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6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）
第六章 计数原理
数学
学习目标
①进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
②能熟练运用两个原理解决一些实际问题．
复习引入
类型 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
关键词 分类 分步
区别 每类方法都能独立完成这件事 每个步骤完整，才能完成这件事
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是串联的、独立的，“串联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 1、两个计数原理
2、比较两个计数原理的区别与联系
课堂导入
例1 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z,后两个字符要求用数字1~9,最多可以给多少个程序模块命名？
分析：要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：
第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符，而首字符又可以分为两类。
解： 由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.
后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.
由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9=1053,
即最多可以给1053个程序模块命名.
典例解析
课堂探究
例2 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态,而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法,即二进制.为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用1个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成.
(1)1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符
(2)计算机汉字国标码包含了6 763个汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示
典例解析
分析：(1)要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”.由于每个字节有8个二进制位,每一位上的数字都有0,1两种选择,而且不同的顺序代表不同的字符,因此可以用分步乘法计数原理求解;(2)只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6 763个即可.
课堂探究
解：（1）用下图表示1个字节,每一格代表一位.
1个字节共有8位，每位上有2种选择. 根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256.
（2）由(1)知,1个字节所能表示的不同字符不够6763个,我们考虑2个字节能够表示多少个字符.前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256×256=65536.
这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.
课堂探究
1、某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0~9中的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
2、某种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有0~9共10个数字.现最后一个拨号盘出现了故障,只能在0~5这6个数字中拨号,这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码
跟踪训练
10×10×10×10=10000
10×10×10×6=6000
课堂探究
例3 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线),以便知道需要提供多少个测试数据.一般地,一个程序模块由许多子模块组成.如图,这是一个具有许多执行路径的程序模块,它有多少条执行路径
典例解析
课堂探究
分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成:第1步是从开始执行到A点;第2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成;第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成.因此,分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.
解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2,、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91；
子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.
又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.
课堂探究
其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
例4 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.
典例解析
课堂探究
解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.
（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为.
（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为.
同样，其余四个子类号牌也各有240000张.
根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为
课堂探究
（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为.
同样，其余九个子类号牌也各有576000张.
于是，这类号牌张数一共为.
综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000.
课堂探究
方法总结
用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步.
分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，才能完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
解决抽取(分配)问题的方法：(1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法.(2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若按对象特征抽取,则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
课堂探究
当堂达标
1.从5名同学中选出正、副组长各1名，有____种不同的选法.
2.从包含甲在内的5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为________.
3. 某学校有东、南、西、北四个校门,学校对进入四个校门做出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序),请问进入校园的方式共有______种.
4.(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有_____项.
96
32
45
20
评价反馈
课堂小结
作业
完成本节对应学案及课后巩固作业
布置作业
谢谢大家

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