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“大一联盟”2024 — 2025学年（下）高2026届期中考试
数学试卷 2025.04
命题单位：重庆市礼嘉中学校
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）
A．48 B．108 C．114 D．126
2．若，则（ ）
A． B．9 C．3 D．1
3．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有（ ）种不同的涂色方法
A．320 B．360 C．420 D．480
若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．某单位在5月1日——5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转与应急事务的及时处理。现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如8和14被3除得的余数都是2，则记.若，且，则的值可以是（ ）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2027
8．已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式中二项式系数之和为64
B. 展开式中有理项的个数为3
C. 若，则展开式的常数项为
D. 若展开式中各项系数之和为64，则
10．若函数的图象上至少存在两个不同的点，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“类正交函数”下列函数中为“类正交函数”的是（ ）
A. B. C. D.
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当且时，
B. 当时，若有两个极值点，则的取值范围是
C. 若满足，则的最小值为
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设函数，若，则________.
13．已知函数在点处的切线与二次函数相切，则实数________.
14．在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母，，都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字，，中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中3名男生与4名女生。为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
(1)全体站成一排，男生互不相邻；
(2)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端；
(3)若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面.
16．（本小题15分）已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围.
17．（本小题15分）礼嘉智慧公园旨在打造智能化体验示范区，将人工智能、大数据、物联网等现代信息技术与优美环境有机结合，从公园设施到衣食住行，多方面引领智慧新生活，让百姓切身感受科技的魅力。公园为了再次升级，拟将一块在半径为20米的半圆形绿化地扩建成一个新型文化广场（如图所示的阴影部分），同时为了拥有更好地体验试将该广场分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，新型文化广场的面积为．
(1)求出新型文化广场的面积为关于的函数解析式；
(2)当角取何值时，新型文化广场的面积最大？其最大面积是多少？
18．（本小题17分）已知函数（，）．
(1)当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
(2)若，且.
①求的值；
②求的最大值．
19．（本小题17分） 定义运算：，已知函数.
(1)若时，求的极值；
(2)若，函数，证明：；
(3)已知且，求证：.“大一联盟”2024 — 2025学年（下）高2026届期中考试
数学试题参考答案
一、单项选择题： 1—4 CBBC 5—8 DAAC
8.【答案】C 【详解】易知的定义域为，
由可得；
因为，所以，即，
构造函数，则，
可知函数在上单调递增，因此，
即，所以，
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值，也是最小值，；
即可得，解得. 所以实数的取值范围是.故选：C.
二、多项选择题： 9. 10.ACD 11.BCD
11【答案】BCD 详解：对于，当时，，所以．
当时，，，
不满足，A错误
对于，当时，,
解得：,B正确
对于，满足，
根据函数的对称性可知的对称点为，
将其代入，得，解得，
所以，C正确
对于，因为 ，
，
当，在上单调递增，无极值点
当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
存在极值点，，由 得，
因为，化简得，
因为，所以，
把代入中化简得可得，即，D正确．故选BCD．
三、填空题
13.8 14.
14详解：考虑，，的位置：先排有种，再排有种，有种，
共种．
分两种情况：，，在对角线；，，不在对角线．
对于：
A ①
B
② C
此时，，之间有种
考虑，，有种，与相邻的两个各有种，故有种，
同理位置有种．所以共有种．
对于：
① A
B ②
C
此时，，之间有种，
位置有种，位置有种，另外个位置各种，
故共有种．所以不同的填法种数为种．
四.解答题
15．【详解】
（1）先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，
由乘法原理共有种排法...........................................4分
（2）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好，
5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有种．.........8分
（3）法1：直接法——元素分析法
总的情况分四类（a）当甲排在最右面，同时乙排在最左面：种；
（b）当甲排在最右面，乙不排在最左面：种；
（c）当甲不排在最右面，乙排在最左面：种；
（d）当甲不排在最右面，乙不排在最左面：种；
总的方法为：120+600+600+2400=3720种.．.......．...........................13分
法2：间接法：不考虑条件限制所有人全排有;
除去甲站在最左面有：，乙站在最右面有：；其中甲站在最左面和乙站在最右面算了2次，补上一次；
总的方法为：........．.............................13分
注：还有其它分类方法，答案正确给满分，结果错误，请酌情给分。
16.【详解】（1）易知函数的定义域为，
所以，...........................2分
则，..................................................3分
当时，,即切点为，...............................5分
所以切线方程为......................................................6分
（2）有题意知，转化为方程有3个不等的实根，即函数与直线图像上有3个不同的交点........................................................7分
令，得或，
令，得，
故函数在和上单调递增，在上单调递减,....................9分
即在时取得极大值,
在时取得极小值..................................11分
当时，，即
当时，，
当时，，且在上单调递增；由零点存在定理知，在上由唯一零点，
当...............................................14分
结合题意（函数图像如下图）.............................15分
17．【详解】（1）由已知得，
结合题意：等腰底边上的高为=，.......................2分
而...................................3分
，
，
得到......................................6分
（2）设，则，
.....................................8分
令，由，可得，令，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，............................11分
则时，有，...............................13分
故，
即时，健康广场的面积最大，最大值为..........................15分
18. 【详解】（1）当时，的展开式共有6项，
二项式系数最大的项为第三项或第四项，
所以或；.............................4分
（2）①的通项公式为，
且，所以，
解得，又..................................................6分
所以，
，..................................8分
令，得（或）................... .10分
②的通项公式为，
所以，当时，，..........................................11分
设为()中的最大值，则，................... 13分
解得，即，，所以，..................... .15分
所以............................................... 17分
19.【详解】（1）由题意知：当时，
；....................................................1分
当时，；当时，;
即在上单调递减，在上单调递增；.......................3分
所以,当时，取得极小值;无极大值。.................. .4分
（2）要证，即证，
令．..........................................5分
．..........................................................6分
令．
又，
所以，使得，即，
所以，.................................................8分
所以当单调递减；当单调递增．
所以
又（1）知当时，恒成立，，
又，所以
故．即：.........................10分
【小问3详解】
由（1）可知，，当且仅当时取等号;
用替代上式中的，则，当且仅当时取等号;
令，则，
所以，即.
令，则，且不恒为零，
所以函数在上单调递增，
故，则，
所以，
令分别取，累加得：
.即证.

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