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(共22张PPT)
8.2.1 一元线性回归模型
第八章 成对数据的统计分析
数学
2.经历完整的统计活动过程，体会应用统计的思想和方法解决实际问题.
学习目标
1.能结合具体实例，通过分析变量间的关系建立一元线性回归模型，并能说明模型参数的统计意义，提高数据分析能力.
学习重难点
重点：
一元线性回归模型的概念，随机误差的概念、表示与假设．
难点：
回归模型与函数模型的区别，随机误差产生的原因与影响．
课堂导入
函数模型——确定性关系
统计模型——相关关系（非确定关系）
研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测.
课堂导入
问题1：一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180
儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182
以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图；
由图可知散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关. 利用统计软件，求得样本相关系数为r≈0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高.
问题2 ：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？
课堂导入
1.儿子身高和父亲身高这两个变量不是函数关系，不能用函数模型刻画.
2.表中的数据，存在父亲身高相同而儿子身高不同的情况.
在第3，4个观测中，儿子的身高都是170cm，而父亲的身高分别为173cm和169cm.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180
儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182
可见儿子的身高不是父亲身高的函数，同样父亲的身高也不是儿子身高的函数，所以不能用函数模型来刻画.
课堂探究
问题3 ：因为存在这些随机的因素，使得儿子的身高呈现出随机性.各种随机因素都是独立的，有些因素又无法量化.考虑到这些随机因素的作用，我们该如何引入适当的变量，借助一次函数关系刻画父亲身高对儿子身高的影响呢？
若用 x 表示父亲身高，Y 表示儿子身高，e 表示随机误差，则
假定随机误差 e 的均值为 0，方差为与父亲身高无关的定值 σ2.
课堂探究
思考：
为什么要假设 E(e）=0，而不假设其为某个不为 0 的常数？
①因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为0.
②如果随机误差是一个不为0的常数α，则可以将α合并到截距项a中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解.
③如果α不为0，则表示存在系统误差，在实际建模中也不希望模型有系统误差，即模型不存在非随机误差.
课堂探究
问题4：根据以上的分析，你能建立一个数学模型表示儿子身高与父亲身高的关系吗？
我们称(1)式为Y 关于x的一元线性回归模型.
其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；
a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；
e是Y与bx+a之间的随机误差.
模型中的Y也是随机变量，其值虽不能由变量x的值确定，但却能表示为bx+a与e的和，前一部分由x所确定，后一部分是随机的.
如果e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.
课堂探究
思考
结合父亲与儿子身高的实例，说明回归模型(1)的意义？
对于父亲身高x和儿子身高Y的一元线性回归模型(1)，可以解释为：父亲身高为xi的所有男大学生的身高组成一个子总体，该子总体的均值为bxi+a，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系.
思考
对于父亲身高为xi 的某一名男大学生，他的身高yi一定是bxi+a吗？
对于父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi并不一定为bxi+a，它仅是该子总体中的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项ei=yi-(bxi+a).
课堂探究
1.在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差 e 的原因有:
(1) 除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等；
(2)在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差；
(3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差e的原因.
问题5：如何理解随机误差e对儿子身高的影响？
课堂探究
问题5：如何理解随机误差e对儿子身高的影响？
假设没有随机误差，则儿子身高Y只受父亲身高x影响，则Y=bx+a

也可以记作
Y=bx+a+e
随机误差e
随机误差 e 的特征
随机误差e是一个随机变量
①可取正或取负
②有些无法测量
③不可事先设定
对于任意一组（xi,Yi）,都有一个ei与之对应
课堂探究
函数模型与回归模型之间的差别
函数模型：
回归模型：
一元线性回归模型Y=bx+a+e 增加了随机误差项e，因变量Y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解释部分Y的变化.
解释变量x (身高)
模型误差e (其它所有变量)
响应变量Y(体重)
举例：①路程与速度的关系②正方体体积与边长的关系可以应用函数模型刻画③体重与身高的关系④冷饮销量与气温的关系可以用回归模型刻画。
典例解析
例：儿童的身高随年龄的增加而增加，我国0~12岁儿童的平均身高如表所示.
课堂探究
年龄/岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均身高/cm 76.5 86.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2 145.3 151.9
解：(1)①用散点图定性分析
②用线性相关系数r进行定量分析
综上，可以用一元线性回归模型进行刻画.
（1）儿童的平均身高Y与年龄t之间能否用一元线性回归模型来刻画？
（2）请说明模型中bx+a和e在本题中的具体含义是什么？
(2)bx+a表示年龄对儿童平均身高的主要影响；
e表示其它因素对儿童平均身高的次要影响.
随堂练习
若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型 y＝bx＋a＋e (单元：亿元)，其中 b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，今年支出预计不会超过多少？
解：因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型 y＝bx＋a＋e，
其中 b＝0.7，a＝3，所以得到 y＝0.7 x＋3＋e，
当 x＝10 时，得 y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，
而 |e| ≤0.5，即－0.5≤ e ≤0.5，所以 9.5≤ y ≤10.5，
所以今年支出预计不会超过 10.5 亿元．
练一练
名师解惑
一元线性回归模型
1.定义与公式：
2.模型假设：
（1）线性关系假设：Y与X之间存在线性关系.
（2）独立性假设：观测值之间相互独立.
（3）正态性假设：误差项服从均值为0，方差为 的正态分布.
3.常见误区：两个变量不是线性相关关系，却生搬硬套一元线性回归模型 .

评价反馈
解 (1),(2),(3),(4),(5)回归模型 (6),(7)函数模型．
1.判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画
(1)某公司的销售收入和广告支出；
(2)某城市写字楼的出租率和每平米月租金；
(3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率；
(4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)；
(5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间；
(6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间；
(7)正方形的面积与周长．
评价反馈
2.（多选）如图，在四个散点图中，适合用一元线性回归模型拟合其中两个变量的是( )
AC
评价反馈
3．工人工资y(单位：元)与劳动生产率x(单位：千元)的线性回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是(　)
A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
解：因为回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．　
B
回顾建立一元线性回归模型的过程，你能说出建立回归模型的依据，并谈一谈对回归模型的认识吗？
课堂小结
建立一元线性回归模型的步骤
定性分析
定量分析
函数关系或相关关系或没有关系
其中,Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差.
（3）如果线性相关，建立一元线性回归模型（否则就是其它曲线回归模型）
（2）分析数据
（1）整理数据：散点图
教科书第107页练习第2，3题.
布置作业
谢谢大家

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