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2024—2025学年下学期期中考试
高一年级数学试卷
本试卷满分150分，考试时间：120分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知,,为虚数单位,且,则的值为（ ）
A． B． C． D．
2、简谐运动的相位与初相是（ ）
A．, B．, C．, D．,
3、设非零向量与的夹角为,定义与的“向量积”:是一个向量,它的模,若,,则（ ）
A． B． C． D．
4、已知点,,则与向量的方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
5、已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,且,则实数的值是（ ）
A．和 B． C． D．
6、为了得到函数的图像,只需把余弦函数上所有点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
7、中,内角,,所对的边分别为,,,若,则的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
8、已知是函数的零点,则( )
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9、的内角,,的对边分别为,,,,,,则（ ）
A． B．
C． D．外接圆的面积为
10、已知,且,则下列结论正确的是（ ）
A．当时,在上是增函数
B．不等式的解集是
C．的图象过定点
D．当时,的图象与的图象有且只有一个公共点
11、已知函数的部分图象如下图所示,
则下列给论中正确的是（ ）
A．
B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．是函数图象的一条对称轴
D．若,则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12、如果,是方程的两根,则__________.
13、若(为虚数单位)是纯虚数,则实数__________.
14、已知函数,,在区间上单调递减,则__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。）
15、(13分）设是两个不共线的向量,已知.
（1）求证:,,三点共线;
（2）若,且,求实数的值.
16、（15分）已知,为锐角,,.
（1）求的值;
（2）求的值.
17、（15分）已知函数.
（1）求证：是奇函数;
（2）求不等式的解集.
18、（17分）北京年冬奥会将于年月日在北京和张家口开幕,运动员休息区本着环保 舒适 温馨这一出发点,进行精心设计,如图,在四边形休闲区域,四周是步道,中间是花卉种植区域,为减少拥堵,中间穿插了氢能源环保电动步道,,且,,.
（1）求氢能源环保电动步道的长;
（2）若______.;求花卉种植区域总面积.
从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19、（17分）如图,分别是矩形的边和上的动点,且.
（1）若都是中点,求.
（2）若都是中点,是线段上的任意一点,求的最大值.
（3）若,求的最小值.高一数学期中考试参考答案
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1．【答案】B
【解析】因为,,
所以,得,所以.故选:B.
2．【答案】C
【解析】相位是,当时的相位为初相即.
故选:C.
3．【答案】A
【解析】由已知可得,,,
,,
,所以,
由定义可得.故选:A.
4．【答案】A
【解析】,,
与向量的方向相反的单位向量为.
故选:A.
5．【答案】B
【解析】由三角函数的定义可得,则,
整理可得,因为,解得,
故选:B.
6．【答案】D
【解析】因为,
所以为了得到函数的图像,
只需把余弦函数上所有点向右平行移动个单位长度,
故选:D.
7．【答案】A
【解析】由题意,,结合余弦定理可知,∵,∴.
8．【答案】B
【解析】均为单调增函数,故为单调增函数;
对A:因为,故,故A错误;
对B:因为,故,两边取对数可得,故B正确;
对C:,故,则,则,故C错误;
对D:因为,,故,则,,故D错误.
故选:B.
二、多选题（每小题5分，共3小题15分）
9．【答案】A,B,D
【解析】设的外接圆的半径为,∵,
∴,∴,,则外接圆的面积为,∵,∴,∴,∴. ∴ABD正确,C错误.
10．【答案】A,C
【解析】对A:当时,在上是增函数,故A正确;
对B:当时,,则,当时,,故B错误;
对C:,故C正确;
对D:当时,,令,
有,,
,
故在及上都至少有一根,
即的图象与的图象在及上都至少有一个交点,故D错误.
故选:AC.
11．【答案】A,C,D
【解析】依题意可得,,
所以,又,解得,所以,
对于A:由图象知过点,即,
所以,则,
又,所以,所以,故A正确;
对于B:由的图象向左平移个单位长度
得到 ,故B错误;
对于C:因为,
所以是函数图象的一条对称轴,故C正确;
对于D:若,
则取得最大(小)值且取最小(大)值,
所以,故D正确.
故选:ACD.
三、填空题（每小题5分，共3小题15分）
12．【答案】
【解析】由已知得,,且,
.故答案为:.
13．【答案】
【解析】由题意,复数,
又由复数为纯虚数,则,即,解得.
14．【答案】
【解析】∵在上单调递减,且,∴,∵
,∴,∴,,又由,,得,∴.
四、解答题（每小题12分，共5小题60分）
15．【答案】见解析
【解析】(1)由已知得.
.
又与有公共点,,,三点共线.
(2)由(1)可知,又,
∴可设,
,即,解得.
16．【答案】见解析
【解析】(1)因为,为锐角,则,,,
则,,
而.
(2)由,得:
,,
则.
17．【答案】见解析
【解析】(1)∵,即,
∴函数的定义域为.
在上任取一个自变量,
则,
为奇函数;
(2)任取,
,
由题设可得,,
故,
,
∴函数在上是增函数;
∵,为奇函数,
∴,
又函数在上是增函数,
∴,解得:.
∴不等式的解集为.
18．【答案】见解析
【解析】(1)因为,,所以,因为,,所以由余弦定理得:,因为,所以
(2)选①:;在中,由正弦定理得:,
因为,所以,由(1)知:,代入上式得:,解得:,
且
,
所以,
因为,所以,
故,
所以花卉种植区域总面积为
选②:,在中,由余弦定理得:,
解得:或(舍去),因为,所以,
所以,因为,
所以,故,
所以花卉种植区域总面积为
19．【答案】见解析
【解析】
(1)以点为原点建系,得,,,
∴.
(2)由(1)知,设,
∴,,
∴
当时,最大值.
(3)设,则,
∴,
当且仅当时,等号成立,故最小值是.

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