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(共24张PPT)
数学探究 用向量法探究三角形的性质
第六章 平面向量
数学
学习目标
①借助向量运算，探索并证明三角形的性质,体验数学探究的过程和方法，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模素养，渗透数形结合思想.
②经历用向量法研究三角形性质的过程，积累向量法研究几何问题的活动经验，总结用向量方法处理几何问题的基本程序，体会向量在研究几何问题中的作用.
学习重难点
重点：
(1)用向量知识解决几何问题．
难点：
(1)用向量证明三角形的三条中线交于一点．
导入新课
勾股定理是几何学中最重要的定理之一,它的证明方法很多,你能用向量方法来证明吗 在Rt△ABC中，∠C=90°用向量方法证明= + ，并思考下列问题:
(1) 比起其他证明方法，向量法的优势在哪里
(2) 回顾以前的学习，在用向量证明很多几何图形的性质时，向量法都有很大的优势，那么向量法为什么会有这种优势呢
讲授新课
任务一:探究活动之选题
问题1 三角形是简单而重要的平面图形，它是平面几何的主角，初中对三角形有了较深入的研究，得到了很多重要的性质，学习了向量这个新的工具后，你认为我们可以提出哪些新的研究问题
讲授新课
任务一:探究活动之选题
追问:初中学过的三角形的哪些性质 这些性质主要涉及到了三角形的哪些要素 与三角形相关的要素还有哪些
讲授新课
任务二:探究活动之开题
问题2 回顾初中三角形性质的研究过程，请以三角形的内角和为180度为例说明我们是如何研究的
讲授新课
任务二:探究活动之开题
问题3 对于三角形的中线，你已知道它的哪些性质 接下来，你打算如何研究三角形中线的性质呢
讲授新课
任务三:探究活动之做题
追问1：从向量运算的角度出发，这三条中线对应的向量会有怎样的特点呢？
结论1：．
问题4 已知：在中，若D，E，F 分别是BC，CA，AB的中点，则有：
（1）三角形三条中线交于一点（重心）；
（2）三角形的重心是中线的三等分点．
三条中线对应的向量可以用三边对应的向量来表示：
．
讲授新课
任务三:探究活动之做题
追问2：我们已经知道三角形的重心是中线的三等分点，这个几何特征可以用向量的数乘运算来刻画，由此你又能得到怎样的结论呢？
结论2：.
结论3：若为内一点，为重心的充要条件是．
我们将此结论称为三角形重心的向量表示．
讲授新课
任务三:探究活动之做题
追问3：重心是三角形的三条中线的交点，可以说是三角形中的特殊点，那么对于平面内任意一点，它与三角形的三个顶点所形成的向量会有怎样的关系呢？
结论4：对于平面内任意一点P，有．
讲授新课
任务三:探究活动之做题
追问4：若从向量模的角度考虑，对于平面内任意一点，它到三角形三个顶点的距离如何表示？在GeoGebra软件上进行实验，你有什么发现？
当点P与重心O重合时，取到最小值．
讲授新课
任务三:探究活动之做题
追问5：如果从数量积运算角度考虑三角形中线的性质，你能发现哪些结论？
结论5：．
讲授新课
任务三:探究活动之做题
小结：回路定理
结论3是考虑结论2的逆命题而得到的；结论3与结论4是特殊与一般的关系．
讲授新课
任务三:探究活动之做题
追问6：我们引入三角形的三条中线后，得到了重心O的相关性质，实际上，还得到了一个，你有什么发现吗？
结论6：对于平面内任意一点P，有.
讲授新课
任务四:探究活动之结题
我们要对前面研究情况做一个总结，撰写一份研究报告，研究报告的格式参考课本65页的格式:
一、本课题组的成员姓名
二、发现的数学结论及发现过程概述
三、证明思路及形成过程描述
四、结论的证明或否定
五、用向量方法探索几何图形性质的一般步骤
六、收获与体会
讲授新课
任务四:探究活动之结题
问题5 通过本节的学习，请大家思考
(1)什么是数学探究活动 它应该经历哪些环节
(2)数学探究与平时的解题一样吗 为什么
评价反馈
1.若O为△ABC内一点,||=||=||,则O 是△ABC 的(　　)
A.内心 B.外心
C.垂心 D.重心
B
B解析:由向量模的定义知O到△ABC的三顶点的距离相等.故O 是△ABC 的外心,故选B.
评价反馈
2.已知M是△ABC所在平面内的任意一点,且++=3,则N是△ABC的 (　　)
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
C
C 解析:因为++=3,所以(-)+(-)+
(-)=0,即++=0.所以N是△ABC的重心.
评价反馈
3.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
D
D 解析:由·=·,得·-·=0,·(-)=0,即·=0,
则PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P为△ABC的垂心.
评价反馈
4.如图所示,在△ABC中,点O是外接圆的圆心,AB=4,AC=3,则·= .
-解析:设M是边BC的中点,连接OM(图略).由于点O是△ABC的外心,则OM⊥BC.所以·=(+)·=·=(+)·
(-)=(-)=-.
课堂小结
总结归纳
通过本节的学习，请大家思考
(1)什么是数学探究活动 它应该经历哪些环节
(2)数学探究与平时的解题一样吗 为什么
数学探究活动强调的是发现和提出有意义的问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方法，通过自主探究、合作交流的形式完成对数学结论的论证，主要包括选题-开题-做题-结题四个环节，它与平时的解题有着很大的区别.
布置作业
1.按照课本65页的格式撰写本节课的结题报告;
2.自选题目完成一次数学探究活动,体现选题-开题--做题--结题的四个环节;可供选择的题目如下:
课题1:继续探究三角形中线和重心的性质:
课题2:探究三角形高和垂心的性质;
课题3:探究三角形的内角平分线与内心的性质;
课题4:探究中垂线与外心的性质;
课题 5:三角形“四心”之间的关系.
谢谢大家

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