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衡阳县四中2025年上期高二创新实验班期中考试
数学试卷
满分150分，时量120分钟，命题人 刘孝军
一、选择题
1．已知,,.则M是( )
A. B. C. D.
2．设，，若，则( )
A. B.0 C.6 D.
3．已知复数，，且为纯虚数，则( )
A. B.2 C. D.
4．已知,则,,.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布,现从中随机抽取N个,这N个零件中恰有K个的质量指标位于区间,,试以使得最大的N值作为N的估计值,则N为( )
A.50 B.55 C.59 D.64
5．已知数列的前n项和为,且为等差数列,若,,则( )
A.13 B.26 C.30 D.33
6．将5名学生分配到3个社区当志愿者,每个社区至少分配1名学生,则不同的分配方法种数是( )
A.24 B.50 C.72 D.150
7．已知事件A与事件B相互独立且,则( )
A. B. C. D.
8．已知函数,其中.若函数在上为增函数,则的最大值为( )
A. B. C. D.2
二、多项选择题
9．下列说法中,正确的命题是( )
A.由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心
B.,
C.若,,,则
D.在列联表中,若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍,则也变成原来的2倍（,其中）
10．现有4个编号为1,2,3,4的盒子和4个编号为1,2,3,4的小球,要求把4个小球全部放进盒子中,则( )
A.没有空盒子的方法共有24种
B.可以有空盒子的方法共有128种
C.恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
11．已知抛物线的焦点为F,准线过点,M是抛物线上的动点,则( )
A.
B.当时,t的最小值为
C.点M到直线的距离的最小值为2
D.当时,直线ON的斜率的最大值为
三、填空题
12．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为__________.
13．的展开式中的系数为________.(用数字作答)
14．点M，N分别是曲线和直线上任意一点，则的最小值为___________.
四、解答题
15．在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球,其中有m个白球,m个黑球,2个黑白相间的球,且从盒子中随机摸出1个球,摸到黑白相间的球的概率为.
（1）从盒子中随机摸出1个球,求在摸出的球上带有黑色的条件下,摸出黑白相间的球的概率;
（2）从盒子中1次随机取出1个球,取出后不放回,共取2次,设取出的黑球数量为X,求X的分布列与期望.
16．如图,在直三棱柱中,,,P是四边形（不含边界）内的动点且.
（1）求证:平面;
（2）求平面与平面所成角的余弦值的取值范围.
17．已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）若,求a的取值范围.
18．2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史.福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类.现统计了每个展区的备受关注率〔一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值〕，如下表：
展区类型 新一代信息技术展 环保展 新型显示展 智慧城市展 数字医疗展 高端装备制造展
展区的企业数量/家 60 360 650 450 70 990
备受关注率 0.20 0.10 0.24 0.30 0.10 0.20
（1）从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率
（2）若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率.
（3）从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.记X为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量X的分布列和数学期望.
19．已知点在椭圆上，设A，B，F分别为椭圆C的上，下顶点和右焦点，且点B到直线的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点，求直线和的斜率之和.
(3)过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为，，设，，的面积分别为，，是否存在实数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：由,即,则,
所以,又,
.
故选:D.
2．答案：D
解析：，，且，，解得，故选D.
3．答案：C
解析：，则，，则为纯虚数，故，解得，．故选：C．
4．答案：C
解析：由已知可得,.
又,
所以,则,
设,
则,
所以,所以.
,
所以,所以.
所以以使得最大的N值作为N的估计值,则N为59.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为,,
所以,,
因为为等差数列,
所以数列的公差为,
所以数列的通项公式为,
所以,
故,
故选:D.
6．答案：D
解析：可以分组为1、1、3,或1、2、2两种情况,
若分组为1、1、3,则有;
若分组为1、2、2,则有;
则不同分法为种.
故选:D
7．答案：B
解析：因,则,
因事件A与事件B相互独立,故,
于是.
故选：B.
8．答案：A
9．答案：ACD
解析：选项A,根据线性回归方程的性质可知,由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心,故选项A正确的;
选项B,根据具有线性关系的期望和方差的性质可知,是正确的,是错误的,
应该是,故选项B是错误的;
选项C,由全概率公式可知：,
代入,,,
可得：,解得,故选项C是正确的;
选项D,在列联表中,若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍,
则
,可得也变成原来的2倍,故选项D是正确的;
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：对于A:4个球全放4个盒中,没有空盒子的放法共种,A正确;
对于B:可以有空盒子,有4个球,每个球有4种放法,共种,B错误;
对于C:恰有1个空盒子,说明另外3个盒子都有球,而球共4个,必然有1个盒子中放了2个球,
先将4个盒中选1个作为空盒,再将4个球中选出2个球绑在一起,再排列共种,C正确;
对于D:恰有一个小球放入自己编号的盒中,从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒子,
另外3个球3个盒标号不能对应,则共种,故D正确.
故选:ACD
11．答案：ABD
解析：根据抛物线的定义,的准线为,
由题意准线过,可求出,抛物线的方程为,选项A正确;
对于选项B,C,D,可设抛物线上的点的动点为,
对于B选项,当时,;
当时,
当且仅当时,等号成立.选项B正确;
对于C选项,直线与抛物线的位置关系如下图所示:
到直线的距离,
当时,.选项C错误;
对于D选项,可根据向量共线作出示意图:
根据定义求出抛物线的焦点,由得,
当时,;
当时,,
当且仅当时,等号成立.选项D正确.
故选:ABD
12．答案：
解析：法一：由题意知，从8张卡片中随机抽出3张的基本事件总数为.因为所有数字之和为36，所以要使3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则3张卡片上的数字之和为18.罗列出“抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等”的基本事件情况：①“3，7，8”和“1，2，4，5，6”；②“4，6，8”和“1，2，3，5，7”；③“5，6，7”和“1，2，3，4，8”共3种情况，所以“抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等”的概率.
法二：由题意知，从8张卡片中随机抽出3张的基本事件总数为.因为所有数字之和为36，所以要使3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则3张卡片上的数字之和为18.考虑抽出的3张卡片上的数字之和为18，则相当于从，，，，，0，1，2中选择3个数，使其和为0.若中间数为0，则有2种情况；若中间数为1，则有1种情况.所以“抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等”的概率.
13．答案：
解析：的通项公式为,
令得,,此时,
令得,,此时,
故的系数为
故答案为:
14．答案：
解析：设是的切线，切点为，则解得则，则的最小值即为两平行线与间的距离，即.
15．
解析：（1）由从盒子中随机摸出1个球,摸到黑白相间的球的概率为,得,解得,
盒子中带有黑色的球有6个,其中黑白相间的球有2个,
所以在摸出的球上带有黑色的条件下,摸出黑白相间的球的概率.
（2）依题意,X的可能值为0,1,2,
则,,,
所以X的分布列为:
X 0 1 2
P
数学期望.
16．
解析：（1）因为,,,所以,
所以,所以,
由三棱柱是直三棱柱,得平面,又平面,所以,
因为,,平面,
所以平面.
（2）由于,且平面,
以C为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,且P是四边形（不含边界）内的动点,.
所以,,即,
设,,,
所以,,.
设平面的法向量为,
则,令,则,,
所以平面的法向量为.
设平面的法向量为,
则,令,则,
所以平面的法向量为.
设平面与平面所成角为
则,
令,则,
因为在上单调递减,所以,所以.
所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围.
17．
解析：（1）函数的定义域为,
,
当时,,在定义域上单调递减;
当时,,
当时,,单调递减,当时,,单调递增.
综上所述,时,在定义域上单调递减;
时,在上单调递减,在单调递增.
（2）当时,函数,,
符合题意,
由（1）可知,当时,在定义域上单调递减,
所以,故不满足.
当时,在上单调递减,在单调递增,
要想满足,满足即可.
,即,
化简得,即,综以a的取值范围是.
18．
解析：（1）根据统计表，所有展区的企业数量为，
其中“新型显示展”展区备受关注的企业数量为.
所以所求概率为.
（2）用事件A，B，C分别表示从3个展区中随机抽取2个展区为“环保展与智慧城市展”“环保展与高端装备制造展”“智慧城市展与高端装备制造展”，事件D表示“采访的两家企业都是备受关注的企业”，则.
（3）“新一代信息技术展”展区中备受关注的企业数量为，
“数字医疗展”展区中备受关注的企业数量为.
易知X所有可能的取值为0，1，2.
所以，，.
故X的分布列为
X 0 1 2
P
则.
19．
解析：(1)设椭圆半焦距为c，
而，，，直线，
即，
点B到直线的距离为，
解得，，
椭圆过点，
则，
解得，所以椭圆C的标准方程.
(2)依题意，直线不垂直于y轴，
设直线方程为，
由
消去x得，
设，
则，
直线和的斜率之和
.
(3)设直线，
由
消去y得，
设，
则，
直线，
即，
由
消去x并整理得：，，
即直线与相切于点D，而直线与椭圆交于两点，
则点P，Q在y轴同侧，在直线两侧，
由对称性不妨令，
而，，
因此
，
所以当时，，即，，成等比数列.

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