关键.
2.利用导数解决实际问题考查的核心素养是数学建模.
【例6】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解 (1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的建造成本为160πr2,所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元,
令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).
当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在区间(0,5)内单调递增;
当r∈(5,5 )时,V'(r)<0,故V(r)在区间(5,5 )内单调递减.
由此可知,V(r)在r=5处取得极大值也为最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
规律方法　1.应用导数解决实际问题的关键是认真分析题意,建立函数模型.由于是实际问题,要注意根据问题实际确定函数的定义域.
2.根据所建立的函数模型,用导数求最大、最小值.
变式训练6
如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC, △ECA,△FAB,使得点D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥的体积最大为　　　　cm3.
易错易混·衔接高考
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1.[2024全国新高考卷Ⅱ,6]设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=(　　)
A.-1 B. C.1 D.2
D
(方法二)h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x.
又x∈(-1,1),h(x)为偶函数,唯一零点只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.
故选D.
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2.[2024安徽宣城模拟]已知实数a,b分别满足ln(a+1)=0.01,eb=1.01,且
则(　　)
A.aC.cC
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B.f(x)有两个不同的零点
C.f(4)D.π4<4π
AC
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解析 对于A,f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)= ,令f'(x)<0,得x>e,令f'(x)>0,得0所以f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减,
所以f(x)在x=e处取得极大值f(e)= ,故A正确;
对于B,令f(x)=0,解得x=1,
又当x>1时,f(x)>0,
所以函数f(x)有且仅有一个零点,故B错误;
对于C,由f(x)在(e,+∞)内单调递减,得f(4)对于D,因为f(4)所以ln 4π故选AC.
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4.(多选题)[2024河北邢台二模]若关于x的不等式ex-2+x≥2ax2-xln x在(0,+∞)内恒成立,则实数a的值可以是(　　)
AB
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令h(t)=et-t-1,h'(t)=et-1,故当t∈(-∞,0)时,h'(t)<0,h(t)单调递减,当t∈(0,+∞)时,h'(t)>0,h(t)单调递增,故h(t)≥h(0)=0,故ex-2-ln x+1-x+ln x≥0,则不等式成立;
当a> 时,令u(x)=x-2-ln x,因为u(1)=-1<0,u(4)=2-2ln 2>0,故u(x)在(1,4)内必有零点,设为x0,
故选AB.
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5.[2024广东惠州检测]设满足方程(2aln a-b)2+(c2-mc+3+d)2=0的点(a,b),(c,d)的运动轨迹分别为曲线M,N,若在区间 上,曲线M,N有两个交点(其中e=2.718 28…是自然对数的底数),则实数m的最大值
为　　　　　.
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解析 ∵(2aln a-b)2+(c2-mc+3+d)2=0,
∴2aln a-b=0,c2-mc+3+d=0.
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6.[2024全国新高考卷Ⅰ,18]已知函数f(x)= +ax+b(x-1)3.
(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;
(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;
(3)若f(x)>-2,当且仅当11
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(2)证明∵f(2-x)=ln(2-x)-ln x+a(2-x)+b(1-x)3,∴f(2-x)+f(x)=2a,∴函数f(x)的图象关于点(1,a)对称.故曲线y=f(x)是中心对称图形.
(3)解 由(2)知,f(x)的图象关于点(1,a)对称.
若f(x)>-2,当且仅当1∴a=-2.
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7.[2024全国新高考卷Ⅱ,16]已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
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解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,则切点为(1,e-2).又f'(x)=ex-1,k=f'(1)=e-1,故所求切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),整理得(e-1)x-y-1=0.
(2)由题得,f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0恒成立,则f(x)在R上为增函数,无极值,所以a>0.
令f'(x)=0,得x=ln a.
当f'(x)<0时,x0时,x>ln a,故函数f(x)在区间(-∞,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(ln a)=a-aln a-a3<0,即1-ln a-a2<0.令g(x)=-x2-ln x+1,x>0,g'(x)=-2x- <0,所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又g(1)=0,所以g(a)1,故a的取值范围为(1,+∞).
本 课 结 束

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