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(共25张PPT)
6.2.1 排列
第六章 计数原理
数学
学习目标
①能通过实际问题抽象出排列的定义，并能用自己的语言解释排列的定义，提升数学抽象素养.
②能通过实例，利用排列的定义判断排列问题，提升逻辑推理素养．
环节一 问题探究，分析特性
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选取2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
要完成的一件事是“选出2名参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学
参加下午的活动”，可以分两个步骤：
如图所示，可以先取后排，从3名同学中选取2名同学，有3种选法：{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}，每种选法均有2种排法；也可以边取边排，分两步完成，即先从3名同学中选1名参加上午的活动，有3种选法，再从剩下的2名同学中选1名参加下午的活动，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为
3×2=6.
课堂探究
追问 ：上述“先取后排”与“边取边排”两种方法各自的有点是什么？
“先取后排”是先选人再安排上午、下午，是先定人再定序，很直接，但如果定人的情况多，列举法不容易做到“不重不漏”；“边取边排”是先上午后下午，人和顺序一起考虑，程序简捷.
课堂探究
归纳本质：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
ab,ac,ba,bc,ca,cb,
不同的排列方法种数为
3×2=6.
此处的顺序是指的什么？
课堂探究
问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
（1）问题2中要完成的是一件什么事？
（2）如何完成这件事？
（3）用什么计数原理可以得到三位数的个数？
课堂探究
环节一 问题探究，分析特性
显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：
第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；
第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.
根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为
4×3×2=24.
因而共可得到24个不同的三位数，如图所示.
课堂探究
百位
十位
个位
由此可写出所有的三位数：
123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432.
课堂探究
追问1 ：如果把问题2中的数字1，2，3，4叫做元素，并用表示，这个问题可以怎样叙述？
课堂探究
归纳本质: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任意取出3个,并按照一定的顺序排成一列 共有多少种不同的排列方法？
追问2 ： 在问题2中，“按一定顺序排列”体现在哪里？
课堂探究
确定一个三位数的本质就是确定百位、十位、个位上的数字.这样，“百位、十位、个位”就是“一定的顺序”.
问题1的本质是:从3个不同的元素中,任取2个,按一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法.
问题2的本质是:从4个不同的元素中, 任取3个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法.
问题3：上述问题1和问题2的共同点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？
课堂探究
环节二 抽象概括 形成概念
一般地，从n个不同元素中取出m (m ≤ n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
注意：
（1）元素不能重复.
（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键.
（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序 也完全相同.
（4）为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树状图”.
（有序性）
（互异性）
概念形成
课堂探究
追问1 ： 问题1中“甲乙”与“乙甲”是相同的排列吗？
课堂探究
“甲乙”与“乙甲”是不同的排列，因为前者是“甲参加上午的活动，乙参加下午的活动”，后者是“乙参加上午的活动，甲参加下午的活动”.
追问2 ： 两个排列相同要满足什么条件？
课堂探究
两个排列相同的充要条件：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
追问3 ：从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，求解有多少种方法时，我们选择更好的求解思路是什么？
课堂探究
可以选择“先取后排”，但很多时候最好选择“边取边排”.
例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
（1）我们要完成一件什么事？这件事的完成与“顺序”有关吗？
（2）可以化归为“从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列”的排列问题吗？
（3）如何利用计数原理计算比赛场次？
课堂探究
环节三 应用概念 巩固理解
解： 先从6支队选1支队为主队，然后从剩下的5支队中选1支队为客队，按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
6×5=30.
课堂探究
练习1 判断下列两个问题是不是排列问题，请说明理由.
（1）从2，3，5，7中任取两数相除，可以得到多少个不同的商？
（2）从2，3，5，7中任取两数相乘，可以得到多少个不同的积？
课堂探究
（1）从2，3，5，7中任取两数相除，因为被除数与除数具有顺序性，这是排列问题.
（2）从2，3，5，7中任取两数相乘，因为乘法具有交换律，所以没有顺序性，不是排列问题.
例2 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
(2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析： 3名同学每人从5盘不同菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置(给3名同学)的一个排列.
解： (1)先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种为
5×4×3=60.
课堂探究
解：(2)先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从从5种菜中选1种，有5种选法; 最后让同学丙从5种菜中选1种,有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×5×5=125.
分析：3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，
不能看成一个排列.
例3 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
(2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
课堂探究
练习2 （1）4本不同的书中取2本分给2名同学，每人一本，有多少种不同的分法？
（2）3本不同的书分给3名同学，每人一本，有多少种不同的分法？
课堂探究
（1）“从4本不同的书中取2本分给2名同学，每人一本”可以化归为“从4个元素中取出2个元素排成一列”的排列问题，分两步完成：先从4本书中取1本给第1名同学，再从剩下的3本书中取1本给第2名同学.由分步乘法计数原理，得不同的分法种数为.
（2）“将3本不同的书分给3名同学，每人一本”可以化归为“从3个元素中取出3个元素排成一列”的排列问题，分三步完成：先从3本书中取1本给第1名同学，再从剩下的2本书中取1本给第2名同学，最后将剩下的1本书给第3名同学.由分步乘法计数原理，得不同的分法种数为.
目标检测，巩固知识
1.判断下列问题是不是排列问题，
（1）从班上50名学生中选出正、副班长各一人，共有多少种选举结果？
（2）某单位从10名员工中派2名员工去开会，共有多少种派遣方案？
2.教科书第16~17页练习第1，2，3题.
课堂探究
课堂小结
课堂小结
回顾本节课所学内容，并回答下列问题：
（1）排列的定义中有哪些关键词？
（2）如何判断一个计数问题是不是排列问题？
（3）如何求出一个排列问题中所有排列的个数？
布置作业
作业1：教科书第26页习题6.2第5，9题.
作业2：预习教科书6.2.2排列数，说一说排列数与排列的关系.
谢谢大家

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