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重庆南开中学高 2026 届高二（下）半期考试
数学试题答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B A D C B D B AD BCD ACD
x x
8、解：设直线与函数 y = f (x)的切点横坐标为 x 1 11，则有切线为 y e = e (x x1) .
平移后的函数为 g(x) = ex e +1
x e x e
，切点横坐标为 x2 ，则有切线为 y [e
2 +1] = e 2 (x x2 ) .
ex1 ex2 e= x1 = 1
由题知两条切线为同一条直线，则有 ，解得 .
ex1 (1 x ) = ex2 e

(1 x ) +1 x1 2 2 = e 1
1
k = e 2
所以 ，解得 km = .
2 e
2
m =
e
x x 3x 3x
11、解：A 选项，令 g(x) = e f (x) ，则有 g (x) = e [ f (x) + f (x)] = 3e ，所以 g(x) = e +C ，
e3x +C C
所以 f (x) = ，又因为 f (x) = 2e
2x ，所以 f (0) = 2 C = 2 ，解得C = 0 ，
ex e
x
所以 f (x) = e
2x
，所以 A 正确.
h(x) = f (x) 2x2 = e2x 2x2 h (x) = 2e2x 4x = 2(e2xB 选项，令 ，则有 2x) 0，
所以 h(x)在 R 上单调递增，所以 B 错误.
2b
2b e +1 1
C 选项，因为 e2a e2b =1，解得 2a = ln(e +1) ，所以 2a b = ln(e
2b +1) b = ln( ) = ln(eb + ) ln 2 .
eb eb
所以 C 正确.
1 e2a
2a
e2b u = e
D 选项，原不等式等价于 ln[(2a 2b) e
a+b ] 0，即 ea+b = ，令 ，
2a 2b 2a 2b v = e
2b
u v
则有原不等式等价于 uv ，该不等式成立（对数均值不等式）.
lnu ln v
ea eb = x
另解： (e
a eb )(ea + eb ) =1，令 ，反解代入同理可证.
e
a + eb = y
填空题
2 17
12． 13． 14．96，54 = 625
3 50
14、解：（1）若 A3 中仅有 2 个元素，不妨假设为 A3 ={1,2}，则 A1 A2 中必然包含3,4两个元素，A1, A2 可
2 2 2
包含剩下两个元素1,2 ，共有 22 = 4种情况，所以共有C4 2 2 = 96种情况.
C0 20 20 +C1 1 1 4 4 4（2）类比刚才的想法，则有 4 4 2 2 +……+C4 2 2 = (1+ 4)
4 = 54 = 625 种情况.
高 2026 级数学试题答案第 1 页，共 6 页
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解答题
1 1 x
15.解：（1） f (x) = + a f (1) =1+ a = 0，得 a = 1.当 a = 1时， f (x) = .
x x
x (0,1)时， f (x) 0， f (x) 单调递增； x (1,+ )时， f (x) 0， f (x) 单调递减.
故经检验， a = 1时， x =1为 f (x) 的极大值点.
ln x 2 ln x 2 3 ln x
（2） ln x + ax 2 2ax 恒成立，即 a ( ) max ，令 g(x) = ， g (x) = 3 . x x x
x (0,e3) 时， f (x) 0， f (x) 单调递增； x (e3,+ )时， f (x) 0， f (x) 单调递减.
1 1
故 g(x)
3
max = g(e ) = a
e3
，
e3
.
16.解：（1）连接 DB交 AC 于 E ,连接 EQ .菱形 ABCD中， E 为 BD中点，
又 Q 为 PB 中点， QE // PD .QE 平面QAC ， PD 平面QAC . PD // 平面QAC .
（2）设 AD 中点为O，连接OP,OC ，
由题，OP ⊥平面 ABCD， ACD中， AD =CD ，且 ADC = 60 ，
AC =CD ，又 O 为 AD 中点， OC ⊥ AD.
故以O为原点，OD,DC,OP所在直线为 x, y, z 轴，如图建立空间直角坐标系.
AP = AB = 2 ，菱形 ABCD中 AB = AD ， AP = AD .
z
O为 AD 中点，OP ⊥ AD， AP = DP ，故 PAD 为等边三角形，OP = 3 .
P
A( 1,0,0) 3 3， P(0,0, 3)， B( 2, 3,0)，C(0, 3,0) ，Q( 1, , )
2 2 Q
3 3
AC = (1, 3,0)， AQ = (0, , ) ，设平面QAC 的法向量为m = (a,b,c) . A
2 2 B
O
AC m = a + 3b = 0 E

D
y
3 3 ， 平面QAC 的一个法向量为m = ( 3, 1,1) . C
AQ m = a + b = 0
2 2 x
由图可知，平面 PAD 的一个法向量为 n = (0,1,0).
| m n | 5
设平面QAC 与平面 PAD 夹角为 ，则 cos = = .
| m | | n | 5
17. 解：
b 3

=
a = 3 x
2
（1）由题意有： a 3 ，解得 ，所以该双曲线方程为 y
2 =1 .
9 2 b =1 3 =1
a2 b2
x = my + 3
（2）由题意知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x = my + 3，联立双曲线方程： ，
x
2 3y2 = 3
高 2026 级数学试题答案第 2 页，共 6 页
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6m
y1 + y2 =
2 m
2 3
则有 (m 3)y2 + 6my + 6 = 0，所以有 .
6y
1
y2 = 2
m 3
法 1：由对称性可知，该定点位于 x轴上，记为T (t,0) .
①．先考虑斜率不存在时，此时 x = 3，则有 A(3, 2), B(3, 2), D(1, 2) ，
2 0 2 0
因为 D, H , B 三点共线，所以 = ，解得 t = 2 .
1 t 3 t
y 0 y 0
②．再考虑斜率存在时，此时记 A(x1, y1), B(x , y )，则有 D(1, y )，只需验证
1
2 2 1 =
2 即可，
1 2 x2 2
6 6m
化简有 y1(my2 + 3 2) = y2 ，记my1 y2 + y1 + y2 = 0，即m + = 0 ，显然成立.
m2 3 m2 3
故该定点坐标为T (2,0) .
y 0 y 0 my y + 3y y
法 2：因为D, H , B 三点共线，所以 1 = 2 ，解得 t = 1 2 1 2 .
1 t x2 t y1 y2
2y 2y
因为my1 y2 = (y1 + y )，所以 t =
1 2
2 = 2 .
y1 y2
故该定点坐标为T (2,0) .
18.（1） A,B,C 第一道工艺合格分别记为事件 A1,B1,C1 ，恰有两件合格记为事件D .
1 6 5 4 1 5 4 6 1 37
则 P(D) = P(A1B1C1) + P(A1B1C1) + P(A1B1C1) = + + = .
5 7 6 5 7 6 5 7 6 105
（2）记 A,B,C 两道工艺都合格分别为事件 A2 ,B2 ,C2，
4 5 2 6 7 2 5 4 2
由两道工艺相互独立， P(A2) = = ， P(B2) = = ， P(C2) = = .
5 6 3 7 9 3 6 5 3
由题意， X 的可能取值为： 300 ， 0 ，300 ， 600
2 1
P(X = 300) = (1 )3 =
3 27
2 2 2
P(X = 0) =C1 23 (1 ) =
3 3 9
2
P(X = 300) =C2( )2
2 4
3 (1 ) =
3 3 9
2 8
P(X = 600) = ( )3 =
3 27
所以 X的分布列为：
X 300 0 300 600
P 1 2 4 8
27 9 9 27
1 2 4 8
E(X ) = 300 + 0 + 300 + 600 = 300
27 9 9 27
高 2026 级数学试题答案第 3 页，共 6 页
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2
法 2：记 X 0 为合格瓷盘的件数，则有 X ~ B(3, ) ，则 X0 0 的分布列为：
3
2 2
P(X = k) =Ck ( )k (1 )3 k0 3 ,k = 0,1,2,3 ，
3 3
所以 X 0 的期望为 E(X 0 ) = 2 .
又因为Y = 200X 0 100(3 X 0 ) = 300X 0 300，所以 E(Y ) = 300E(X 0 ) 300 = 300 .
（3）若使用方案一，记开销为Y ，则有Y 的分布列为：
Y 2 5 8
P p2 (1 p2 ) p (1 p2 )(1 p)
E(Y ) = 2p2 + 5(1 p2) p +8(1 p2)(1 p) = 3p3 6p2 3p +8 .
若使用方案二，记开销为 Z ，则有 Z 的分布列为：
Z 3 6 8
P p (1 p) p (1 p)2
E(Z ) = 3p + 6(1 p) p +8(1 p)(1 p) = 2p2 7 p +8 .
E(Y ) E(Z ) = 3p3 8p2 + 4p = p( p 2)(3p 2) .
2
若 0 p ，则 E(Y ) E(Z)，方案二开销更小；
3
2
若 p 1，则 E(Y ) E(Z)，方案一开销更小；
3
2
若 p = ，则 E(Y ) = E(Z)，方案一与方案二开销一样多.
3
19. 解：
3
2 sin(x + )
cos x sin x
（1）求导有 f (x) = = 4 ，则有：当 0 x 时， f (x) 0，所以 f (x) 单调递增，
ex ex 4

当 x 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 单调递减.
4
sin x
（2）①. 先证明 x1 + x2 0，即证
2 xx1 x2 g(x1) g( x ) g(x
2 ，
2 2 ) g( x2 ) e 1x
e 2
sin x
令 (x) = ex 1, x (0, ) ，即证 (x) 0 .
ex 4
x cos x sin x e
2x + sin x cos x
求导 (x) = e = ，令 s(x) = e2x + sin x cos x ，
ex ex
求导 s (x) = 2e2x + cos x sin x ，因为 cos x sin x，且 2e2x 0 ，

所以 s (x) 0，所以 s(x)在 (0, ) 上单调递增，又因为 s(0) = 0 ，所以 s(x) 0 ，所以 (x) 0，
4
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所以 (x)在 (0, )上单调递增，又因为 (0) = 0，所以 (x) 0 .
4
所以原不等式成立。

②．再证明 x ，即证 . 2 + x3 x3 x2 f (x3 ) f ( x2 ) f (x2 ) f ( x2 )
2 2 2 2

sin( x )
sin x 2 cos x 2x2 sin x
法 1：即证 2 2 = 2 e 2 2 1, x
x 2
(0, ) ，
e 2 x2 x2 cos x 4
e 2 e 2 2

2x sin x
令 h(x) = e 2 , x (0, ) ，即证 h(x) 1 .
cos x 4

2x 1 2sin xcos x 2x (sin x cos x)2
求导 h (x) = e 2 = e 2 0 ，
cos2 x cos2 x

所以 h(x)在 (0, )上单调递增，所以 h(x) h( ) = e0 1=1 .
4 4

法 2：令 h(x) = f (x) f ( x), x (0, )，即证 h(x) 0 .
2 4
cos x sin x
求导有 h (x) = f (x) + f ( x)，因为 f (x) = ，所以 h ( ) = 0 .
2 ex 4
2cos x 2(sin x + cos x) 3
则有 h (x) = f (x) f ( x) ，因为 f (x) = ，则有 f (x) = 0, x (0, )，
2 ex ex 4
3
所以 f (x) 在 (0, ) 上单调递增，又因为 x x ，所以 h (x) 0 .
4 2 2

所以 h (x)在 (0, )上单调递减，又因为 h ( ) = 0，所以 h (x) 0 .
4 4

所以 h(x)在 (0, )上单调递增，因为 h( ) = 0 ，所以 h(x) 0 .
4 4
（3）即证 (2 ln x)sin x ex .
1 1 1 x 1
令 ，则有1(x) = ln x (1 ) (x) = = ，所以 1(x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+ )上单调递增，1
x x x2 x2
1
所以 1(x) 1(1) = 0，所以 ln x 1 .
x
令 2 (x) = x sin x ，则有 2 (x) =1 cos x 0，所以 2 (x) 在 (0,+ )上单调递增，
所以 2 (x) 2 (0) = 0，所以 x sin x .
令 3 (x) = e
x (x +1) ，则有 3 (x) = e
x 1，所以 3 (x)在 (0,+ )上单调递增，
所以 3 (x) 3 (0) = 0 ，所以 e
x x +1 .同理可证 ln x x 1 .
1 1
① . 当 x (0,1]时：因为 ln x 1 ，所以0 2 ln x +1，0 sin x x，
x x
所以 (2 ln x) sin x x +1，又因为 ex x +1，所以原不等式成立.
高 2026 级数学试题答案第 5 页，共 6 页
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2 ln x,1 x e2
② . 当 x [1,+ )时：因为 (2 ln x) sin x = 2 ln x sin x 2 ln x ，且 2 ln x = ，
ln x 2, x e
2
当1 x e2 时候， 2 ln x 2，而 ex e，所以 2 ln x ex .
当 x e2 时： ex x +1，而 ln x 2 x 3，所以 ex ln x 2 .
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数学试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分
钟.第I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.
第！卷（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡的相应位置上，
1.从1,2,3,4,5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为()
A.60
B.70
C.80
D.90
2、函数Jy=(x)的导函数y='(x)的图象如图所示，则下列选项正确的是()
A.y=(x)在区间(-2，一)上单调递减
B.y=(x)在区间（一1,1）上单调递增
C.-3是函数y=f(x)的极大值点
3-2-101
D.-1是函数y=f(x)的极小值点
y=f(x)
3.多项式(x+y+z)4展开式中，yz2项的系数为()
A.12
B.24
C.48
D.96
4.函数y=x3-3x的图象与直线y=m恰有两个公共点，则m=(）
A.-1或0
B.-1或1
C.-2或0
D.-2或2
5.随机变量X的分布列如右表，则方差D()=（)
A
B
c
3
3a
3
6,过抛物线x2=4y的焦点F作斜率为k( >0)的直线1与抛物线交于A,B两点，O为坐标原点，设
0A0B的斜率为，店，若片+格=君则k=（)
A.2
B.I
C.
D.
高2026级数学试题第1页共4页
7.为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学
与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至
少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概察为()
4、7
80
B.7
C.13
60
80
8.己知直线y=a+m为f()=e的一条切线，将y=f(x)的图象向右平移e个单位，向上平移1个单位
后仍与直线！相切，则=(）
B.
2
A.1
c.0
D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请将答案填写在答
题卡相应的位置上，
9.已知f(x)=(2x2-”的展开式中所有二项式系数之和为512，则以下说法正确的有()
A.H=9
B.展开式中第四项和第五项的二项式系数最大
C.f(-l)除以4的余数为1
D.展开式中常数项为672
10.在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为1-4的小球。从中有放回地随机取两次，每次取1
个球，记事件A:“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B:“两次取到球的号码之和为奇数”，事件
C:“两次取到球的号码之积为偶数”，则()
A,B与C互斥
B.A与C相互独立
&X4+97
D.Pa9-=号
11.己知函数f(x)及其导函数f"(x)定义域均为R,且满足f(x)=32-f(x),f(0)=2,则下列说法正
确的有()
A.函数f(x)在R上单调递增
B.函数y=f(x)-2x2存在极小值
C.若f(a)-f()=1,则2a-b2ln2
D.若f(-f()=1,则n(a-)+a+b<-n2
高2026级数学试题第2页共4页

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