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(共25张PPT)
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）
第六章 计数原理
数学
学习目标
①通过实例,归纳分类加法计数原理、分步乘法计数原理,并加以理解．
②正确理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”．
③能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题．
2025年2月28日第九届中国残疾人冰雪季大众冰雪嘉年华北方主场活动在河北省张家口市崇礼区启动.一名观众要从广州赴张家口观看现场启动仪式，已知从广州到张家口每天有3个航班,2列高铁.该名观众从广州到张家口共有多少种不同的方法 (提示:该名观众从广州到张家口的方案可以分为几类 在这几类方案中各有几种方法 )
情境导入
课堂导入
探究原理
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.
课堂探究
探究一　分类加法计数原理
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的每一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
上述计数过程的基本环节是：
（1）分类：确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）计数：分别计算各类号码的个数；
（3）求和：将各类号码的个数相加，得出结果。
36种
课堂探究
问题1
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m+n种不同的方法.
思考：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？
课堂探究
探究原理
54种
上述计数过程的基本环节是：
（1）分步：由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；
（2）计数：分别计算各步号码的个数；
（3）求积：将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.
课堂探究
探究二　分步乘法计数原理
问题2 用前6个大写的英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，… ， A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
思考：如果完成一件事需要三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法
N＝m1×m2×m3
如果完成一件事需要n个步骤,做每一步都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢
课堂探究
类型 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
关键词 分类 分步
区别 每类方法都能独立完成这件事 每个步骤完整，才能完成这件事
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是串联的、独立的，“串联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 辨析出真知
课堂探究
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 经济学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
初步应用
例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
课堂探究
分析:要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.
解 这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择 方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为
N=5+4=9.
课堂探究
书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
6+5=11
课堂探究
【跟踪训练】
初步应用
例2.某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析 要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：
第1步,选男生；
第2步,选女生.
解： 第1步,从30名男生中选出1名,有30种不同选择；第2步,从24名女生中选出1名,有24种不同选择.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为
N=30×24=720.
课堂探究
书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法？
6×5=30
课堂探究
【跟踪训练】
例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同取法
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,有多少种不同取法
解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为N=4+3+2=9.
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分成三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为N=4×3×2=24.
初步应用
课堂探究
例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
分析 要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，
可以分步完成.
解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，
可以分两个步骤完成:
第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法，
第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是
N=3×2=6.
初步应用
课堂探究
课堂探究
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事.
思维升华：
课堂探究
1.判断对错
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (　)
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　)
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． (　)
当堂达标
×
√
√
×
2.某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数为______．
16
评价反馈
当堂达标
3.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从中选1人完成这项工作，一共有______种选法.
9
4.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.
(1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
(2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
N=3×5×4=60.
N=3+5+4=12.
评价反馈
课堂小结
问题3 你能否用其他学科的知识与我们本节课学习的两个计数原理进行类比呢 请举例说明.
课堂小结
问题4：在本节课中，你是按照怎样的思路来学习的，学习了哪些知识，学到了什么数学思想方法
1.学习思路：
问题4 在本节课中，你是按照怎样的思路来学习的，学习了哪些知识，学到了什么数学思想方法
1.学习思路：
分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.
完成了所有步骤 ,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步方法数相乘,得到总数.
2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的方法技巧
课堂小结
问题4
布置作业
1.整理本节所学知识,梳理知识脉络,完成对应学案.
2.教科书第5页练习1、2题.
3.（选做题）
（1）.集合 的子集有多少个，能否用计数原理进行证明
（2）.金刚石晶体中每个碳原子被几个最小的碳环共用
谢谢大家

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