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6.3.1 二项式定理
第六章 计数原理
数学
学习目标
①能够结合多项式乘法运算法则及组合知识理解并掌握二项式定理的推导.
②熟记二项式定理及有关概念，会用二项式定理求解指定项的问题．
③会逆向应用二项式定理解决有关问题．
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决
一个在数学上有着广泛应用的(a+b)n展开的问题.
课堂导入
探究新知
（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律,能否用组合数加以解释呢？
（2）根据你发现的规律，你能写出 的展开式吗？
（3）进一步地，你能写出 的展开式吗？
课堂探究
.
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3
二项式定理
(a＋b)n＝++…++…+ (n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n+1项．
(3)二项式系数：各项的系数(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
(4)(a＋b)n展开式的第k+1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝.
新知学习
课堂探究
(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.
(2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(3)二项展开式中的二项式系数的和等于,即++…++…+.
(4)展开式的每一项形式都是，从字母的次数来说,是按照字母a的降幂排列,从第一项起：次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.
深入研究
++…++…+
课堂探究
二项式展开式的特点
典例解析
例1 求的展开式.
解 根据二项式定理
=
=++++++
=++15++15+6+
跟踪训练 写出的展开式.
解 +++++
课堂探究
典例解析
例2 （1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数.
解 （1）的展开式的第4项的系数是
= = = 358 = 280
因此，展开式第4项的系数是280.
（2） 的展开式的通项是 =(-1
根据题意，得3-k=2. ∴ k=1.
因此，的系数是(-1=-192.
课堂探究
方法总结
课堂探究
二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.
例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=×17-3×(2x)3,其二项式系数是=35,而第4项的系数是×23=280.
变式训练
的展开式的第3项.
的展开式的第r+1项.
的展开式的第6项的系数是_______.
解= = 2160
解= =
课堂探究
评价反馈
课堂探究
1.判断对错.
(1)(a+b)n的展开式中共有n项.(　　)
(2)在(a+b)n的展开式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.(　　)
(3)Cnkan-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.(　　)
(4)(1-x)n与(a+b)n的二项展开式的二项式系数相同.(　　)
D
B
课堂探究
2.若的展开式共有11项,则n等于(　　)
A.9 B.10 C.11 D.8
3.的展开式中x3项的系数为(　　)
A.-720 B.720 C.120 D.
课堂小结
1.二项式定理.
2.二项展开式的通项及二项式系数.
1.必做题：教科书第31页练习.
2.选做题:思考展开式的相关问题.
布置作业
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