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6.2.4 组合数
第六章 计数原理
数学
学习目标
①能类比排列数的学习过程，在组合概念的基础上给出组合数的定义和表示，能区分组合与组合数.
②能利用组合与排列的关系推导出组合数公式，并能用于解决简单的组合问题．
学习重难点
重点: 掌握组合数公式.
难点: 组合数公式的推导与应用.
问题1 回顾排列数的学习过程，思考下列问题：
（1）排列数的定义是什么？排列数如何表示的？
（2）类比排列数的定义和表示，我们应该如何定义和表示组合数？
（3）组合与组合数的区别是什么？
课堂导入
(1)从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
(2) 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.
(3)组合是指从个不同元素中取出个元素作为一组，是取法，它不是数；组合数是指从个不同元素中取出个元素的所有不同的取法种数.
问题2 在上一节课例题中，我们以“元素相同”为标准分类，借助排列“先取后排”的思路，建立组合与排列之间的对应关系，你能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢
课堂探究
设这4个元素为a，b，c，d，那么通过列举法从中取出3个元素的组合数是，从中取出3个元素的排列数，根据上一节课的经验，以“元素相同”为标准将这24个排列和4个组合对应起来，如图所示.
课堂探究
（1）设这4个元素为，你能列举出“从这4个元素中取出3个元素”的所有组合及每个组合对应的排列么 按照“元素相同”为分类标准，你能画出组合与排列对应图吗
（2）根据“先取后排”的思路和乘法计数原理，排列数与组合数的关系是什么 你能由排列数来求组合数吗
根据“先取后排”的思路和乘法计数原理，排列数与组合数的关系是，由此可得.
课堂探究
（3）你能归纳总结由排列数来求组合数的步骤与思路吗
先用“先取后排”的方式计算“从4个不同的元素中取出3个元素的排列数”.
第一步，从4个不同的元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；
第二步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法.
于是，根据分步乘法计数原理，有然后根据此关系得到.
求解思路是：“从个不同元素中取出个元素排成一列”需要先“从个不同元素中取出个元素并成一组”，再“将这一组元素排成一列”，也就是说组合这件事可以看成是完成排列这件事情的第一个步骤.
课堂探究
求的步骤为：
第一步，从个不同元素中取出个不同元素作为一组，共有种不同的取法；
第二步，将取出的个不同元素做全排列，共有种不同的排法.
于是，根据分步乘法计数原理，有，即，所以有
这个公式叫做组合数公式
借用上面用来求的思路，如何由排列数来求组合数呢
课堂探究
结合和，还可以得到组合数公式的什么形式
因为排列数公式有两种形式，由可以得到组合数公式的另一种形式，即
由于规定，若允许，则可得.
课堂探究
观察组合数公式的两种形式，发现这两个公式的特点都是分式的形式，实际上，组合数要求“从个元素中取出个元素不排序”，因此除式就是要把排列数中个元素排列的个数剔除掉.
是连乘积的形式，数字较小因数不多时，比较方便直接计算；
是阶乘的形式，比较简洁，可以减少繁琐的表达.
上述两个组合数公式有什么特点
课堂探究
例1 计算：（1）（2） （3）； （4）
思考：观察例1的(1)与(2)，(3)与(4)的结果，你有什么发现和猜想 能证明和解释你的猜想吗
=
课堂探究
根据组合数公式，可得
（1）；（2）；
（3）; （4）.
证明 因为，，所以.
解释 从个不同元素中取出个元素后，必然剩下个元素，这种对应关系使得“从个不同元素中取出个元素的组合数”等于“从个不同元素中取出个元素的组合数”.
根据，就可以得到，道理也一样，即从个不同元素中取出个或者0个元素作为一组，只有1种取法.
=
课堂探究
课堂探究
练习1 计算（1）； （2）； （3）； （4）; （5）.
解（1）;（2）; （3）; （4）;（5）.
观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想 能否证明和解释你的猜想
猜想.
证明 因为，
所以
解释 因为“从个不同元素中取出个元素作为一组”可以分为两类：
若没有选元素甲，则只需从剩下的个元素中选个，即有种选法；
若选了元素甲，则只需从剩下的个元素中选个，即有种选法.
最后由分类加法计数原理得到结论.
课堂探究
例2 课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,符合下列条件的选法各有多少种
(1)至少有一名队长入选;
(2)至多有两名女生入选;
(3)既要有队长,又要有女生入选.
解（1）分两类：第1类，有一名队长，即；第2类，有两名队长，即.根据分类加法计数原理，共有种.或采用间接法有种.
（2）分三类：第1类，有两名女生，即；第2类，只有一名女生，即；第3类，没有女生，即.根据分类加法计数原理，共有种.
（3）分两类：第1类，女队长入选，有种；第2类，女队长不入选，有种.根据分类加法计数原理，共有种.
课堂探究
练习2 从7名男生和4名女生中选取4人，分别求出符合下列条件的选法总数有多少种.
（1）甲、乙必须当选；
（2）甲、乙全不当选；
（3）甲、乙不全当选；
（4）至少有1名男生和一名女生当选.
课堂探究
解（1）；
（2）;
（3）;
（4）方法一：；
方法二：分1男3女，2男2女，3男1女三种情况，共种选法.
回顾本节课所学内容，并回答下列问题：
（1）组合与组合数有何不同？
（2）组合数公式推导的关键是什么？你能利用这个关键来分析吗？
（3）应用组合数公式时要注意什么？组合数有哪些性质？
课堂小结
教科书第26~28页习题6.2第2，10，13，14，16，18题.
布置作业
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